2020届山东实验中学高三第二次诊断性考试数学试题（解析版）

2020届山东实验中学高三第二次诊断性考试数学试题


一、单选题
1．命题:“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【详解】
解：命题“”是全称命题，则命题的否定是特称命题
即，
故选：．
【点睛】
本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，属于基础题．
2．是虚数单位，若复数，则的虚部为（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【解析】利用复数的代数形式的运算法则直接求解．
【详解】
解：是虚数单位，
复数，
的虚部为．
故选：．
【点睛】
本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
3．在中，若 ，则=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】余弦定理将各值代入
得
解得或(舍去)选A.
4．若是任意实数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据指数函数的单调可得正确，举反例可判断其他选项是错误的.
【详解】
解：、是任意实数，且，如果，，显然不正确；
如果，，显然无意义，不正确；
如果，，显然，，不正确；
因为指数函数在定义域上单调递减，且，满足条件，正确．
故选：．
【点睛】
本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，属于基础题．
5．设，，若，求实数组成的集合的子集个数有
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】D
【解析】先解方程得集合A，再根据得，最后根据包含关系求实数，即得结果.
【详解】
,
因为，所以，
因此，对应实数的值为，其组成的集合的子集个数有，选D.
【点睛】
本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.
6．已知，且，则的值为（）
A．-7 B．7 C．1 D．-1
【答案】B
【解析】由了诱导公式得，由同角三角函数的关系可得，
再由两角和的正切公式，将代入运算即可.
【详解】
解：因为，
所以，即，
又 ，
则，
解得= 7，
故选B.
【点睛】
本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.
7．古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ）
A．6天 B．7天 C．8天 D．9天
【答案】C
【解析】由等比数列前项和公式求出这女子第一天织布尺，由此利用等比数列前项和公式能求出要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天．
【详解】
解：设该女子第一天织布尺，
则，
解得，
前天织布的尺数为：，
由，得，
解得的最小值为8．
故选：．
【点睛】
本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题．
8．已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，设，则有，即函数的图象关于对称，结合时，，及已知导数可判断函数单调性，从而可求不等式．
【详解】
解：根据题意，设，则，
则有，，即有，
故函数的图象关于对称，
则有，
当时，，，
又由当时，，即当时，，
即函数在区间为增函数，
由可得，即，
，
函数的图象关于对称，
函数在区间为增函数，
由可得，即，此时不存在，
故选：．
【点睛】
本题考查利用导数分析函数的单调性，涉及函数的对称性以及不等式的解法，属于中档题．
9．已知函数的图象关于直线对称，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据函数的对称性，利用，建立方程求出的值，然后利用辅助角公式求出的解析式，利用最值性质转化为周期关系进行求解即可．
【详解】
解：解：的图象关于直线对称，
，
即，，
则，
，
，或，，
即，一个为最大值，一个为最小值，
则的最小值为，
，
的最小值为，
即的最小值为.
故选：．
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用对称性建立方程求出的值以及利用辅助角公式进行化简，转化为周期关系是解决本题的关键
10．已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先作图象，再根据图象确定等量关系以及参数取值范围，最后化简得结果.
【详解】
先作图象，由图象可得
因此为，从而，选A.

【点睛】
对于方程解(或函数零点的)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

二、多选题
11．关于平面向量，下列说法中不正确的是（ ）
A．若且，则 B．
C．若，且，则 D．
【答案】ACD
【解析】利用向量数量积所具备的相关性质逐一进行判断即可．
【详解】
解：对于，若，因为与任意向量平行，所以不一定与平行，故错；
对于，向量数量积满足分配律，故对；
对于，向量数量积不满足消去率，故错；
对于，是以为方向的向量，是以为方向的相量，故错．
故选：．
【点睛】
本题考查命题真假性的判断，掌握向量的相关性质即可，属于基础题．
12．己知函数的一个零点，为图象的一条对称轴，且上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（ ）
A． B．
C．上有且仅有4个极大值点 D．上单调递增
【答案】CD
【解析】根据的零点和对称轴，可以推出为奇数，再结合在上有且仅有7个零点，推出的值，进而推出的值以及函数单调性．
【详解】
解：为图象的一条对称轴，为的一个零点，
，且，，
，，
在上有且仅有7个零点，
，即，
，
，又，所以，


令，解得，
当解得，因为，所以
故上有且仅有4个极大值点，
由得，，

即在上单调递增，
在上单调递增，
综上，错误，正确，
故选：．
【点睛】
本题考查了正弦函数的奇偶性和对称性，考查了正弦型函数的单调性，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于难题．
13．设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可．
【详解】
解：令函数，因为，
，
为奇函数，
当时，，
在上单调递减，
在上单调递减．
存在，
得，，即，
；，
为函数的一个零点；
当时，，
函数在时单调递减，
由选项知，取，
又，
要使在时有一个零点，
只需使，
解得，
的取值范围为，
故选：．
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于中档题．


三、填空题
14．已知向量满足， ，，则___________.
【答案】
【解析】根据向量的数量积的运算律求出，再计算即可得解.
【详解】
解：由已知：， ，，所以，展开得到，所以，
所以，
所以；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平面向量的模的运算；利用了向量的模的平方与向量的平方相等，属于基础题．
15．设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】【详解】试题分析：由题意得，，解得，所以，由，解得，即，要使得是的充分不必要条件，则，解得，所以实数的取值范围是．
【考点】充分不必要条件的应用；不等式的求解．
【方法点晴】
本题主要考查了充分条件和必要条件的判定与应用、分式不等式和一元二次不等式的求解等知识的应用，本题的解答中根据分式不等式的求解和一元二次不等式的求解，求解的解集，再由是的充分不必要条件，列出不等式组是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
16．在中，分别为内角的对边，若，且，则__________．
【答案】4
【解析】已知等式，利用正弦定理化简得：，可得，，可解得，余弦定理可得，，可解得，故答案为.
17．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为9的圆锥和底面半径为，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与各自的高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为_________；若新圆锥的内接正三棱柱表面积取到最大值，则此正三棱柱的底面边长为_________.
【答案】3
【解析】先求出原来的体积和，再求出新的体积和，列出方程，即可解出新的底面半径，设新圆锥的内接正三棱柱的底面边长为，高为，底面正三角形的外接圆的半径为，利用相似比用表示出，从而把正三棱柱的表面积表示成的二次函数，利用二次函数的性质即可求出三棱柱的表面积取到最大值时的值．
【详解】
解：由题意可知，
底面半径为5，高为9的圆锥和底面半径为，高为8的圆柱的总体积为，
设新的圆锥和圆柱的底面半径为，
则：，解得：，
设新圆锥的内接正三棱柱的底面边长为，高为，底面正三角形的外接圆的半径为，
，，
又，
，
正三棱柱的表面积，
当时，三棱柱的表面积取到最大值，
故答案为：3，．
【点睛】
本题主要考查了圆锥与圆柱的体积公式，属于中档题．

四、解答题
18．己知函数的最大值为1.
（1）求实数的值；
（2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）-1（2）最大值，最小值-3
【解析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数，可得．
（2）根据函数的图象变换规律，可得．再根据，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．
【详解】
解：（1）

，

（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象， ，


当时，，取最大值，
当时，，取最小值.
【点睛】
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域、值域，属于基础题．
19．等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据已知求出和，从而得到通项公式；（2）写出的通项公式，可知当时，，当时，；从而可分别在两个范围内求解.
【详解】
（1）由题意得：

（2）
当时，；时，
当时，
当时，
即

综上所述：
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式求解、含绝对值的数列前项和问题.解决含绝对值的求和问题，关键是要区分清楚通项正负的临界点，从而分别在两段区间内进行求和运算.
20．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量已知，.

（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在和中分别对使用余弦定理，可推出与的关系，即可得出是一个定值；
（2）求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出的最大值.
【详解】
（1）在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，，
则，；
（2），，
则，
由（1）知：，代入上式得：
，
配方得：，
当时，取到最大值.
【点睛】
本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
21．已知函数且a≠0）．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）的极小值为，试求a的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意可知．，由此能求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）当a＜-1时，求出，解得，不成立；②当a=-1时，≤0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）单调递减．f（x）无极小值；当-1＜a＜0时，极小值f（1）=-a-4，由题意可得，求出；当a＞0时，极小值f（1）=-a-4．由此能求出a的值．
【详解】
（1）函数f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（a∈R，且a≠0）．
由题意可知．
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．
（Ⅱ）①当a＜-1时，x变化时变化情况如下表：
x



1
（1，+∞）

-
0
+
0
-
f（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘

此时，解得，故不成立．
②当a=-1时，≤0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递减．
此时f（x）无极小值，故不成立．
③当-1＜a＜0时，x变化时变化情况如下表：
x
（0，1）
1




-
0
+
0
-
f（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘

此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，
解得或．
因为-1＜a＜0，所以．
④当a＞0时，x变化时变化情况如下表：
x
（0，1）
1
（1，+∞）

-
0
+
f（x）
↘
极小值
↗

此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，
解得或，故不成立．
综上所述．
【点睛】
本题考查切线方程的求法，考查极值的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
22．设正项数列的前n项和为，已知
(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式
(2)设数列的前n项和为，且，若对任意都成立，求实数的取值范围。
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】（1）首先求出，利用与作差，化简即可得到为常数，进而可证明数列为等差数列，其首项为2，公差2，利用等差数列通项公式求出；
（2）结合（1）可得，利用裂项相消，即可求出数列的前项和为，代入，分离参数即可得到，分别为奇数和偶数是的范围即可。
【详解】
（1）证明:∵，且，
当时，，解得．
当时，有即，即．于是，
即．
∵，∴为常数
∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴．
（2）由（1）可得： ，
∴
，即对任意都成立，
①当为偶数时，恒成立，
令，
，
在上为增函数，

②当为奇数时，恒成立，又，在为增函数，
∴由①②可知：
综上所述的取值范围为:
【点睛】
本题考查数列前项和与通项公式的关系，求数列前项和的方法以及数列与函数的结合，考查学生运算求解能力，属于中档题。
23．已知函数且在上的最大值为，
（1）求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明
【答案】（1）（2）2个零点.
【解析】（1）由题意，可借助导数研究函数上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解；（2）借助导数研究函数f（x）在（0，π）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数．
【详解】
(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),对于任意的x∈(0, )，
有sinx+xcosx>0,当a=0时,f(x)=− ，不合题意；
当a<0时,x∈(0,),f′(x)<0,从而f(x)在(0, )单调递减，
又函数f(x)=axsinx− (a∈R)在[0, ]上图象是连续不断的，
故函数在[0, ]上的最大值为f(0)，不合题意；
当a>0时,x∈(0, ),f′(x)>0,从而f(x)在(0, )单调递增，
又函数f(x)=axsinx− (a∈R)在[0, ]上图象是连续不断的，
故函数在[0, ]上上的最大值为f()=a−=，解得a=1，
综上所述,得；
(2)函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。证明如下：
由(I)知,f(x)=xsinx−,从而有f(0)=− <0,f()=π−32>0，
又函数在[0, ]上图象是连续不断的,所以函数f(x)在(0, )内至少存在一个零点，
又由(I)知f(x)在(0, )单调递增,故函数f(x)在(0, )内仅有一个零点。
当x∈[,π]时,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx，
由g()=1>0,g(π)=−π<0,且g(x)在[,π]上的图象是连续不断的，
故存在m∈,π),使得g(m)=0.
由g′(x)=2cosx−xsinx,知x∈(,π)时,有g′(x)<0，
从而g(x)在[,π]上单调递减。
当x∈,m),g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0，
从而f(x)在(,m)内单调递增
故当x∈(,m)时,f(x)>f(π2)=π−32>0，
从而(x)在(,m)内无零点；
当x∈(m,π)时,有g(x) 从而f(x)在(,m)内单调递减。
又f(m)>0,f(π)<0且f(x)在[m,π]上的图象是连续不断的，
从而f(x)在[m,π]内有且仅有一个零点。
综上所述,函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。