2020届山东省烟台市高考诊断性测试（4月）数学试题（解析版）

2020届山东省烟台市高考诊断性测试（4月）数学试题


一、单选题
1．已知集合.，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据函数的定义域和函数的值域，化简集合，按照交集定义，即可求解.
【详解】
，
，
.
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的运算，涉及到函数的定义域与值域，属于基础题.
2．已知复数满足(为虚数单位)，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据复数除法运算法则，求出，即可得出结论.
【详解】
.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数代数运算和共轭复数，属于基础题.
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分别求出和的解，结合充分必要条件的定义，即可得出结论.
【详解】
，解得，
，解得或，
“”成立，则“或”成立，
而“或”成立，“”不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题.
4．数列，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前50项和为（ ）
A．33 B．34 C．49 D．50
【答案】B
【解析】根据为除以2的余数，依次写出的各项，从而可得是按1,1,0的周期排列规律，即可求出结论.
【详解】
依次写出的各项，
为除以2的余数，依次写出各项为
，
各项是按的周期规律排列，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查归纳推理、猜想能力，考查分析问题、解决问题能力，属于中档题.
5．设为平行四边形，，若点满足.则（ ）
A．23 B．17 C．15 D．9
【答案】B
【解析】以为基底，根据的位置关系，将向量用基底表示，再由向量的数量积运算律，即可求解.
【详解】
，
，
，


.
故选：B.

【点睛】
本题考查向量的数量积、向量基本定理，考查计算求解能力，属于基础题.
6．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互对立，最终落入③号球槽两次向右，三次向左，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解.
【详解】
设这个球落入③号球槽为事件，
落入③号球槽两次向右，三次向左，，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查独立重复试验概率求法，将实际应用问题转化为概率模型是解题的关键，属于基础题.
7．设为直线上的动点，为圆的两条切线，为切点，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由切线的性质可得四边形面积为，求出，又为圆心到直线的距离，即可求解.
【详解】
圆的圆心，半径为，
为两条切线，为切点，，
四边形面积为，
故当最小时，四边形面积最小，
又最小值为圆心到直线的距离，
，
故四边形面积最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、切线的性质，等价转化为点到直线距离是解题的关键，属于中档题.
8．已知函数，实数满足不等式，则下列不等关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】有关函数值的不等式，要得出自变量大小关系，考虑利用函数的性质转化，所以先判断函数的奇偶性，将函数化为，得出函数的单调性，即可求出结论.
【详解】
的定义域为，
，为奇函数，
，
，在上为增函数，且大于，
在上为减函数，
在上为增函数，

化为，
等价于.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的单调性、奇偶性、解不等式问题，解题的关键是研究已知函数的性质，考查逻辑推理能力，属于中档题.

二、多选题
9．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.下图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）

A．16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大
B．16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数
C．16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000
D．19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和
【答案】BC
【解析】根据折线图中的数据变化趋势，逐项判断.
【详解】
选项A，16天中每新增确诊病例数量有起伏，19日的降幅最大，而20日又上升，所以错误；
选项B，根据图象16天中每日新增确诊病例大部分小于新增疑似病例，因此16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数，所以正确；
选项C，根据图象可得新增确诊、新增疑似、新增治愈病例最大值与最小值的差都大于2000人，所以正确；
选项D，2月14日至18日，新增治愈病例数量均明显小于新增确诊与新增疑似病例之和，所以错误.
故选：BC.
【点睛】
本题考查折线统计图，根据折线图表示的数量，以及折线图上升和下降分析数量的增减变化情况是解题的关键，属于基础题.
10．已知是双曲线上任一点，是双曲线上关于坐标原点对称的两点.设直线的斜率分别为，若恒成立，且实数的最大值为.则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．双曲线的离心率为2
C．函数的图象恒过的一个焦点
D．直线与有两个交点
【答案】AC
【解析】根据已知可得为定值，结合基本不等式求出的取值范围，得到的最大值，从而取出，逐项判断即可.
【详解】
设，
，
，
，若，
直线与渐近线平行或重合，不合题意，所以不等式取不到等号，
而恒成立，，
双曲线方程为，选项A正确；
双曲线的离心率为，选项B错误；
双曲线的焦点为，
函数的图象过定点，
所以选项C正确；
双曲线渐近线方程为，
而直线的斜率为，
所以直线与双曲线没有交点，
所以选项D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查双曲线标准方程、双曲线的性质，利用圆锥曲线的常用结论是解题的突破口，注意多归纳总结常用的二级结论，属于中档题.
11．如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点.为面对角线上任一点，则下列说法正确的是（ ）

A．平面内存在直线与平行
B．平面截正方体所得截面面积为
C．直线和所成角可能为60°
D．直线和所成角可能为30°
【答案】BC
【解析】，直线相交，得到与平面位置关系，即可判断选项A真假；，而，得到，可得截面为等腰梯形，求出面积即可判断选项B；建立空间直角坐标系，求出直线和所成角余弦值的范围，即可判断选项C，D.
【详解】
对于选项A，在正方体中，，
在平面中，直线相交，所以直线与平面相交，
故直线与平面相交，则平面不存在直线与平行，
所以选项A错误；
对于选项B，连接分别为棱的中点，
所以，在正方体中，
，所以，连，则梯形为所求的截面，
，所以等腰梯形的高为
，
所以梯形的面积为，选项B正确；
对于选项C,D，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，，
设，
，，


，令，
，
，
，而，
直线和所成角可能为60°，但不可能为30°，
选项C正确，选项D错误.
故选：BC.

【点睛】
本题考查空间点、线、面的位置关系，涉及到直线与平面的位置关系、截面面积、异面直线所成的角，考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
12．关于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，存在唯一极小值点，且
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在上有且只有一个零点
【答案】ABD
【解析】当时，，求出，得到在处的切线的点斜式方程，即可判断选项A；求出的解，确定单调区间，进而求出极值点个数，以及极值范围，可判断选项B；令，当时，分离参数可得，设，求出的极值最值，即可判断选项C，D的真假.
【详解】
当时，，
,
所以在处的切线方程为，
即，所以选项A正确；
当时，，
当时，，
当时，单调递增，

所以存在，使得，
当，
所以是唯一极小值点，且，
，
，
，所以选项B正确；
令，当时，，
设，
，
令，
由图像可知，
当时取极大值，又，
，
当时极小值，又，
，

所以当，，
当时，
与直线没有交点，
即在上不存在零点，所以选项C错误；
当时，与直线有唯一交点，
此时在上有且只有一个零点，所以选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查函数导数与三角函综合应用，涉及到导数的几何意义、极值最值、零点、三角函数化简、正弦型三角函数图象与性质，分离参数，合理构造函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于难题.


三、填空题
13．已知，则____________.
【答案】
【解析】所求的式子化为，利用“1”的变化，化为的齐次分式，然后化弦为切，即可求解.
【详解】

.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数求值问题，应用二倍角公式、同角间的三角函数关系是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
14．的展开式中项的系数是____________.(用数字作答)
【答案】300
【解析】求出展开式中的常数项和含的项，分别与和相乘，即可求解.
【详解】
展开式的通项为，
，令，，
展开式中，常数项为，
含项为，
的展开式中项系数为.
故答案为：300.
【点睛】
本题考查二项展开式定理，熟练掌握二项展开式通项是解题的关键，属于基础题.
15．已知点在半径为2的球面上，满足，，若是球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为____________.
【答案】
【解析】要使体积的最大，需到平面距离最大，当为外接圆圆心与球心的延长线与球面的交点时取最大值，求出外接圆的半径，进而求出球心与外接圆圆心的距离，即可求解.
【详解】
设外接圆圆心为，三棱锥外接球的球心为，
，设为中点，连，则，
且在上，，
设外接圆半径为，
，
解得，
要使体积的最大，需到平面距离，
即为的延长线与球面的交点，最大值为，
所以三棱锥体积的最大值为
.
故答案为：.

【点睛】
本题考查三棱锥体积的最值、多面体与球的“接”“切”问题，注意应用球的截面性质，属于中档题.

四、双空题
16．已知为抛物线的焦点，点，为抛物线上任意一点，的最小值为3，则抛物线方程为____________，若线段的垂直平分线交抛物线于两点，则四边形的面积为__________.
【答案】
【解析】设抛物线的准线为，过做与，可得，最小值为，求出，进而求出坐标和垂直平分线方程，与抛物线方程联立，根据相交弦长公式求出，四边形的面积为.
【详解】
设抛物线的准线为，其方程为，
过做与，则，
，
当且仅当三点共线时，等号成立，
，
中点为，的斜率为，
垂直平分线方程为，
联立，消去，得，
，设，
，
，
四边形的面积为.
故答案为：；.

【点睛】
本题考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，注意抛物线焦半径公式的应用，熟练掌握相交弦长公式，考查计算求解能力，属于中档题.

五、解答题
17．已知的内角所对的边分别为，.
（1）求角；
（2）若，边上的高为3，求.
【答案】（1）（2）或
【解析】（1）由正弦定理，将已知等式边化角，结合两角和的正弦公式，即可求解；
（2）根据面积公式，将用表示，再由余弦定理，建立关于方程，求解即可得出结论.
【详解】
（1）因为，由正弦定理得
所以，
即，
又，所以
所以
而
所以
所以
（2）设边上的高为，因为
将代入，得
由余弦定理得，
于是
即，
解得或.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.
18．已知等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，，，，，是否存在正整数，使得数列的前项和，若存在，求出的最小值：若不存在，说明理由.
从①，②，③这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答.
【答案】详见解析
【解析】设等比数列的公比为，将用表示，建立的方程，求解得出，即为，选①或②或③，均可求出等差数列的公差，得到的通项公式，进而求出，用裂项相消法求出的前项和，然后求解不等式即可.
【详解】
设等比数列的公比为，则，
于是.
即，解得(舍去).
若选①：则.
解得
所以，

于是
令解得，因为为正整数，所以的最小值为16.
若选②：则，，解得.
下同①.
若选③：则，解得
于是，

于是


令，得，
整理得，或，
注意到为正整数，所以，的最小值为7.
【点睛】
本题考查等比数列通项基本量的计算、等差数列的前项和、裂项相消法求数列和，考查计算求解能力，属于中档题.
19．如图，三棱锥中，点分别是的中点，点是的重心.

（1）证明：平面；
（2）若平面平面，，，，，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）延长交于点，点为的中点，则有，可证平面，平面，从而有平面平面，即可证明结论；
（2）由，得，再由平面平面，得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求出坐标，进而求出平面与平面的法向量坐标，即可求解.
【详解】
（1）证明：延长交于点，点为的中点，
因为，分别是棱，的中点，
所以是的中位线，所以，
又平面，平面，
所以平面.
同理可证平面
又，平面，平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面
（2）连接，因为，
是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面.
以为坐标原点，以向量所在的方向分别作为轴、轴的正方向，
以与向量垂直的方向为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系
设，则，
，
，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，得，于是取
又平面的一个法向量为，
则，即
令，得
于是取
设平面与平面的所成的锐二面角为
则
所以平面与平面的所成的锐二面角的余弦值为

【点睛】
本题考查空间点、线、面的位置关系，证明直线与平面平行，注意空间平行间的相互转化，熟练掌握用向量法求空间角，考查计算求解能力，属于中档题.
20．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：
得分







男性人数
40
90
120
130
110
60
30
女性人数
20
50
80
110
100
40
20

（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；
（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解“(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类，完成列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？

不太了解
比较了解
男性


女性



（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同名男性调查员一起组成3个环保宜传队.若从这中随机抽取3人作为队长，且男性队长人数占的期望不小于2.求的最小值.
附：
临界值表：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】（1）0.6（2）填表见解析；有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关（3）
【解析】（1）根据频数分布表统计出得分不低于60分的人数，即可求出结论；
（2）根据频数分布表提供的数据，列出列联表，根据公式求出的观测值，结合临界值表，即可得出结论；
（3）分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人，求出随机变量的所有可能值的概率，得出随机变量分布列，求出期望，根据已知建立的不等式关系，求解即可.
【详解】
解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为

故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6.
（2）由题意得列联表如下：

不太了解
比较了解
总计
男性
250
330
580
女性
150
270
420
总计
400
600
1000


的观测值
因为5.542>3.841
所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关.
（3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
其中，

所以随机变量的分布列为

0
1
2
3









可得，
，
，解得，
的最小值为.
【点睛】
本题考查独立性检验、随机变量分布列和期望，注意随机变量概率的求解，考查数学计算能力，属于中档题.
21．已知函数.
（1）若在上恒成立，求的取值范围，并证明：对任意的，都有
（2）设.讨论方程实数根的个数
【答案】（1）；证明见解析（2）当时，方程有一个实数解；当时，方程有两个不同的实数解；当时，方程没有实数解
【解析】（1）在上恒成立，分离参数得，只需，设，利用求导求出其最大值为，因此；根据所证明不等式的结构特征，取，在上成立，令，，即可证明不等式；
（2）由，分离参数可得，设，通过求导求出单调区间，极值最值，以及函数值变化趋势，即可求出结论.
【详解】
（1）由可得，
令，则
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
要使，只需，
故的取值范围为，
显然，当时，有，
即不等式在上成立，
令，则有
所以，
即：；
（2）由可得，，
即，令，
则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
又当时，，当时，
所以，当时，方程有一个实数解；
当时，方程有两个不同的实数解；
当时，方程没有实数解.
【点睛】
本题考查函数导数的综合应用，涉及到极值最值、不等式证明、函数零点等基础知识，掌握恒成立与最值之间的转化，分离参数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.
22．已知椭圆过点，且焦距为4
（1）求椭圆的标准方程：
（2）设为直线上一点，为椭圆上一点.以为直径的圆恒过坐标原点.
(i)求的取值范围
(ii)是否存在圆心在原点的定圆恒与直线相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）(i)(ii)存在；定圆的方程
【解析】（1）将点代入椭圆方程，结合关系，即可求解；
（2）(i)设，由已知有，可得代入椭圆方程，将用表示，进而求出关于的函数，根据函数特征求出最值；
(ii)将问题转化为原点到直线的距离是否为定值，先求出直线方程，求出坐标原点到直线的距离，利用(i)中关系将用表示，整理即可得出结论.
【详解】
（1）将点的坐标代入椭圆的方程得，
解得，
所以椭圆C的方程为
（2）设.
因为以为直径的圆恒过点，
所以，即
因为点在椭圆上，所以；
(i)将代入椭圆，得
于是
因为
当且仅当，即时，取等号.
所以的取值范围为
(ii)存在.定圆的方程为.
假设存在满足题意的定圆，则点到直线的距离为定值.
因为，所以直线方程为
，
整理可得
所以到直线的距离
由(i)知，，得.
，
注意到，知
所以
又
，
所以，
因此，直线与圆恒相切.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程和方程的应用、定值最值问题，点到直线距离公式的应用，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.