陕西省西安中学2020届高三第八次模拟考试数学（理）试题
展开西安中学2020届高三第八次模拟考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数在复平面内对应的点的坐标为为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
2．已知集合，则集合的真子集个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
3．已知（ ）
A. B. C. D.
4．由表格中的数据可以判定方程的一个根所在的区间为，则的值为 ( )
| 0 | 1 | 2 | 3 | |
| 1 |
|
|
| |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
A. B. 1 C. 0 D.
5．已知函数则函数的图像在点处的切线斜率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数当时，取得最大值，则函数的大致图像为（ ）
7．如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（ ）
A. B. C. D.
8．已知函数的定义域为且满足若（ ）
A. B. C. 0 D. 4
9． 若的内角,,所对的边分别为，已知，则
=（ ）
A. B. C. D.
10．在正方体中，异面直线和分别在上底面和下底面上运动，且，现有以下结论：
①当与所成角为60°时，与所成角为60°；
②当与所成角为60°时，与侧面所成角为30°；
③与所成角的最小值为45°
④与所成角的最大值为90°
其中正确的是（ ）
- ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④
11．如图，分别是双曲线的左，右焦点，过点作直线，使直线与圆相切于点,设直线交双曲线的左右两支分别于两点（在线段上），若且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12． 若表示不超过的最大整数（例如：），数列满足：，则（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13．已知直线则的值为 .
14. 已知的展开式的各项二项式系数和为，则展开式中的系数为 .
15. 已知公差不为0的等差数列中，依次成等比数列，若，依次成等比数列，则等于 .
16. 记函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分12分)
已知，的内角的对边分别为，为锐角，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
18．(本小题满分12分)
已知在多面体ABCDEF中，四边形ABFE为正方形，，G为AB的中点，.
（1）求证：平面CDEF；
（2）求平面ACD与平面BCF所成锐二面角的余弦值.
19. (本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
20. (本小题满分12分)
已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设，当时，对任意，存在，使得，求实数的取值范围.
21. (本小题满分12分)
如图，直角坐标系中，圆的方程为，
为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子（骰子为正方体形状，六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6）．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．
设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为．例如：
掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为．
（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率；
（2）掷骰子次时，若以轴非负半轴为始边，以射线为终边的角的余弦值记为随机变量，求的分布列和数学期望；
（3）记，其中．证明：数列
是等比数列，并求.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，已知直线的参数方程为.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点的极坐标为，求的值.
23. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数，且的解集为
（1）求的值；
（2）若，，都是正实数，且，求证：.
西安中学2020届高三第八次模拟考试
数学（理）答案
一、选择题：
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | A | D | B | A | C | A | B | D | C | C | A |
二、填空题：
13、 -1 14、160 15、 16、
三、解答题：
17. （1）函数
，
由得：，为锐角，，
；
（2）由余弦定理有，，，，
，，.
18. (1)证明：取中点,连接,根据题意可知,四边形是边长为2的正方形,所以,易求得,所以, 于是；
而,所以平面,又因为,所以平面；
(2)因为平面,且,故以为空间直角坐标系原点建立如图空间直角坐标系.
由题意可知,故.
设平面的法向量,则,即,
不妨设,则易得.故.
又,故可设平面的法向量.
设平面与平面所成锐二面角为,故.
19. （1）由已知，的坐标分别是由于的面积为，
，又由得，
解得：，或（舍去），
椭圆方程为；
（2）设直线的方程为，的坐标分别为
则直线的方程为，令，得点的横坐标
直线的方程为，令，得点的横坐标
把直线代入椭圆得
由韦达定理得,
∴，是定值．
20. （1）函数的定义域为，
，
由，得或.
当即时，由得，
由得或；
当即时，当时都有；
当时，单调减区间是，单调增区间是，；
当时，单调增区间是，没有单调减区间.
（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
从而在上的最小值为.
对任意，存在，使得，
即存在，使的值不超过在区间上的最小值.
由，.
令，则当时，.
，
当时；当时，，.
故在上单调递减，
从而，
从而.
21.
22.
23．解：（I）依题意,即,
∴
（II）方法1:∵
∴
当且仅当,即时取等号
方法2: ∵
∴由柯西不等式得
整理得
当且仅当,即时取等号
