山东省烟台市2020届高三4月模拟考试数学试题
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2020年高考诊断性测试
数 学
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟．
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答
题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知复数满足（为虚数单位），则
A. B. C. D.
3.设，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.数列：，，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列的每一项除以所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前项和为
A. B. C. D.
5.设为平行四边形，，，．若点满足
，，则
A. B. C. D.
6.右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小
木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下
后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落
过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为
A. B. C. D.
7.设为直线上的动点，为圆的两条切线，为切点，则四边形面积的最小值为
A. B. C. D.
8.已知函数，实数满足不等式，则下列不等关系成立的是
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令,防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.右侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是
A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大
B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数
C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于
D.19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和
10.已知是双曲线上任一点，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，设直线的斜率分别为，若恒成立，且实数的最大值为，则下列说法正确的是
A.双曲线的方程为
B.双曲线的离心率为
C.函数的图象恒过的一个焦点
D.直线与有两个交点
11.如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上任一点，则下列说法正确的是
A.平面内存在直线与平行
B.平面截正方体所得截面面积为
C.直线和所成角可能为
D.直线和所成角可能为
12.关于函数，，下列说法正确的是
A.当时，在处的切线方程为
B.当时，存在唯一极小值点且
C.对任意，在上均存在零点
D.存在，在上有且只有一个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则
14.的展开式中项的系数是（用数字作答）
15.已知点在半径为的球面上，满足，，若是球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为
16.已知为抛物线的焦点，点，为抛物线上任意一点，的最小值为，则抛物线方程为 ，若线段的垂直平分线交抛物线于两点，则四边形的面积为 .（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知的内角所对的边分别为，.
（1）求角；
（2）若，边上的高为，求.
18.（12分）
已知等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，， ，，，是否存在正整数，使得数列的前项和，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.
从①，②，③这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（12分）
如图，三棱锥中，点,分别是,的中点，点是的重心.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面,,,
，,求平面与
平面所成的锐二面角的余弦值.
20.（12分）
推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：
得分 | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70, 80) | [80,90) | [90,100] |
男性人数 | 40 | 90 | 120 | 130 | 110 | 60 | 30 |
女性人数 | 20 | 50 | 80 | 110 | 100 | 40 | 20 |
（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于分的概率；
| 不太了解 | 比较了解 |
男性 |
|
|
女性 |
|
|
（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”
（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60
分）两类，完成列联表，并判断是否有的
把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”
有关?
（3）从参与问卷测试且得分不低于分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取
人，连同名男性调查员一起组成个环保宣传队.若从这人中随机抽取人作为队长，且男性队长人数的期望不小于2，求的最小值.
附：.
临界值表：
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
21.（12分）
已知函数.
（1）若在上恒成立，求的取值范围，并证明：对任意的，都
有；
（2）设，讨论方程实数根的个数.
22.（12分）
已知椭圆过点，且焦距为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为直线：上一点，为椭圆上一点，以为直径的圆恒过
坐标原点.
（i）求的取值范围；
（ii）是否存在圆心在原点的定圆恒与直线相切？若存在，求出该定圆的方程;若不存在，说明理由．
2020年高考诊断性测试
数学参考答案
一、单项选择题
1. C 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. A 8. C
二、多项选择题
9. BC 10. AC 11. BC 12. ABD
三、填空题
13. 14. 15. 16. ，
四、解答题
17．解：（1）因为，由正弦定理得
所以, …………………………1分
即 ， …………………………2分
又，所以
所以， …………………………3分
而，
所以，
所以. …………………………4分
（2）因为 …………………………5分
将，，代入，得. …………………………6分
由余弦定理得，
于是， …………………………8分
即 ，解得或. …………………………10分
18．解：设等比数列的公比为（），则，，
于是， …………………………2分
即，解得，（舍去）. …………………………4分
若选①：则，，
解得， …………………………6分
所以， …………………………8分
， …………………………9分
于是 ……10分
令，解得，因为为正整数，所以的最小值为. ……12分
若选②：则，，解得.
下同①.
若选③：则，，解得. ………………6分
于是， …………………8分
， ……………………9分
于是
， ………………………………………10分
令，得，
注意到为正整数，解得，所以的最小值为. ………………………12分
19．解：（1）证明：延长交于点,点为的中点，
因为分别是棱的中点,
所以是的中位线，所以， …………………………2分
又，，
所以.
同理可证. ………………………………………3分
又，，
所以平面， ……………………………………4分
因为，所以. ………………………………5分
（2）连接，因为，是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
以为坐标原点，以向量所在的方向分别作为轴、轴的正方向，以与向量垂直的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ………6分
设，则，，， ，
，， . ……………………7分
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，，于是取 …………………………9分
又平面的一个法向量为 ，
则，即，
令，得，，
于是取 ………………………………………………11分
设平面与平面的所成的角二面角的大小为，
则.
所以平面与平面的所成的锐二面角的余弦值为. ………………12分
20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于分的比率为
，
故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于分的概率为. …………………2分
| 不太了解 | 比较了解 |
男性 | 250 | 330 |
女性 | 150 | 270 |
（2）由题意得列联表如下：
…………3分
的观测值 …………………5分
因为5.542
所以有的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关. ………………6分
（3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性人，女性人. ………………7分
随机变量的所有可能取值为，
其中，,,, ………………9分
所以随机变量的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
………………10分,
可得，，
，
，
解得. …………………………………………12分
21．解：（1）由可得，，
令，则， ………………1分
当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得最大值， ………………3分
要使，只需，
故的取值范围为， ………………4分
显然，当时，有，即不等式在上成立，
令，则有，
所以，
即：； ………………6分
（2）由可得，，即，
令，则， ………………8分
当时，，单增，当时，，单减，
故在处取得最大值， ………………10分
又当时，，当时，， ………………11分
所以，当时，方程有一个实数解；当时，方程有两个不同的实数解；当时，方程没有实数解. ………………12分
22．解：（1）将点的坐标代入椭圆的方程得
，解得，所以椭圆的方程为． ……3分
（2）设.因为以为直径的圆恒过点，
所以，即. ……………………4分
因为点在椭圆上，所以.
（i）将代入椭圆，得，，
于是,. …………5分
因为
当且仅当，即时，取等号.
所以的取值范围为. ……………………………………7分
（ii）存在.定圆的方程为.
假设存在满足题意的定圆，则点到直线的距离为定值.
因为，所以直线方程为
，
整理可得， ………………………………8分
所以到直线的距离， …………………………9分
由（i）知，，得，，
，注意到，知.
所以， …………………10分
又
， ……………………11分
所以，
因此，直线与圆恒相切. …………………………………………12分
