2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟数学（文）试题（解析版）

2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解指数不等式可得集合B,跟交集运算即可求得.

【详解】

集合,

可得

则由集合交集运算可得

故选:C

【点睛】

本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题.

2．如图，在复平面中，复数、分别对应点、，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据复平面内的点坐标,可得复数、.结合复数的模及共轭复数的定义,即可求得.

【详解】

由图可知, 、

因为复数、分别对应点、

则,

由复数模的求法及共轭复数定义可知

,

则

故选:A

【点睛】

本题考查了复数的几何意义与坐标表示,复数模的求法及共轭复数的定义,属于基础题.

3．已知，为单位向量，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据平面向量的数量积定义及乘法运算,即可求得

【详解】

因为

则

由向量数量积的定义可得

,为单位向量

则

即

由向量夹角的取值范围为

可得

故选:C

【点睛】

本题考查了向量数量积的定义,向量的夹角求法,属于基础题.

4．已知圆的方程为，点在直线上，则圆心到点的最小距离为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先由圆的方程，得到圆心坐标，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，即可得出结果.

【详解】

因为圆的方程为，所以其圆心坐标为，

又在直线上，

所以求圆心到点的最小距离，即是求圆心到直线的距离，

由点到直线距离公式可得：.

故选C

【点睛】

本题主要考查圆心到直线上一点距离的最值问题，熟记点到直线距离公式即可，属于常考题型.

5．等比数列中，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据等比数列的通项公式,结合充分必要条件的判断即可得解.

【详解】

因为为等比数列,

若,即,可得

解得或.

则

当时, ;当时, ,所以“”是“”非充分条件

若,则,即,解得

故,所以“”是“”的必要条件

综上可知, “”是“”的必要不充分条件

故选:B

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式的简单应用,充分必要条件的判断,属于基础题.

6．已知函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，为了得到函数的图象，只需将的图象（   ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【解析】先由函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，得到周期，求出，再由平移原则，即可得出结果.

【详解】

因为函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，

所以的最小正周期为，因此，

所以，

因此，为了得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度.

故选D

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质，以及三角函数的平移问题，熟记三角函数的平移原则即可，属于常考题型.

7．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据指数与对数的转化,结合指数与对数的图像与性质,即可比较大小.

【详解】

因为.由指数与对数的转化可知,

根据对数函数的图像与性质可得

因为,由指数函数的图像可知

因为,由对数函数的图像与性质可知

综上可知,

故选:C

【点睛】

本题考查了指数式与对数式的转化,指数函数与对数函数的图像与性质,属于基础题.

8．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（   ）

A．若，，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

【答案】B

【解析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.

【详解】

A选项，若，，，，则或与相交；故A错；

B选项，若，，则，又，是两个不重合的平面，则，故B正确；

C选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故C错；

D选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故D错；

故选B

【点睛】

本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.

9．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如下：

由样本中样本数据求得回归直线方程为，则点与直线的位置关系是（    ）

A． B．

C． D．与的大小无法确定

【答案】B

【解析】分析：由样本数据可得，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．

详解：由题意，（15+16+18+19+22）=18，（102+98+115+115+120）=110，

，5=9900，=1650，n=5•324=1620，

∴b==3.1，

∴a=110﹣3.1×18=54.2，

∵点（a，b）代入x+18y，

∴54.2+18×3.1=110＞100．

即a+18b＞100.故答案为：B

点睛：本题主要考查回归直线方程的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和运算能力.

10．设，则函数

A．有极值 B．有零点 C．是奇函数 D．是增函数

【答案】D

【解析】分析：由x＜0，求得导数判断符号，可得单调性；再由三次函数的单调性，可得x≥0的单调性，即可判断正确结论．

详解：由x＜0，f（x）=x﹣sinx，导数为f′（x）=1﹣cosx，

且f′（x）≥0，f（x）递增，f（x）＞0；

又x≥0，f（x）=x3+1递增，

且f（0）=1＞0﹣sin0，

故f（x）在R上递增；

f（x）无极值和无零点，且不为奇函数.

故答案为：D

点睛：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查函数的零点判断和奇偶性的判断.

11．已知，为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线的一个交点在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先由题意得到，不妨令在第一象限内，再得到为等边三角形，求出，，结合双曲线的定义，即可求出结果.

【详解】

因为直线与双曲线的一个交点在以线段为直径的圆上，

所以，不妨令在第一象限内，

又为中点，，所以，

因为直线的倾斜角为，

所以为等边三角形，所以，

因此，在中，，

由双曲线的定义可得：，

所以双曲线的离心率为.

故选C

【点睛】

本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质以及双曲线的定义即可，属于常考题型.

12．已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】先令，根据题中条件得到在上恒成立，转化为在上恒成立；令，，用导数的方法求出最小值，即可得出结果.

【详解】

令，

则，

因为对任意，都有成立，

所以在上恒成立；

即在上恒成立；

即在上恒成立；

令，，

则，

由得，解得（舍）或，

所以，当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以，

因为在上恒成立，

所以只需，解得.

故选D

【点睛】

本题主要考查导数的应用，根据导数的单调性求参数的问题，通常需要用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.

二、填空题

13．已知是定义域为的奇函数，且周期为2，若当时，，则______．

【答案】

【解析】根据函数的奇偶性和周期性，求出，求出函数值即可．

【详解】

已知是定义域为的奇函数，且周期为， .

当时，， ，.

故答案为：

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性和周期性的应用，考查函数求值，属于基础题．

14．曲线在点处的切线方程为___________.

【答案】

【解析】根据导数的几何意义,先求得在点处的切线的斜率.进而结合点斜式即可求得切线方程.

【详解】

曲线

则

所以在点处的切线的斜率为

由点斜式可得

故答案为:

【点睛】

本题考查了导数的几何意义,直线方程的点斜式应用,属于基础题.

15．已知、、分别是三个内角、、的对边，，则角的大小为___________.

【答案】

【解析】根据正弦定理,将表达式转化为角的表达式,由三角形内角的定理,化简即可求得角.

【详解】

因为、、分别是三个内角、、的对边,

由正弦定理可得

因为

展开化简可得

即

因为三角形中

则

解得

故答案为:

【点睛】

本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题.

16．已知边长为的空间四边形的顶点都在同一个球面上，若，平面平面，则该球的球面面积为___________.

【答案】

【解析】根据题意,画出空间几何图形.由几何关系,找出球心.由勾股定理解方程即可求得球的半径,进而得球的面积.

【详解】

根据题意, G为底面等边三角形的重心,作底面.作交于,过作交于.连接画出空间几何图形如下图所示:

因为等边三角形与等边三角形的边长为,且

所以

G为底面等边三角形的重心,则,

面平面

因而四边形为矩形,设,则,球的半径为

在和中

解得

所以球的表面积为

故答案为:

【点睛】

本题考查了空间几何体的结构特征,三棱锥外接球的半径与表面积求法,属于中档题.

三、解答题

17．等腰直角三角形中，，为的中点，正方形与三角形所在的平面互相垂直．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，求点到平面的距离．

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）连, 交于,连,由中位线定理即可证明平面.

（Ⅱ）根据,由等体积法即可求得点到平面的距离.

【详解】

（Ⅰ）连,设交于,连,如下图所示:

因为为的中点,为的中点,

则

面,面

所以平面

（Ⅱ）因为等腰直角三角形中,

则,又因为

所以平面

则

设点到平面的距离为.

由,代入可得

解得.

【点睛】

本题考查了直线与平面平行的判定,等体积法求点到平面距离的方法,属于基础题.

18．国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取100名男生参加实心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在5至15米之内）的频数分布表如下（单位：米）：

规定：实心球投掷距离在之内时，测试成绩为“良好”，以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率.

（1）求，并估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比.

（2）现在从实心球投掷距离在，之内的男生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，求：在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在内的概率.

【答案】（1）平均值，百分比％；（2）

【解析】（1）根据平均值的定义和古典概型的概率分别求解即可；

（2）先按分层抽样的方法抽取5人，再利用组合知识计算从这5名学生中选出2人的方法种数，代入古典概型概率公式计算即可.

【详解】

（1）根据平均值的定义得，

因为实心球投掷距离在之内时，测试成绩为“良好”，所以％.

（2）实心球投掷距离在，之内的男生分别有9，6人，用分层抽样的方法抽取5人，则分别抽取3，2人.

从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练的总数为，在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在的总数为，

所以在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在内的概率为.

【点睛】

本题考查了平均值的计算，古典概型概率的求法，组合数计算公式，分层抽样方法的利用，属于基础题.

19．已知等差数列的前项和为，满足，且成等比数列.

（1）求及；

（2）设，数列的前项和为，求.

【答案】(1) ；；（2）

【解析】（1）先设等差数列的公差为，根据题中条件列出方程组，求出首项和公差，结合公式即可求出结果；

（2）先由（1）得到，再由错位相减法，即可求出结果.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，

因为，且成等比数列，

所以有，即，解得，

所以；；

（2）由（1）可得，

因为数列的前项和为，

所以，

因此，，

两式作差得，

整理得.

【点睛】

本题主要考查等差数列，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式、求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.

20．已知函数（为自然对数的底数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）求证：当时，对，.

【答案】（1）见详解；（2）见详解.

【解析】(1)求出函数的导数，根据其正负讨论单调性，需按与的大小分类讨论.

(2)要证，即证，结合(1)中的单调性对的最小值进行分析即可.

【详解】

（1），由得或.

当时，，函数在内单调递增.

当时，函数在，内单调递增，在内单调递减.

当时，函数在，内单调递增，在内单调递减.

（2）证明：要证，，即证，.

①由（1）可知，当，时，.

，.

设，，则，

在单调递增，故，即.

.

②当时，函数在单调递增，.

③当时，由（1）可知，时，.

又，，

.

综上，当时，对，.

【点睛】

本题考查函数与导数的综合问题，考查分类讨论的数学思想方法.根据含参函数的导数符号求单调性时，往往需要按根的存在性、根的大小进行分类讨论.不等式的恒成立问题，往往通过转化为最值问题来求解.

21．已知椭圆，与轴负半轴交于，离心率

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，连接，并延长交直线于，两点，若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标。

【答案】（1）（2）见证明

【解析】（1）由椭圆与轴交于可得得值，结合与即可求解；（2）由，和两点斜率公式即可分别用表示，表示，再联立直线与椭圆方程，用韦达定理与直线方程代入化简即可求解.

【详解】

（1）由题有，.    ∴，∴.

∴椭圆方程为.

（2）法1：

，.

又∴，同理

又

∴

∴，此时满足

∴

∴直线恒过定点

法2：设直线的方程为：

则

∴或

∴，同理，

当时，由有. ∴，同理

又

∴，

当时，

∴直线的方程为

∴直线恒过定点，当时，此时也过定点

综上直线恒过定点

【点睛】

本题考查直线与椭圆的应用.直线恒过定点问题要结合已知条件求出直线的点斜式方程，联立直线方程与椭圆方程消元，再利用韦达定理代入是常用方法.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（是参数， ）.以为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）分别写出直线与曲线的极坐标方程；

（2）若直线，直线与曲线的交点为，直线与的交点为，求.

【答案】（1）, ; （2）.

【解析】试题分析：（1）可利用公式化直角坐标方程为极坐标方程，可把曲线的参数方程通过消参法化为普通方程后，再转化为极坐标方程；

（2）利用极坐标的意义解题，把直线的极坐标方程代入直线的极坐标方程得，代入曲线的极坐标方程可解得，显然

解析：（1）直线的极坐标方程为,曲线的普通方程为，又，所以曲线的极坐标方程为.

（2）设，则有，解得,设，则有，解得,所以.

23．已知函数.

（Ⅰ）求的解集；

（Ⅱ）若，，且的值等于函数的最小值，求的最小值.

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）分类讨论解不等式,即可求得不等式的解集.

（Ⅱ）根据绝对值三角不等式可求得的最小值为2.即可得.由基本不等式即可求得的最小值.

【详解】

（Ⅰ）由,即

得,或,

即,或

解得或.

∴解集为

（Ⅱ）∵,

∴的最小值为2,

∴,∵,,

∴.

当且仅当即时等号成立,

∴的最小值为.

【点睛】

本题考查了分类讨论解绝对值不等式,绝对值三角不等式的用法,基本不等式求最值,属于基础题.