2020届陕西省榆林市高三模拟第一次测试数学（理）试题（解析版）

2020届陕西省榆林市高三模拟第一次测试数学（理）试题

一、单选题

1．设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】先求出共轭复数再判断结果.

【详解】

由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．

【点睛】

本题考点为共轭复数，为基础题目．

2．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先化简集合A和B，再求得解.

【详解】

由题得或，，

所以=.

故选：B

【点睛】

本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为.若低于分的人数是人，则该班的学生人数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据频率分布直方图求得低于分的人所占的比例再求解总人数即可.

【详解】

易得低于分的人所占的比例为.

故该班的学生人数是人.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图的应用,属于基础题型.

4．若，则下列结论正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】试题分析：对于A,考查指数函数为增函数,所以,A错误；对于B,考查指数函数为减函数,所以,B错误；对于C,考查对数函数在定义域上为增函数,所以,C错误；对于D,考查对数函数在定义域上为减函数,所以,D正确.选D.

【考点】指数函数、对数函数的单调性.

5．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（    ）

A．甲 B．丙 C．甲与丙 D．甲与乙

【答案】D

【解析】分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.

【详解】

若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，

命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；

若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；

若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立.

综上所述，甲与乙被录取.

故选：D.

【点睛】

本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.

6．已知向量，，若，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】【详解】

∵，∴.

∴，即，

∴,，故选B.

【考点定位】

向量的坐标运算

7．已知，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用二倍角公式和同角三角函数的平方关系可求出的值.

【详解】

，，，即，

整理得，所以，解得.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式求值，在解题时要结合角的取值范围判断所求值的符号，考查计算能力，属于中等题.

8．对于函数，给出下列四个命题：

①该函数的值域为；

②当且仅当时，该函数取得最大值；

③该函数是以为最小正周期的周期函数；

④当且仅当时，.

上述命题中正确命题的个数为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用特殊值法可判断命题③的正误；作出函数在区间上的图象，结合该函数的周期可判断命题①②④的正误.综合可得出结论.

【详解】

由题意可知，

对于命题③，，，则，所以，函数不是以为周期的周期函数，命题③错误；

由于，

所以，函数是以为周期的周期函数.

作出函数在区间上的图象如下图（实线部分）所示：

由图象可知，该函数的值域为，命题①错误；

当或时，该函数取得最大值，命题②错误；

当且仅当时，，命题④正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查有关三角函数基本性质的判断，作出函数的图象是关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

9．已知偶函数，当时，． 设，，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】【详解】

因为函数为偶函数，所以，

即函数的图象关于直线对称，即，

又因为当时，，所以函数

 在上单调递增，在上单调递减，

因为，所以，

即；故选D.

10．已知，，若直线与圆相切，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由直线与圆相切可得出，化简得出，利用基本不等式可得出关于的二次不等式，结合可求出的取值范围.

【详解】

将圆的方程化为标准方程得，该圆的圆心坐标为，半径为，

由于直线与圆相切，

则，化简得，

由基本不等式可得，即，

当且仅当时，等号成立，，，，解得.

因此，的取值范围是.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用直线与圆相切求参数的取值范围，解题的关键就是利用基本不等式构造不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.

11．设分别为双曲线的左右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于两点，且满足，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求出，的坐标，再利用余弦定理，求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率．

【详解】

设以为直径的圆与渐近线相交于点的坐标为，，

根据对称性得点的坐标为，，

；

解得，；

又，且，

由余弦定理得，

化简得，

．

故选：．

【点睛】

本题考查了双曲线的标准方程与几何性质的应用问题，解题时应熟记它的几何性质是什么，属于基础题．

12．定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】先将不等式转化为函数最值问题，再根据函数解析式以及单调性求对应函数最值，最后解不等式得结果.

【详解】

因为当时，不等式恒成立，所以，

当时，

当时，，当时， ，因此当时，，选B.

【点睛】

对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.

二、填空题

13．曲线:在点处的切线方程为_______________.

【答案】y=2x﹣e

【解析】，，所以切线方程为，化简得.

14．已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积等于__________.

【答案】

【解析】由题意可知，直三棱柱的高为，利用正弦定理求出的外接圆半径，然后利用公式求出该直三棱柱的外接球半径，最后利用球体的表面积公式即可计算出该球的表面积.

【详解】

由题意可知，直三棱柱的高为，

在中，，则该三角形为等腰三角形，又，，

设的外接圆半径为，由正弦定理得，.

设直三棱柱的外接球半径为，则，

因此，该球的表面积为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查球体表面积的计算，涉及多面体的外接球问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

15．如图，抛物线和圆，直线经过的焦点，依次交于四点，则的值是__________．

【答案】

【解析】由题得，同理，由此能够求出．

【详解】

抛物线的焦点为，，

直线经过的焦点，

设直线的方程为，

联立，得，

设，，，，

则，

同理，

．

故答案为：1

【点睛】

本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．

16．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

【答案】9

【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此

当且仅当时取等号，则的最小值为.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

三、解答题

17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面,于点，连接.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）证明平面即证明；（2）如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量方法求直线与平面所成角的正弦值.

【详解】

（1）证明：平面平面.

四边形为矩形，

平面,平面,

平面.

平面，.

平面平面,

平面.

又平面,；

（2）如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则.

.

设平面的一个法向量为，

由可得；

令，得.

设直线与平面所成的角为，

则.

直线与平面所成的角的余弦值为.

【点睛】

本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18．已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．

（1）求及角的大小；

（2）求的值．

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）由及正弦定理化简可得即，从而得．又，所以，由余弦定理得；（2）由，得 ，所以．

试题解析：（1）由及正弦定理得，

即，

在中，，所以．

又，所以．

在中，由余弦定理得，

所以．

（2）由，得 ，

所以．

19．已知数列，满足，，，.

（1）证明：数列，为等比数列；

（2）记为数列的前项和，证明：.

【答案】（1）见证明；（2）见证明

【解析】（1）将题中条件分别相加和相减，结合等比数列的定义，即可得证．

（2）根据（1）结论可求出，则前n项和为两个等比数列的前n项和之和，代入公式，即可求解．

【详解】

（1）依题：，两式相加得：，∴为等比数列，两式相减得：，∴为等比数列.

（2）由上可得：①，②，两式相加得：， .

【点睛】

本题考查了等比数列的证明与求解，与等比数列的求和与放缩.旨在考查考生的基本运算能力，方程思想，对式子的结构感知能力，以及体会式子之间的协作互助性并利用之.

20．函数.

（1）求在处的切线方程（为自然对数的底数）；

（2）设，若，满足，求证：.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）求出导函数，切线方程为，化简即可；

（2）先由导数确定在上单调递增，不妨设，则，又，，则，于是，这是重要的一个结论，构造函数，求出，可确定在上递减，于是，于是，下面只要证明即可。

【详解】

（1），则，

故在处的切线方程为即；

（2）证明：由题可得，，

当时，，则；当时，，则，

所以，当时，，在上是增函数.

设，

则，

当时，，则，在上递减.

不妨设，由于在上是增函数，则，

又，，则，于是，

由，在上递减，

则，所以，则，

又，在上是增函数，所以，，即.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式。本题不等式证明难度很大，首先不妨设，由的单调性得，因此要证题设不等式只要证，为此构造新函数，利用它在上的单调性完成证明。构造新函数学生难以想到，需要学生反复学习、练习，不断归纳总结，都有可能独立完成。

21．如图，设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且0，若过 A，Q，F2三点的圆恰好与直线相切，过定点 M（0，2）的直线与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线的斜率，在x轴上是否存在点P（，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围．

【答案】（1）;（2）;（3）.

【解析】试题分析：（1）利用向量确定F1为F2Q中点，设Q的坐标为（-3c，0），因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，再由直线与圆相切得  解得c=1，利用椭圆基本量之间的关系求b；（2）假设存在，设方程，联立方程组，消元后由判别式大于0可得出，又四边形为菱形时，对角线互相垂直，利用向量处理比较简单，，化简得（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k=0，再由 代入化简得：，

解得，利用均值不等式范围；（3） 斜率存在时设直线方程，联立消元，,再由，进行坐标运算，代入化简，分离k与，利用k的范围求，注意验证斜率不存在时情况．

试题解析：（1）因为0,所以F1为F2Q中点

设Q的坐标为（-3c，0），因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，

且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（-c，0），半径为2c．

因为该圆与直线L相切，所以  解得c=1，所以a=2，故所求椭圆方程为．（2）设L1的方程为y=kx+2（k>0）由得（3+4k2）x2+16kx+4=0,

由△>0，得   所以k>1/2,设G（x1，y1），H（x2，y2），则所以（x1-m，y1）+（x2-m，y2） =（x1+x2-2m，y1+y2） =（x1+x2-2m，k（x1+x2）+4）（x2-x1，y2-y1）=（x2-x1，k（x2-x1））,由于菱形对角线互相垂直，因此所以（x2-x1）[（x1+x2）-2m]+k（x2-x1）[k（x1+x2）+4]=0,故（x2-x1）[（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k]=0因为k>0，所以x2-x1≠0所以（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k=0，即（1+k2）（x1+x2）+4k-2m=0，所以

,解得， 因为k>0，所以故存在满足题意的点P且m的取值范围是．（3）①当直线L1斜率存在时，设直线L1方程为y=kx+2，代入椭圆方程,得（3+4k2）x2+16kx+4=0 ,    由△>0，得,设G（x1，y1），H（x2，y2），  则,又，所以（x1，y1-2）=λ（x2，y2-2）， 所以x1=λx2， 所以,∴  ∴,整理得 ,因为， 所以 ,解得又0＜λ＜1，所以 ．②当直线L1斜率不存在时，直线L1的方程为x=0，

，，,所以 ．综上所述， ．

点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．

22．以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为 （为参数），曲线的极坐标方程为 .

(1)求曲线 的直角坐标方程；        

(2)设直线与曲线相交于两点，求.

【答案】（1）（2）

【解析】【试题分析】（1）借助极坐标与直角坐标之间的互化关系进行求解；（2）先将直线的参数方程代入抛物线方程中，借助根与系数的关系及直线方程中的参数的几何意义求弦长：

解：

(1)由，既   曲线的直角坐标方程为.

(2) 的参数方程为代入，整理的，所以，

   所以.

23．不等式选讲，已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若关于的不等式 的解集是空集，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】【试题分析】（1）依据绝对值的定义运用分类整合的数学思想将问题进行转化，再建立不等式组分类求解；（2）借助绝对值三角不等式求函数的最小值，然后建立不等式分析求解：

解：

(1)

，或，或，

解得，或，或     即不等式的解集为.

(2)   

又 的解集是空集         故实数的取值范围是