2020届湖南省郴州市高三第二次教学质量监测数学（理）试题（解析版）

2020届湖南省郴州市高三第二次教学质量监测数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】可求出集合，，然后进行交集的运算即可．

【详解】

解：，

；

．

故选：B．

【点睛】

考查描述法、区间表示集合的概念，以及交集及其运算，属于基础题．

2．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】化简复数为、的形式，可以确定对应的点位于的象限．

【详解】

解：复数

故复数对应的坐标为位于第三象限

故选：．

【点睛】

本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题．

3．函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根据特殊值及函数的单调性判断即可；

【详解】

解：当时，，无意义，故排除A；

又，则，故排除D；

对于C，当时，，所以不单调，故排除C；

故选：B

【点睛】

本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.

4．已知数列为等差数列，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得．

【详解】

解：由等差数列的性质可得，解得，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．

5．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．

【详解】

解：依题意，设．

则．

，．

设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．

则，

．

故选：A．

【点睛】

本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三等分点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】连接、，即可得到，，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得；

【详解】

解：连接、，

，是半圆弧的两个三等分点， ，且，

所以四边形为棱形，

．

故选：B

【点睛】

本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.

7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（    ）种.

A．408 B．120 C．156 D．240

【答案】A

【解析】利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；

【详解】

解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有（种），

当“乐”排在第一节有（种），

当“射”和“御”两门课程相邻时有（种），

当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有（种），

则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有（种），

故选：．

【点睛】

本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题．

8．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】可设，根据在上为偶函数及便可得到：，可设，，且，根据在上是减函数便可得出，从而得出在上单调递增，再根据对数的运算得到、、的大小关系，从而得到的大小关系.

【详解】

解：因为，即，又，

设，根据条件，，；

若，，且，则：；

在上是减函数；

；

；

在上是增函数；

所以，

故选：C

【点睛】

考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设，通过条件比较与，函数的单调性的应用，属于中档题.

9．下列结论中正确的个数是（    ）

①已知函数是一次函数，若数列通项公式为，则该数列是等差数列；

②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则；

③在中，“”是“”的必要不充分条件；

④若，则的最大值为2.

A．1 B．2 C．3 D．0

【答案】B

【解析】根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；

【详解】

解：①已知函数是一次函数，若数列的通项公式为，

可得为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；

②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则与可以相交或平行，故②错误；

③在中，，而余弦函数在区间上单调递减，故 “”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要条件，故③错误；

④若，则，所以，当且仅当时取等号，故④正确；

综上可得正确的有①④共2个；

故选：B

【点睛】

本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

10．已知函数，则的值等于（    ）

A．2018 B．1009 C．1010 D．2020

【答案】C

【解析】首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后借助于三角函数的周期性确定其值即可．

【详解】

解： ．

，

，

的周期为，

，， ，，

．

．

故选：C

【点睛】

本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．

11．设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】依题意可得

即可得到，从而求出双曲线的离心率的取值范围；

【详解】

解：依题意可得如下图象，

所以

则

所以

所以

所以，即

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.

12．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由变形可得,可知函数在为增函数, 由恒成立,求解参数即可求得取值范围.

【详解】

,即函数在时是单调增函数.

则恒成立.

 .

令,则

时,单调递减,时单调递增.

故选:D.

【点睛】

本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.

二、填空题

13．的展开式中，项的系数是__________．

【答案】240

【解析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于3，计算展开式中含有项的系数即可.

【详解】

由题意得：，只需，可得，

代回原式可得，

故答案：240.

【点睛】

本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用，相对不难.

14．已知数列的前项和为，且满足，则______

【答案】

【解析】对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值.

【详解】

解：，可得时，，

时，，又，

两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得．

【点睛】

本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题.

15．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于________.

【答案】

【解析】由已知可知直线过抛物线的焦点，求出弦的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦的中点到直线的距离．

【详解】

解：如图，

直线过定点，，

而抛物线的焦点为，，

弦的中点到准线的距离为，

则弦的中点到直线的距离等于．

故答案为：．

【点睛】

本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属于中档题．

16．平行四边形中，，为边上一点（不与重合），将平行四边形沿折起，使五点均在一个球面上，当四棱锥体积最大时，球的表面积为________.

【答案】

【解析】依题意可得、、、四点共圆，即可得到，从而得到三角形为正三角形，利用余弦定理可得，且，要使四棱锥体积最大，当且仅当面面时体积取得最大值，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再又可证面，则外接球的半径，即可求出球的表面积；

【详解】

解：依题意可得、、、四点共圆，

所以

因为，

所以，，

所以三角形为正三角形，则，，

利用余弦定理得

即，解得，则

所以，

当面面时，取得最大，

所以的外接圆的半径，

又面面，，且面面， 面

所以面，

所以外接球的半径

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查多面体的外接球的相关计算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.

三、解答题

17．已知的内角的对边分别为，且.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值为3.

【解析】（Ⅰ）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；

（Ⅱ）由正弦定理可得，则，再根据正弦函数的性质计算可得；

【详解】

（Ⅰ）由得

再由正弦定理得

因此，

又因为，所以.

（Ⅱ）当时，的周长有最大值，且最大值为3，

理由如下：

由正弦定理得，

所以，

所以.

因为，所以，

所以当即时，取到最大值2，

所以的周长有最大值，最大值为3.

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函数的性质的应用，属于中档题.

18．已知，点分别为椭圆的左、右顶点，直线交于另一点为等腰直角三角形，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，总使得为锐角，求直线斜率的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由题意可知：由，求得点坐标，即可求得椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线，代入椭圆方程，由韦达定理，由，由为锐角，则，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线斜率的取值范围．

【详解】

解：（Ⅰ）根据题意是等腰直角三角形

，

，

设由

得

则

代入椭圆方程得

椭圆的方程为

（Ⅱ）根据题意，直线的斜率存在，可设方程为

设

由得

由直线与椭圆有两个不同的交点则

即

得

又

为锐角则

即

   ②

由①②得或

故直线斜率可取值范围是

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．

19．如图，在四棱锥中，平面平面，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成的角.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由余弦定理解得，即可得到，由面面垂直的性质可得平面，即可得到，从而得证；

（Ⅱ）在平面中，过点作于点，则平面，如图所示建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法得到二面角的余弦，即可得到的关系，从而得解；

【详解】

解：（Ⅰ）证明：在中，，解得，

则，从而

因为平面平面，平面平面

所以平面，

又因为平面，

所以，

因为，，平面，平面，所以平面；

（Ⅱ） 解：在平面中，过点作于点，则平面，如图所示建立空间直角坐标系，设，其中，则

设平面的法向量为，则

，即，

令，则

又平面的一个法向量，则

从而，故

则直线与平面所成的角为，大小为.

【点睛】

本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.

20．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响.

（1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；

（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.

①求；

②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式.

【答案】（1）分布列见解析；（2）①；②，.

【解析】（1）经过1轮投球，甲的得分的取值为，记一轮投球，甲投中为事件，乙投中为事件，相互独立，计算概率后可得分布列；

（2）由（1）得，由两轮的得分可计算出，计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列（的取值为），然后结合的分布列和的分布可计算，

由，代入，得两个方程，解得，从而得到数列的递推式，变形后得是等比数列，由等比数列通项公式得，然后用累加法可求得．

【详解】

（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，

，

，

，

∴的分布列为：

（2）由（1），

，

同理，经过2轮投球，甲的得分取值：

记，，，则

，，，，

由此得甲的得分的分布列为：

∴，

∵，，

∴，，∴，

代入得：，

∴，

∴数列是等比数列，公比为，首项为，

∴．

∴．

【点睛】

本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率．

21．设函数，其中是自然对数的底数.

（Ⅰ）若在上存在两个极值点，求的取值范围；

（Ⅱ）若，函数与函数的图象交于，且线段的中点为，证明：.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】（Ⅰ）依题意在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，由参变分类可得，令，利用导数研究的单调性、极值，从而得到参数的取值范围；

（Ⅱ）由题解得，，要证成立，只需证：，即：，只需证：，设，即证：，再分别证明，即可；

【详解】

解：（Ⅰ）由题意可知，，

在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，

由可得，，令，

则，令，

可得，当时，，

所以在上单调递减，且

当时，单调递增；

当时，单调递减；

所以是的极大值也是最大值，又当，当大于0趋向与0，

要使在有两个根，则，

所以的取值范围为；

（Ⅱ）由题解得，，要证成立，

只需证：

即：，

只需证：

设，即证：

要证，只需证：

令，则

在上为增函数

，即成立；

要证，只需证明：

令，则

在上为减函数，，即成立

成立，所以成立.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用导数证明不等式，属于难题;

22．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为.

（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并指出是何种曲线；

（Ⅱ）若射线与曲线交于两点，射线与曲线交于两点，求面积的取值范围.

【答案】（Ⅰ），曲线是以为圆心，为半径的圆；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由曲线的参数方程能求出曲线的普通方程，由此能求出曲线的极坐标方程．

（Ⅱ）令，，则，利用诱导公式及二倍角公式化简，再由余弦函数的性质求出面积的取值范围；

【详解】

解：（Ⅰ）由（为参数）化为普通方程为

，整理得

曲线是以为圆心，为半径的圆.

（Ⅱ）令

，，，，

面积的取值范围为

【点睛】

本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

23．设函数.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）证明：，恒成立.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）将不等式化为，利用零点分段法，求得不等式的解集.

（2）将要证明的不等式转化为证，恒成立，由的最小值为，得到只要证，即证，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.

【详解】

（1）∵，∴，即

当时，不等式化为，∴

当时，不等式化为，此时无解

当时，不等式化为，∴

综上，原不等式的解集为

（2）要证，恒成立

即证，恒成立

∵的最小值为－2，∴只需证，即证

又

∴成立，∴原题得证

【点睛】

本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.