2020届河南省鹤壁市高级中学高三下学期线上第二次模拟数学（理）试题（解析版）

2020届河南省鹤壁市高级中学高三下学期线上第二次模拟数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】考虑既属于又属于的集合，即得.

【详解】

.

故选：

【点睛】

本题考查集合的交运算，属于基础题.

2．已知复数z满足,则在复平面上对应的点在(    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】设，由得：，由复数相等可得的值，进而求出，即可得解.

【详解】

设，由得：，即，

由复数相等可得：，解之得：，则，所以，在复平面对应的点的坐标为，在第一象限.

故选：A.

【点睛】

本题考查共轭复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题.

3．已知非零向量，满足，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解:

【答案】C

【解析】根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项.

【详解】

，

，∴等价于，

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.

4．已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是(    )

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【解析】画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.

【详解】

不等式表示的平面区域如图：

直线的斜率为，直线的斜率为，所以两直线垂直，故为直角三角形，易得，，，，所以阴影部分面积.

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.

5．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.

【详解】

派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家

基本事件总数：

甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：

甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：

本题正确选项：

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据函数的奇偶性得，再比较的大小，根据函数的单调性可得选项.

【详解】

依题意得，，

当时，，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，

，即，

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.

7．已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据在上投影为，以及，可得；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入即可求得.

【详解】

在上投影为，即

又   

本题正确选项：

【点睛】

本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到的最小值.

8．已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】是函数的零点，根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得．

【详解】

由题意，，∴函数在轴右边的第一个零点为，在轴左边第一个零点是，

∴的最小值是．

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数的零点就是其图象对称中心的横坐标．

9．设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一个交点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面积比.

【详解】

作图，设与的夹角为，则中边上的高与中边上的高之比为，，设，则直线，即，与联立，解得，从而得到面积比为.

故选：

【点睛】

解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.

10．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.

【详解】

如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，

该几何体的体积为，

故选：D.

【点睛】

本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.

11．定义，已知函数，，则函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据分段函数的定义得，，则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.

【详解】

依题意得，，则,

(当且仅当，即时“”成立.此时,，，的最小值为，

故选：A.

【点睛】

本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出，再由基本不等式求得最值，属于中档题.

12．在平面直角坐标系中，已知是圆上两个动点，且满足，设到直线的距离之和的最大值为，若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于到直线的距离和等于中点到此直线距离的二倍，所以只需求中点到此直线距离的最大值即可。再得到中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和中点到此直线距离的最大值的关系可以求出。再通过裂项的方法求的前项和，即可通过不等式来求解的取值范围.

【详解】

由，得，.设线段的中点，则，在圆上，到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍，点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆的圆心到直线的距离为，，，.

.

故选：

【点睛】

本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题.

二、填空题

13．曲线在点处的切线方程为______.

【答案】

【解析】对函数求导，得出在处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.

【详解】

令，，所以，又，所求切线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题.

14．的展开式中的系数为____.

【答案】28

【解析】将已知式转化为，则的展开式中的系数中的系数，根据二项式展开式可求得其值.

【详解】

，所以的展开式中的系数就是中的系数，而中的系数为，

展开式中的系数为

故答案为：28.

【点睛】

本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.

15．在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______.

【答案】

【解析】取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得，， 由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.

【详解】

在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，

连接.由，得，，

由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形，,

又由已知可得平面平面，平面，，

，所以，为三棱锥外接球的球心，外接球半径，

三棱锥外接球的表面积为.

故答案为：

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.

16．已知双曲线()的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为_____.

【答案】

【解析】法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得，，,又由双曲线的定义得,将离心率表示成关于的式子,再令，则，令对函数求导研究函数在上单调性，可求得离心率的范围.

法二：令，，，，，根据直角三角形的性质和勾股定理得，将离心率表示成关于角的三角函数，根据三角函数的恒等变化转化为关于的函数，可求得离心率的范围.

【详解】

法一:，，，,

，,

设，则，

令，所以时，，在上单调递增， ，，.

法二：，，令，，，，，

，，，

，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率的范围的问题，关键在于将已知条件转化为与双曲线的有关，从而将离心率表示关于某个量的函数，属于中档题.

三、解答题

17．在中，内角的对边分别是，已知.

（1）求角的值；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得，再根据余弦定理可求得值.

（2）由正弦定理得，，代入得，运用三角形的面积公式可求得其值.

【详解】

（1）由及正弦定理得，即

由余弦定理得，，.

（2）设外接圆的半径为，则由正弦定理得，

，，

.

【点睛】

本题考查运用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，关键在于熟练地运用其公式，合理地选择进行边角互化，属于基础题.

18．如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线交于.

（1）求证:平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）过点作交于，连接，设，连接，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得，，由线面垂直的判断定理证得平面，再由面面垂直的判断得证.

（2）平面几何知识和线面的关系可证得平面，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值.

【详解】

（1）如图，过点作交于，连接，设，连接，，，

又为的角平分线，四边形为正方形，，

又，，，，，又为的中点，

又平面，，平面，

又平面，平面平面，

（2）在中，，，，在中，，，

又，，，，

又，，平面，平面，

故建立如图空间直角坐标系，则，，，

，，，，

设平面的一个法向量为，则，，

令，得,

设平面的一个法向量为，则，

，令，得

，由图示可知二面角是锐角，

故二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.

19．（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点A（1，0）的直线与椭圆C交于点M, N,设P为椭圆上一点，且O为坐标原点，当时，求t的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用离心率、、四边形的面积列出方程，解出a和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN的斜率是否存在，当直线MN的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到、，利用列出方程，解出，代入到椭圆上，得到的值，再利用，计算出的范围，代入到的表达式中，得到t的取值范围．

试题解析：（1），，即．

又，．

∴椭圆C的标准方程为．

（2）由题意知，当直线MN斜率存在时，

设直线方程为，，

联立方程消去y得，

因为直线与椭圆交于两点，

所以恒成立，

，

又，

因为点P在椭圆上，所以，

即，

又，

即，整理得：，

化简得：，解得或（舍），

，即．

当直线MN的斜率不存在时，，此时，

．

【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．

20．随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.

（1）当时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；

（2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由.

【答案】（1）；（2）不会超过预算，理由见解析

【解析】（1）求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为，可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；

（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为元，则的可能取值为900，1500.求得，，求得其分布列和期望，对其求导，研究函数的单调性，可得期望的最大值，从而得出结论.

【详解】

（1）某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为,

某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为

某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为.

（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为元，则的可能取值为900，1500.

，

令,则

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减,

的最大值为,

实施此方案，最高费用为（万元），

，故不会超过预算.

【点睛】

本题考查独立重复事件发生的概率、期望，及运用求导函数研究期望的最值，由根据期望值确定方案，此类题目解决的关键在于将生活中的量转化为数学中和量，属于中档题.

21．已知函数().

（1）讨论的单调性；

（2）若对，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时， 在上单调递增；

（2）.

【解析】（1）求出函数的定义域和导函数， ，对讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一: 由得，

分别运用导函数得出函数()，的单调性，和其函数的最值，可得  ，可得的范围;

法二:由得，化为令()，研究函数的单调性，可得的取值范围.

【详解】

（1）的定义域为，，

①当时，由得，得，

在上单调递减，在上单调递增；

②当时，恒成立,在上单调递增；

（2）法一: 由得，

令()，则，在上单调递减，

，，即，

令，

则，在上单调递增，，在上单调递减，所以，即，

  ()

当时，，()式恒成立，即恒成立，满足题意

法二:由得，，

令()，则，在上单调递减，

，，即，

当时，由(Ⅰ)知在上单调递增，恒成立，满足题意

当时，令，则，所以在上单调递减，

又，当时，，，使得，

当时，，即，

又，，，不满足题意，

综上所述，的取值范围是

【点睛】

本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.

（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；

（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.

【答案】（1）的极坐标方程为，普通方程为；（2）

【解析】（1）根据三角函数恒等变换可得， ，可得曲线的普通方程，再运用图像的平移得依题意得曲线的普通方程为，利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程；

（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，运用韦达定理可得，根据，可求得的范围；

法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，运用韦达定理可得，根据，可求得的范围；

【详解】

（1），

，即曲线的普通方程为，

依题意得曲线的普通方程为，

令，得曲线的极坐标方程为；

（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，则

，，，异号

，

，，；

法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，

则，，，异号

，，.

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.

23．已知函数，且．

（1）若，求的最小值，并求此时的值；

（2）若，求证:．

【答案】（1）最小值为，此时；（2）见解析

【解析】（1）由已知得，

法一:，，根据二次函数的最值可求得；

法二:运用基本不等式构造，可得最值；

法三：运用柯西不等式得：，可得最值；

（2）由绝对值不等式得，，又，可得证.

【详解】

（1），

法一:，，

的最小值为，此时；

法二:，

，即的最小值为，此时；

法三：由柯西不等式得：

，

,即的最小值为，此时；

（2），，

又，

.

【点睛】

本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.