2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟考试数学（文）试题
展开2019—2020学年度高三年级第三次模拟考试
数学试卷（文科）
分数：150分 时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题意要求的.
1.已知集合，，则等于
A. B. C. D.
2.如图，在复平面中，复数、分别对应点、，则
A. B. C. D.
3.已知，为单位向量，且满足，则
A. B. C. D.
4.已知圆的方程为，点在直线上，则圆心到点的最小距离为
A. B. C. D.
5.等比数列中，，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知函数（）的两个相邻的对称轴之间的距离为，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
7.已知，，，则
A. B. C. D.
8.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列命题正确的是
A.若，，，，则 B.若，，，则
C.若，，，则 D.若，，，则
9.经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系. 对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如下：
15 | 16 | 18 | 19 | 22 | |
102 | 98 | 115 | 115 | 120 |
由表中样本数据求得回归方程为，则
A. B.
C. D.与的大小无法确定
10.设，则函数
A.有极值 B.有零点 C.是奇函数 D.是增函数
11.已知、为双曲线：（，）的左、右焦点，直线与双曲线的一个交点在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
12.已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是[来源:学科网][来源:Z#xx#k.Com]
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知是定义域为的奇函数，且周期为，若当时，，则 .
14.曲线在点处的切线方程为 .
15.已知、、分别是三个内角、、的对边，，则角的大小为 .
16.已知边长为的空间四边形的顶点都在同一个球面上，若，平面平面，则该球的球面面积为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
等腰直角三角形中，，为的中点，正方形与三角形所在的平面互相垂直．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求点到平面的距离．
18.（本小题满分12分）
国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取名男生参加
实心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在至米之内）的频数分布表如下（单位：[来源:学_科_网]
米）：
分组 |
| ||||
频数 | [来源:Zxxk.Com] |
规定：实心球投掷距离在之内时，测试成绩为“良好”. 以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率.
（Ⅰ）求，并估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比；
（Ⅱ）现在从实心球投掷距离在，之内的男生中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人参加提高体能的训练．求：在被抽取的人中恰有两人的实心球投掷距离在内的概率.
19.（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，满足，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求．
20.（本小题满分12分）
设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）求证：当时，对，.
21．（本小题满分12分）
已知椭圆：（）上一点，且离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，连接，并延长交直线于，两点，若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的方程为，半圆的参数方程为（是参数，）. 以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）分别写出直线与半圆的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线，直线与半圆的交点为，直线与的交点为，求.
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）求的解集；
（Ⅱ）若，，且的值等于函数的最小值，求的最小值.
2019—2020学年度高三年级第三次模拟考试
数学（文科）答案
CACCB DCBBD CD
13. 14. 15. 16.
17.解：（Ⅰ）连，设交于，连
则，,得平行平面…………………6分
（2）
…………………12分
18.解：（Ⅰ） …………2分
∵被抽取的名男生中实心球投掷测试成绩为“良好”的频率为
∴估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比为………4分
（Ⅱ）用分层抽样的方法从实心球投掷距离在，之内的男生中抽取的人数分别为人，人，记实心球投掷距离在之内的人为，，；实心球投掷距离在之内的人为，.
从这人中随机抽取人的所有可能结果为：，，，，，，，，，共个.
设事件“在被抽取的人中恰有两人的实心球投掷距离在”，则事件包含的所有可能结果为：，，，，，共个 ……………………10分
∴ ………………………12分
19.解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，
由，得 ①
由，，成等比数列得，
∴即 ②
由①，②解得， 或， ……………………………4分
∴,
或 ,……………………………………6分
（Ⅱ）当,时,，
则
又
相减得
∴ ………………………………………………………10分
当,时, ,…………………………………………12分
20.
21.解：（1）由题有，. ∴，∴.
∴椭圆方程为.
（2）法1：
，.
又∴ 同理
又
∴
∴，此时满足
∴ ∴直线恒过定点
法2：设直线的方程为：
则
∴或
∴ 同理，
当时，由有. ∴ 同理
又
∴，
当时，
∴直线的方程为
∴直线恒过定点 当时，此时也过定点
综上直线恒过定点
22.解：（Ⅰ）直线的极坐标方程为，………………………………2分
曲线的普通方程为，又，
所以曲线的极坐标方程为…………………………5分
（Ⅱ）设，则有，解得………………7分
设，则有，解得……………9分
所以……………………………………………………………10分
23.解：（Ⅰ）由
得或或
即或或
解得或
∴解集为 …………………………………………4分
（Ⅱ）∵
∴的最小值为2
∴
∵，
∴
当且仅当即时等号成立
∴的最小值为 ……………………………………………10分
