2020届湖南省永州市祁阳县高三上学期第二次模拟数学(理)试题(解析版)
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一、单选题
1.己知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】首先求出集合的范围,然后即可求解.
【详解】
由题知,
因为,
所以,又因为,
所以.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集,属于基础题.
2.若复数,则=( )
A. B. C. D.3
【答案】A
【解析】∵,∴=,故选A
3.下列命题中的假命题是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】B
【解析】【详解】试题分析:当x=1时,(x-1)2=0,显然选项B中的命题为假命题,故选B。
【考点】特称命题与存在命题的真假判断。
4.已知各项均为正数的等比数列,,,则( )
A. B. C.8 D.27
【答案】A
【解析】根据等比数列的性质求出,,然后再利用等比数列的性质求出.
【详解】
由题知数列为正数的等比数列,
所以,
,
.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质,属于基础题.
5.若是R上周期为6的奇函数,且满足,,则( )
A.-1 B.-2 C.2 D.3
【答案】D
【解析】利用函数的周期性和奇函数的性质,找出,与,的关系,即可求出的值.
【详解】
由题知是上周期为的奇函数,
所以有,
,
故.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了奇函数的性质,函数的周期性,属于基础题.
6.已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据角的终边所在直线可求得;将化为关于正余弦的齐次式的形式,分子分母同时除以即可构造出关于的方程,代入求得结果.
【详解】
终边在上
本题正确选项:
【点睛】
本题考查任意角三角函数的定义、正余弦齐次式的求解,涉及到二倍角的正弦公式、同角三角函数关系的应用等知识.
7.已知,函数在上单调递减,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据余弦函数的单调递减区间与周期性求解的值即可.
【详解】
函数在时单调递减,
解得,
根据题中条件又有函数在上单调递减,
所以,解得,
又因为函数在上单调递减,
所以,又因为题中已知,
所以可求得,故有.
故选:B.
【点睛】
本题考查了余弦型函数的单调区间,余弦型函数的周期,属于基础题.
8.中,点D在上,平分,若,,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】首先根据平分,用,表示出,然后再根据点D在上,求出.
【详解】
由题知平分,
所以,
又因为点D在上,
所以,
故.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的向量表示,平面向量基本定理,属于基础题.
9.数列的首项为1,为等差数列且,若则,,则( )
A.24 B.25 C.36 D.38
【答案】B
【解析】首先求出题中等差数列,然后再利用结合累加法求出.
【详解】
由题知,为等差数列且,,
有,,
即是首项,公差的等差数列,
设等差数列的前项和为,
有,
因为,
有
,
即.
故选:B.
【点睛】
本题考查了等差数列的前项和公式,累加法,属于一般题.
10.已知,则有( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】首先化简,,为同底,然后根据对数恒等式对,,化简后即可排序.
【详解】
由题知,
,
,
所以.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了对数恒等式的使用,属于基础题.
11.设函数,若,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】首先对实数进行分类讨论,利用求出实数a的取值范围.
【详解】
由题知函数,
当时,,,
因为,
所以,
当时,,,
因为,
所以,
综上.
故选:D.
【点睛】
本题考查了根据函数单调性求参数取值范围,属于基础题.
12.已知函数,若对任意恒成立,则整数k的最大值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】首先对分离参数,对新得到的函数求导,求出函数的最值,然后根据恒成立条件求出参数的最大值.
【详解】
由题知对任意恒成立,
设函数,
有,
当时,,,
所以,函数在区间单调递减,
当时,,,
所以,函数在区间单调递增,
故当时,,,
所以,函数在处取极小值也是最小值,
即恒成立,因为,
所以整数k的最大值是.
故选:C.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值,恒成立问题与函数最值问题的转化,属于一般题.
二、填空题
13.________.
【答案】
【解析】由于,利用微积分基本定理,直接求得定积分的值.
【详解】
易知.故.
【点睛】
本小题主要考查利用微积分基本定理求定积分的值.只需求得原函数,代入计算公式即可计算出定积分的值.属于基础题.
14.曲线 在点 处的切线方程为________________.
【答案】
【解析】求函数导数,利用导数的几何意义即可得到结论.
【详解】
函数的导数为,
则函数在点处的切线斜率,
则函数在点处的切线方程为,即.
故答案为:.
【点睛】
(1)本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率,相应的切线方程是.
15.已知平面向量,,,已知,,,且,则的最大值是________.
【答案】
【解析】不妨设,然后求出,的坐标,再根据求出的最大值.
【详解】
设,因为,所以,
因为,所以,
有,因为,
所以,
,
易知当时取最大值,
最大值为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算,二次函数的最值问题,属于基础题.
三、解答题
16.已知函数,若存在实数t,使值域为,则实数a的取值范围为____________.
【答案】
【解析】首先求出参数的取值范围,再对实数a的取值范围进行分类讨论即可求出实数a的取值范围.
【详解】
由题知,
因为在区间单调递增,
所以其值域为,
因为存在实数t,使值域为,
所以,故,
当时,有,
故此时的值域必须为,
有,
故,存在实数t,使值域为,
当时,有,
故此时对的最大值能否取到无要求,仅需保证,
故,存在实数t,使值域为,
当时,有,不满足题意舍去,
综上所述,当,存在实数t,使值域为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了含有参数的分段函数的值域问题,属于一般题.
17.已知命题;命题.
(1)若命题p是命题q的充分条件,求m的取值范围;
(2)当时,已知是假命题,是真命题,求x的取值范围.
【答案】(1);(2)或.
【解析】(1)根据命题p是命题q的充分条件,即p集合包含于q集合,然后根据集合的关系求解即可;
(2)根据是假命题,是真命题,分别求出满足条件的x的取值范围,然后取交集即可.
【详解】
(1)由题知命题p是命题q的充分条件,
即p集合包含于q集合,
有;
(2)当时,有命题,命题,
因为是假命题,即,
因为是真命题,即,
综上,满足条件的x的取值范围为或
【点睛】
本题考查了命题与集合的关系,根据命题真假求参数范围,属于基础题.
18.如图,在多面体中,是等边三角形,是等腰直角三角形,,平面平面,平面.
(1)求证:;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】(1)取的中点,可证得四点共面,再证平面,从而证得结论;(2)建立空间直角坐标系,求解出平面的法向量,则通过线面角的向量求法求得结果.
【详解】
(1)证明:取的中点,连接
是等边三角形
是等腰直角三角形且
平面平面,平面平面,平面
平面
平面 四点共面
,, 平面
平面
(2)作,垂足为,则
是等边三角形,
在中,.
是等腰直角三角形,
如图,以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系
则,,,
,,
设平面的法向量为
由, 得
令,得
是平面的一个法向量
设直线与平面所成角为
则
直线与平面所成角的正弦值为
【点睛】
本题考查空间中的垂直关系证明、空间向量法解决直线与平面所成角问题.证明空间中的线线垂直,通常采用先证明线面垂直的方式,利用性质得到线线垂直.
19.已知向量,,函数.
(1)求函数的最小正周期T和单调递增区间;
(2)已知角,,所对应的边分别为,,,A为锐角,,且是函数在上的最小值,求.
【答案】(1),增区间是;(2)或.
【解析】(1)首先利用数量积的坐标运算求出函数的表达式,然后利用辅助角公式化简为正弦型函数,即可求出单调增区间与最小正周期;
(2)首先利用求出边,然后利用余弦定理求出边,最后利用三角形面积公式求解即可.
【详解】
(1),
∴,令,
得,
所以单调递增区间是;
(2)解:,
因为,则当时有最小值为,
由余弦定理知,解得或,
则,解得或.
【点睛】
本题主要考查了辅助角公式,正弦型函数的性质,余弦定理,属于基础题.
20.已知数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前n项和.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)根据累加法求出数列的通项公式;
(2)利用分组求和与错位相减法求出数列的前n项和.
【详解】
(1)由已知,当时,
,
而,所以数列的通项公式为;
(2)由,
知,
令——①,
——②,
由①-②得,
整理得,
又因为,
所以.
【点睛】
本题主要考查了通过累加法求数列通项公式,错位相减法求数列前项和,属于一般题.
21.已知函数是定义在R的奇函数,其中a是常数.
(1)求常数a的值;
(2)设关于x的函数有两个不等的零点,求实数b的取值范围;
(3)求函数在上的值域.
【答案】(1);(2)或;(3)当时的值域是,当时的值域是.
【解析】(1)利用R上的奇函数的性质求出参数;
(2)首先把函数的零点问题转化为方程根的问题,利用函数的性质求出等式关系求解即可;
(3)利用变量代换把函数转化为二次函数求值域问题,然后根据参数分类讨论即可求出函数值域.
【详解】
(1)已知函数是定义在R的奇函数,
,解得,
,,
符合题意,故;
(2)由,
因为是奇函数,所以有,
又因为,故在R上单调递增,
由,得,
即,
令,得方程有两解,
有,求得或;
(3),,
令,则,
当时,时,有最小值,的值域是,
当时,时,有最小值2,的值域是.
【点睛】
本题考查较为全面,综合考查了函数的奇偶性,单调性,函数零点与方程根的关系,含参数的二次函数值域问题,属于中档题.
22.(1)讨论函数的单调性,并证明当时,;
(2)证明:当时,函数有最小值,设的最小值为,求函数的值域.
【答案】(1)在和上单调递增,证明见解析;(2)证明见解析,.
【解析】(1)对函数求导后分析导函数的正负,即可求出函数的单调递增区间,然后利用函数单调性证明当时,;
(2)首先对函数求导,再根据有极小值求出极小值,然后对极小值求导,求出函数的值域.
【详解】
(1)证明:,,
∵当时,,
∴在区间和上单调递增,
∴时,,
∴;
(2)
,令,
因为在上单调递增,
且的值域是,,
根据题中条件有恒有唯一的零点,
即零点,有,
又因为在上单调递增,
有当时,,,单调递减,
当时,,,单调递增,
所以在处取极小值也是最小值,
,
记,在时,,
∴单调递增,∴.
【点睛】
本题主要考查了利用导数求解函数函数单调区间,利用导数研究函数的极小值问题,属于难题.