2020届河南省驻马店市新蔡县高三12月调研考试数学（文）试题（解析版）

2020届河南省驻马店市新蔡县高三12月调研考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知命题：，，命题：若，则，则以下命题正确的为（    ）

A．的否定为“，”，的否命题为“若，则”

B．的否定为“，”，的否命题为“若，则”

C．的否定为“，”，的否命题为“若，则”

D．的否定为“，”，的否命题为“若，则”

【答案】B

【解析】根据命题的否定：全称变特称，只否结论；否命题：条件结论都要否。即可选出答案。

【详解】

的否定为“，”，的否命题为“若，则”

故选：B

【点睛】

本题考查命题的否定与否命题，注意区分命题的否定：全称变特称，只否结论；否命题：条件结论都要否。属于基础题。

2．命题，命题或，则命题是命题的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】【详解】

∵命题，命题或，

反之不成立，例如

所以非p是非q的必要不充分条件，因此命题是命题的充分不必要条件．
故选A．

3．已知函数，若函数的零点为，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先利用导数得出函数在上单调递增，由零点存在定理得出，于是得出，于此得出可得出结果.

【详解】

因为，所以在上恒成立，

即函数在上单调递增.

又，，

所以在上必然存在零点，即，

因此，所以，故选：B.

【点睛】

本题考查函数零点存在定理的应用，考查函数求值，解题的关键就是利用导数判断函数单调性并利用零点存在定理判断出零点所在区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

4．函数在的图象大致为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】判断函数的奇偶性，取特殊值即可判断.

【详解】

因为，所以函数为奇函数，故排除A,B

由于 ，排除D

故选C.

【点睛】

本题主要考查了函数图象的识别，一般要结合函数的奇偶性、定义域、单调性、特殊点等综合来判断，属于中档题.

5．已知m ，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（   ）

A．若，，则 B．若，则

C．若，，，则 D．若，，则

【答案】C

【解析】利用线面垂直、线面平行、面面垂直的性质定理分别对选项分析选择．

【详解】

对于A，若，，则或者；故A错误；

对于B，若，则可能在内或者平行于；故B错误；

对于C，若，，，过分作平面于，作平面,则根据线面平行的性质定理得，，∴，根据线面平行的判定定理，可得，

又，，根据线面平行的性质定理可得，又，

∴；故C正确；

对于D．若，，则与可能垂直，如墙角；故D错误；

故选：C．

【点睛】

本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理及应用，涉及空间线线平行的传递性，考查了空间想象能力，熟练运用定理是关键．

6．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用三角函数定义即可求得：，，再利用余弦的二倍角公式得解.

【详解】

因为角的终边过点，所以

点到原点的距离

所以，

所以

故选：C

【点睛】

本题主要考查了三角函数定义及余弦的二倍角公式，考查计算能力，属于较易题。

7．等差数列的公差为d，前n项的和为，当首项和公差d变化时，是一个定值，则下列各数中也为定值的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用等差数列的通项公式化简已知的式子，得到关于的关系式，由已知式子为定值得到为定值，再利用等差数列的求和公式及等差数列的性质化简，也得到关于的关系式，进而得到为定值．

【详解】

，
且是一个定值，
为定值，
又，
为定值，故选C.

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.

8．已知数列满，且，，则（  ）

A．2 B．1 C．-2 D．-1

【答案】A

【解析】由题意可知数列为等差数列，再利用等差数列的性质求解即可.

【详解】

由题意可知，数列为等差数列，

故设数列的公差为d，则，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查等差数列的判断和等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9．如图所示为底面积为2的某三棱锥的三视图，则该三棱锥的侧面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由三视图可以看出有多个直角，将该三棱锥放入正方体中，依次求各面面积即可

【详解】

由三视图可知该几何体是三棱锥（放在棱长为2的正方体中），则侧面是边长为的等边三角形，面积为；侧面和都是直角三角形，面积均为，因此，此几何体的侧面积为，故选B

【点睛】

本题考查三视图、几何体侧面积，将棱锥放入棱柱中分析是解题的关键.

10．，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先由诱导公式得到，并计算出cos，再由二倍角公式计算即可.

【详解】

由，则，所以cos,所以cos，又 cos=，故选D.

【点睛】

本题考查了诱导公式的运用，考查了二倍角公式的应用，考查了角的配凑技巧，属于基础题.

11．若函数在上的值域为，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】要使的值域为，得到的范围要求，则要在其范围内，然后得到的范围，找到最小值.

【详解】

而值域为，发现

，

整理得，

则最小值为，选A项.

【点睛】

本题考查正弦型函数图像与性质，数形结合的数学思想，属于中档题.

12．已知函数若成立，则的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

不妨设，，故，令，，易知在上是增函数，且

，当时，，当时，，即当时，取得极小值同时也是最小值，此时，即的最小值为，故选B.

二、填空题

13．曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线方程为_____．

【答案】

【解析】首先求处的导数，再根据切线公式求切线方程.

【详解】

解析：，在点（1，1）处的切线斜率为，所以切线方程为.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.

14．记为等差数列的前项和，，，则________．

【答案】

【解析】设等差数列的公差为，由题中条件得出，再利用等差数列前项和公式可计算出的值.

【详解】

设等差数列的公差为，则，

所以，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列中基本量的计算，同时也考查了等差数列前项和的应用，解题的关键就是根据题中条件确定首项和公差的等量关系，考查计算能力，属于中等题.

15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是，共中a、b、c是△ABC的内角A，B，C的对边。若，且，2，成等差数列，则面积S的最大值为____

【答案】

【解析】运用正弦定理和余弦定理可得，再由等差数列中项性质可得，代入三角形的面积公式，配方，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值．

【详解】

，∴，因此

∵，2，成等差数列，∴，

因此，

当，即时，S取得最大值，

即面积S的最大值为，故答案为.

【点睛】

本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，以及等差数列中项性质，转化为求二次函数的最值是解题的关键，属于中档题．

16．已知,,,是球的球面上的四点，，，两两垂直，,且三棱锥的体积为，则球的表面积为______．

【答案】

【解析】根据三棱锥的体积可求三棱锥的侧棱长，补体后可求三棱锥外接球的直径，从而可计算外接球的表面积．

【详解】

三棱锥的体积为，故，

因为，，两两垂直，，故可把三棱锥补成正方体，

该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，

又体对角线的长度为，故球的表面积为.

填.

【点睛】

几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．

三、解答题

17．已知命题“函数的定义域为R”；命题“，使得不等式成立”．若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．

【答案】或

【解析】通过为真命题，为假命题，判断出的真假性；定义域为，被开方数恒大于等于零，分类考虑与的关系；将存在性问题转化为与最值之间的关系从而计算出的范围；综合考虑真假性，求解出的范围.

【详解】

依题意，和q一真一假，故p和q同真或同假，

若p真，则或，

解得．

若q真，则，令，则，，

所以的值域为，若命题q为真，则．

若和q同真，则；

若和q同假，或，

故实数的取值范围为或．

【点睛】

本题考查常用逻辑用语的综合应用，难度一般.存在性问题如：已知存在区间，有，则必有：；恒成立问题如：已知任意区间，有，则必有：.

18．在中，是上的点，平分，.

（1）求；

（2）若，求的长．

【答案】（1）2；（2）.

【解析】（1）在和中运用正弦定理，进行求解即可．

（2）由，利用正弦定理可得，利用余弦定理求出，结合，建立方程进行求解即可．

【详解】

解：（1）由正弦定理可得在中，，

在中，，

又因为，.

（2），由正弦定理得，

设，则，则.

因为，

所以，解得.

.

【点睛】

本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理建立方程是解决本题的关键．

19．在正项等比数列{}中，且成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列{}满足，求数列{}的前项和．

【答案】(1) (2)

【解析】(1)根据已知条件且可解得公比,再代入通项公式即可得到;

(2)利用错位相减法可求得.

【详解】

设正项等比数列{an}的公比为(,

（1）∵∴,所以

∴q＝2，(舍去)

所以；

（2）∵，

∴，①

，②

①﹣②得＝，

∴.

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式的求法,考查了等差中项,考查了利用错位相减法求和,本题属于基础题.

20．如图，在四棱锥中，底面为菱形，,，面面,为等边三角形，为的中点．

(1)求证：平面；

(2)若是的中点，求三棱锥的体积．

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】（1）由，结合线面垂直的判定即可得证；

（2）由是的中点，所以，则将求三棱锥的体积转化为求三棱锥的体积，再由条件即可得解.

【详解】

(1)证：因为为等边中边的中点，

所以,

又因为在菱形中，，

所以为等边三角形，为的中点，

所以,而,

所以平面.

(2)解：由(1)知，面面,所以底面，

因为等边的边长为2，所以,

易知为边长为2的等边三角形，

所以三棱锥的体积为：,

因为是的中点，所以，

所以三棱锥的体积为．

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定及三棱锥体积的求法，重点考查了空间想象能力及运算能力，属中档题.

21．已知函数.

（1）若，，，求的值；

（2）若动直线与函数和函数的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值，并求出此时t的值.

【答案】（1）；（2）最大值为，

【解析】（1）先对进行化简，求出，再根据同角三角函数求出，再根据特点，求出，利用和角公式求值即可

（2）先表示出，再根据绝对值特点和三角函数的最值特点，求出对应的值即可

【详解】

（1），，

则，又，故，.

.

.

（2）

由题意可知

当时，取到最大值.

当取到最大值时，，又，所以.

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本求法，三角函数正切值的和角公式，复合三角函数最值的求法，难度相对简单

22．设函数

（1）当时，曲线与直线相切，求实数的值；

（2）若函数在[1,3]上存在单调递增区间，求实数的取值范围.

【答案】 m＝﹣2或mln2；（﹣∞，）

【解析】（1）将a＝0代入f（x），求出f（x）的导数，得到f′（x）＝3，解得x的值，求出切点坐标，代入求出m的值即可；

（2）假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，得到关于a的不等式组，解出即可．

【详解】

（1）当a＝0时，f（x）＝lnx+x2，x∈（0，+∞），

f′（x）2x＞0，

令f′（x）＝3，解得：x＝1或x，

代入f（x）得切点坐标为（1，1），或（，ln2），

将切点坐标代入直线y＝3x+m，解得：m＝﹣2或mln2；

（2）f′（x）2x﹣2a，x∈[1，3]，

设g（x）＝2x2﹣2ax+1，

假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，

于是，解得：a，

故要使函数f（x）在[1，3]上存在单调递增区间，

则a的范围是（﹣∞，）．

【点睛】

本题考查了函数的单调性问题，考查曲线的切线方程以及导数的应用，是一道中档题．