2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟考试数学（理）试题
展开东北育才学校高中部2020届高三第三次 模拟考试
(理科数学）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1. 设集合，，则=（ ）A. B. C. D.
2.复数的虚部为（ ）A. B. C. D.
3.已知直线和互相平行，则实数（ ）
A. 或3 B. C. D. 或
4.已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5、设是公差不为零的等差数列的前项和，且，若，则当最大时，（ ） A. B． C． D．
6.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的新函数的一个对称中心是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分
别为，，此时气球的高是m，则河流的
宽度等于( )
A. B.
C. D.
8.三个数大小关系是（ ）
A．1.10.4＜0.41.1＜log0.41.1 B．0.41.1＜log0.41.1＜1.10.4
C．log0.41.1＜1.10.4＜0.41.1 D．log0.41.1＜0.41.1＜1.10.4
9.设函数，其中，则导数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
10.已知点是内部一点，满足，且的面积为，的面积为则( )
A. B. C. D.
11. 定义域为R的函数,若对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”，现给出如下函数：①②
③④ 其中为“H函数”的有（ ）
A.①② B.③④ C. ②③ D. ①②③
12.经过双曲线的右焦点作该双曲线一条渐
近线的垂线与两条渐近线相交于两点，若是坐标原点，△
的面积是，则该双曲线的离心率是 ( )
A. B. C. D.
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.函数的最大值是______．
14. 过原点作圆的两条切线，设切点分别为
,则直线的方程是 ______．
15.设定义域为的函数满足则不等式解集为______．
16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在直线上，当取最大值时，______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分;解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.在中，角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若，，求的长度．
18.2019年电商“双十一”大战前夕.某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双十一”的先机，对沈阳地区年龄在15到75岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示： (年龄单位：岁)来源:Z|xx|k.Com]
年龄段 | [15，25) | [25，35) | [35, 45) | [45，55) | [55，65) | [65，75] |
频率 | 0.1 | 0.32 | 0.28 | 0.22 | 0.05 | 0.03 |
购物人数 | 8 | 28 | 24[来源:学&科&网Z&X&X&K] | 12 | 2 | 1 |
(1) 若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2x2列联表，并判断能否在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？
| 年龄低于45岁 | 年龄不低于45岁 | 总计 |
使用网上购物 |
|
|
|
不使用网上购物 |
|
|
|
总计 |
|
|
|
(2) 若从年龄在［55， 65)，［65， 75］的样本中各随机选取2 人进行座谈，记选中的 4人中"使用网上购物”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
[来源:学科网] | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考数据
参考公式：
- 四棱锥中，，底面为
- 菱形，且有，，，为
中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．
20.设函数
（1）求函数的极值；
（2）当时，恒成立，求整数的最大值.（参考数值，）
21.已知为椭圆的右顶点，点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，当点与坐标原点重合时，直线的斜率之积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求面积的最大值．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴非负半轴为极轴极坐标，曲线的方程：，曲线的方程：．
（1）求曲线和曲线的直角坐标系方程；
（2）从上任意一点作曲线的切线，设切点为，求切线长的最小值及此时点的极坐标．
23.设函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若的解集为，，求证：．
东北育才学校高中部2020届高三第三次模拟考试试题答案
选择题1-12：
CBABB DBDAA CC
填空题：13.1 14. 15. 16.
17.解：（1）△ABC中，由acosB＝（c﹣b）cosA，利用正弦定理可得sinAcosB＝sinCcosA﹣sinBcosA，化简可得 sin（A+B）＝sinCcosA，即 sinC＝sinCcosA，求得cosA＝，∴A＝．
（2）由cosB＝，可得sinB＝，再由正弦定理可得，即，得b＝2．△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，AB＝6.
18.解：由统计表得，低于45岁的人数为70人，不低于45岁的人数为30人
| 年龄低于45岁 | 年龄不低于45岁 | 总计 |
使用网上购物 | 60 | 15 | 75 |
不使用网上购物 | 10 | 15[来源:Zxxk.Com] | 25 |
总计 | 70 | 30 | 100 |
故在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关
（2）X的可能取值为0，1，2，3
，
，
X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | [来源:学。科。网] |
X的数学期望为
19.解：（Ⅰ）设O为底面ABCD的中心，连接EO，
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD
∵△PAC中，E、O分别是PC、PA的中点
∴EO∥PA，又∵PA⊥面ABCD，∴EO⊥面ABCD
∵AC⊂面ABCD，∴AC⊥EO又∵BD、EO是平面BED内的两条相交直线
∴AC⊥面BED（6分）
（Ⅱ）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得
∴（8分）
设是平面ABE一个法向量
由，解得，
所以取x1＝1，，，可得，
因为PA⊥平面ABC，所以向量即为平面ABC的一个法向量，设＝（10分）
∴
根据题意可知：二面角E﹣AB﹣C是锐二面角，其余弦值等于|cos＜n1，n2＞|＝
∴二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值为．（12分）
20.解：（1）的定义域为
令，解得；令，解得
当时，单调递增，
当时，单调递减，
；无极小值 -----------------------4分
（2），因为，所以（）恒成立
设，则
设则
所以在上单调递增，
又
所以存在使得，
当时，；当时，
所以在上单调递减，上单调递增
所以
又，
所以
令
则，所以在上单调递增
所以，即
因为，所以，所以的最大值为2 -------------------------------------12
21.解：（1）设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则kPA•kPB＝＝﹣．
又+＝1，代入上式可得：﹣＝﹣，又a＝2，解得b＝1．
∴椭圆C的标准方程为：+y2＝1．
（2）设直线AB的方程为：x＝ty+m（t≠0），（﹣2≤m≤2）．A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，化为：（4+t2）y2+2mty+m2﹣4＝0，
∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∵＝2，∴y1＝﹣2y2，
∴+＝﹣，代入可得：m2＝．
∴△OAB的面积S＝|m（y1﹣y2）|＝|my2|，
∴S2＝m2•＝××＝9×．
∴S＝＝≤1，当且仅当t2＝时取等号．
∴△OAB面积的最大值为1．
22.解：（I）曲线C1的方程：（α为参数），可得．
由曲线C2的方程：．展开化为，化为x+y﹣8＝0．
（II）根据题意设曲线C1的圆心为M，则|PQ|＝，当|PQ|最短时，|PM|最小，
当PM⊥C2时，|PM|最短，此时|PM|＝＝6，
此时PM的直线方程为y＝x，可得P．
化为极坐标P，|PQ|的最小值＝＝．
23.解：（1）当a＝2时，不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，
∴①，或②，或 ③．
解①求得x≤﹣2，解②求得x∈∅，解③求得x≥5，
∴不等式的解集为（﹣∞﹣2]∪[5，+∞）．
（2）f（x）≤2，即|x﹣a|≤2，解得a﹣2≤x≤a+2，而f（x）≤2解集是[﹣1，3]，
∴，解得a＝1，∴+＝1 （m＞0，n＞0）．
∴m+4n＝（m+4n）•（+）＝3++≥3+2，当且仅当＝，即 m＝+1，n＝时，取等号．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
