2020届河南省安阳市高三第一次调研考试数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】先求出函数的定义域，再求即可。
【详解】
∵，，∴.选B。
【点睛】
本题主要考查集合的交集的运算，属基础题。
2．设复数满足，则在复平面内对应的点在（ ）
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
【答案】D
【解析】先求出复数，再求对应的点的坐标。
【详解】
∵，∴，∴，∴在复平面内对应的点在第一象限. 选D。
【点睛】
本题主要考查复数的运算及复数的几何意义，属基础题。
3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）
A.甲所得分数的极差为22
B.乙所得分数的中位数为18
C.两人所得分数的众数相等
D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
【答案】D
【解析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.
【详解】
甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为，乙的平均分为
，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.
【点睛】
本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.
4．已知函数则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】结合分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．
【详解】
解：，（1），
，
故选：．
【点睛】
本题主要考查函数值的计算，利用代入法是解决本题的关键．属于基础题．
5．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】按循环结构依次执行相关步骤即可。
【详解】
第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，输出.选C。
【点睛】
本题主要考查循环结构的应用，属基础题。
6．已知向量，，，则的最大值为（ ）
A.2 B. C.3 D.5
【答案】B
【解析】先求出并将其化为，然后再根据三角函数的性质求其最大值，再求出的最大值。
【详解】
由已知可得.因为，所以，所以当时，的最大值为，故的最大值为.选B。
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算及向量的模、正弦型三角函数的最值等，属中等难度题。
7．在中，角，，的对边分别是，，，且，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】先利用正弦定理化边为角可得，再进一步化简求出即可得出角A。
【详解】
∵，
由正弦定理可得，即.∵，∴.∵，∴.选A。
【点睛】
本题主要考查正弦定理及三角恒等变换，属中等难度题。
8．已知函数的部分图象如图所示，如果将的图象向左平移个单位长度，则得到图象对应的函数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】首先根据最值计算，根据周期计算，最后根据时，函数取得最大值，求解，再根据“左＋右-”求平移后的解析式.
【详解】
由图知,
,又，
，向左平移个单位长度后得到 .
【点睛】
本题考查了根据图象求三角函数的解析式，属于基础题型，一般根据最值求，由图象中的极值点或零点间的距离求周期，根据公式求，最后根据“五点法”中的某个点求.
9．已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求出原函数的导函数，分析函数在处取得极小值时的的范围，再由充分必要条件的判定得答案．
【详解】
解：若在取得极小值，
．
令，得或．
①当时，．
故在上单调递增，无最小值；
②当时，，故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
故在处取得极小值．
综上，函数在处取得极小值．
“”是“函数在处取得极小值”的充分不必要条件．
故选：．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题．
10．从中任取一个实数，则的值使函数在上单调递增的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先利用导数求出函数在上单调递增时a的范围，然后再由几何概型的知识解决问题。
【详解】
∵，要使函数在上单调递增，则对任意实数都成立.∵，∴①当时，，∴，∴；②当时适合；③当时，，∴，∴，综上，∴函数在上单调递增的概率为.选C。
【点睛】
本题主要考查已知函数的单调性求参数的范围及几何概型问题，属中等难度题。
11．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意得到该几何体为有一个侧面PAC垂直于底面,高为,底面是一个等腰直角三角形的三棱锥,如下图所示,这个几何体的外接球的球心O在高线PD上,且是等边三角形PAC的中心,求出外接球的半径,即可确定出表面积.
【详解】
由已知正视图是一个正三角形,侧视图和俯视图均为三角形,
可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面,高为,底面是一个等腰直角三角形的三棱锥,如图所示,这个几何体的外接球的球心O在高线PD上,且是等边三角形PAC的中心,
所以这个几何体的外接球的半径,则几何体的外接球的表面积为，选D。
【点睛】
本题主要考查三视图还原直观图、球的切接问题，属中等难度题。
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点的坐标为．若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】首先根据双曲线的定义，，转化为，即，根据数形结合可知，当点三点共线时，最小，转化为不等式，最后求离心率的范围.
【详解】
由已知可得，若，
即，左支上的点均满足，
如图所示，当点位于点时，最小，
故，即,
,
或或或或双曲线的离心率的取值范围为 .
【点睛】
本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析的最小值，转化为的代数关系，最后求的范围.
二、填空题
13．已知实数 满足,则目标函数的最小值为______．
【答案】1
【解析】首先画出可行域，然后作出初始目标函数，最后求的最小值.
【详解】
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可得，平移直线，可知过A、C时分别取得最小值与最大值，所以，所以 .
【点睛】
本题考查了线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查了分析问题解决问题的能力，属于简单题型.
14．已知是直线的倾斜角，则的值为__________．
【答案】
【解析】先求出，再将所求式子分子、分母同时除以，然后将代入即可。
【详解】
由是直线的倾斜角，可得，
所以.
【点睛】
本题主要考查直线的斜率公式及齐次式弦化切问题，属基础题。
15．已知抛物线：的焦点为，准线为，若位于轴上方的动点在准线上，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为__________．
【答案】
【解析】利用三角形相似的性质及抛物线的定义即可求得。
【详解】
如图，设与轴交于点，过点作于点，则可得.∵，∴，∴，即，∴抛物线的标准方程为.
【点睛】
本题主要考查利用抛物线的定义及三角形相似问题，属中等难度题。
16．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当 时，，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】首先根据已知构造函数， ，根据导数可知函数单调递增，即，再结合奇偶性得到不等式的解集.
【详解】
令，
则
当 时， 单调递增，且 .
因为等价于，即g(x)<g()，
又为偶函数，所以，
故，故不等式的解集为 .
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，函数与方程，函数与不等式，导数的应用，涉及函数与方程思想，数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力，等价转化能力，运算求解能力，综合性较强，本题的关键是构造函数，根据导数分析函数的单调性，并且判断是偶函数.
三、解答题
17．已知正项等比数列的前项和为，且满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）数列，，，…，是首项为1，公比为2的等比数列，记，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）
【解析】第一问先列出关于与的方程组求出与，再求出；第二问先求出，再求出，然后利用分组求和法即可求其前项和。
【详解】
（Ⅰ）设数列的公比为，由已知得，由题意得，
所以，解得，所以，
因此数列的通项公式为.
（Ⅱ）因为，
所以，
所以数列的前项和.
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式、前项和公式及分组求和法，属中等难度题。
18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】第一问先证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理证明平面平面。第二问利用等积法可得，分别求出的面积和BM的长度即可解决问题。
【详解】
（Ⅰ）连接，∴，，∴为正三角形.
∵为的中点，∴.
∵，平面，∴.
又平面，平面，∴平面.
∵，分别为，的中点，∴.
又平面，平面，∴平面.
又平面，，
∴平面平面.
（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证.
∵平面平面，平面，∴平面.
又，，∴.
在中，∵，，∴.
∵，分别为，的中点，
∴的面积，
∴三棱锥的体积.
【点睛】
本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定和性质，等积法求三棱锥的体积问题，属中等难度题。
19．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内，，三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：
类行业：85，82，77，78，83，87；
类行业：76，67，80，85，79，81；
类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．
（Ⅰ）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；
（Ⅱ）若从抽取的类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．
【答案】（Ⅰ），，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）
【解析】第一问利用分层抽样的概念直接计算即可；第二问是古典概率模型，先列出所有的基本事件，然后再找出3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个数，即可求出3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率。
【详解】
（Ｉ）由题意，得抽取的，，三类行业单位个数之比为.
由分层抽样的定义，有
类行业的单位个数为，
类行业的单位个数为，
类行业的单位个数为，
故该城区，，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.
（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件.
这3个单位的考核数据情形有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种.
这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有，，，，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，
故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种，
故所求概率.
【点睛】
本题主要考查分层抽样及古典概型问题，属基础题。
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，且该椭圆过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作一条斜率不为0的直线，直线与椭圆相交于两点，记点关于轴对称的点为点，若直线与轴相交于点，求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据，和计算椭圆的标准方程；（Ⅱ）题意可设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到，根据坐标设出的方程，并得到的面积，代入根与系数的关系，并求最大值.
【详解】
（Ⅰ）由椭圆的定义可得，解得 .
又，
所以椭圆的标准方程为
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为 .
设，则 .
由，消去可得
，
直线的方程为 .
令，
可得，
令，
则
当且仅当，即时等号成立，
面积的最大值为
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.
21．已知函数．
（Ⅰ）设，曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的最小值；
（Ⅱ）若只有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）-8；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）利用导数几何意义先求出切线的方程，再根据切线方程求出，然后利用二次函数的单调性求最值；（Ⅱ）先对函数求导可得，再通过分类讨论研究函数的单调性，然后根据函数的极值的情况函数零点的关系得出的取值范围即可。
【详解】
（Ⅰ）由已知可得，，，
所以曲线在点处的切线方程为.
令，得.
因为，所以在上单调递增，
所以当时，.
（Ⅱ）①若，因为或，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，极大值为.
因为，若只有一个零点，
则或.
由，得或.又，所以.
由，得.
因为，所以，得，
所以或.
②若，，则在上是增函数.
因为，所以只有一个零点-1.
③若，因为或，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，极大值为.
因为，，若只有一个零点，
则，即.
因为，所以，得.
综上，实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究含参数的函数的单调性、极值、零点问题，属中等难度题。
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）若直线与，轴的交点分别为，，点在上，求的取值范围；
（Ⅱ）若直线与交于，两点，点的直角坐标为，求的值.
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）利用参数方程表示出目标式，结合三角函数知识求解；
（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线，结合参数的几何意义可求.
【详解】
（Ⅰ）由题意可知：直线的普通方程为.
的方程可化为，设点的坐标为，
.
（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为：.
直线的标准参数方程为（为参数），代入得：
设两点对应的参数分别为
,故异号
.
【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标之间的转化及参数方程的应用，利用参数的几何意义能简化计算过程，达到事半功倍的效果.
23．已知函数.
（Ⅰ）求时，的解集；
（Ⅱ）若有最小值，求的取值范围，并写出相应的最小值.
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）见解析.
【解析】（Ⅰ）把代入，利用分类讨论的方法去掉绝对值求解；
（Ⅱ）利用零点分段讨论法去掉绝对值，然后根据函数单调性求解最值情况.
【详解】
（Ⅰ）当时，
∵
当时解得
当时恒成立
当时解得
综上可得解集.
（Ⅱ）
当，即时，无最小值；
当，即时，有最小值；
当且，即时，
当且，即时，
综上：当时，无最小值；
当时，有最小值；
当时， ；
当时， ；
【点睛】
本题主要考查含有绝对值不等式的解法，零点分段讨论法是常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.
