2020届山东省高三数学模拟测试（五）数学试题（解析版）

2020届山东省高三数学模拟测试（五）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】化简集合，按照并集定义，即可求解.

【详解】

，

.

故选:B.

【点睛】

本题考查集合间的运算，属于基础题.

2．是虚数单位，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【解析】由复数除法的运算法则求出，再由模长公式，即可求解.

【详解】

由.

故选:C.

【点睛】

本题考查复数的除法和模，属于基础题.

3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率.

【详解】

.

故选:D.

【点睛】

本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.

4．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.

【详解】

当时，函数在上单调递减，

所以，的递增区间是，

所以，即.

故选:B.

【点睛】

本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.

5．已知，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据指数函数的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，将与对比，即可求出结论.

【详解】

由题知，

，则.

故选:A.

【点睛】

本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..

6．设函数，若在上有且仅有5个零点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由求出范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立不等量关系，即可求解.

【详解】

当时，，

∵在上有且仅有5个零点，

∴，∴.

故选:A.

【点睛】

本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.

7．已知曲线，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线截圆所得弦长为（    ）

A． B．2 C．4 D．

【答案】C

【解析】设，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将点坐标代入切线方程，抽象出直线方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解.

【详解】

圆可化为.

设，

则的斜率分别为，

所以的方程为，即，

，即，

由于都过点，所以，

即都在直线上，

所以直线的方程为，恒过定点，

即直线过圆心，

则直线截圆所得弦长为4.

故选:C.

【点睛】

本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.

8．对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据

，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论.

【详解】

依题意知，与为函数的“线性对称点”，

所以，

故（当且仅当时取等号）.

又与为函数的“线性对称点，

所以，

所以，

从而的最大值为.

故选:D.

【点睛】

本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题.

二、多选题

9．下列命题中是真命题的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“，都有”的否定是“，使得”

C．数据的平均数为6，则数据的平均数是6

D．当时，方程组有无穷多解

【答案】ABD

【解析】根据充分不必要条件定义和不等式关系可判断的真假；由全称命题的否定形式，可判断真假；根据平均数的性质，判断的真假；将代入方程组，即可判断真假.

【详解】

选项，，则有，但，则或，

所以“”是“”的充分不必要条件，选项正确；

选项，命题“，都有”的否定是

“，使得”，所以选项正确；

选项，数据的平均数为6，

则数据的平均数是7，

所以选项错误；

选项，当时，方程组为，

所以有无数个解，所以选项正确.

故选:ABD.

【点睛】

本题考查命题真假判断，涉及到充分不必要条件的判断、全称命题的否定、数据平均数的性质、方程组的解，属于基础题.

10．定义在上的奇函数满足，当时，，下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】由已知可得是周期为的函数，结合奇偶性和已知解析式，即可求出函数值，逐项验证即可.

【详解】

由知的周期为6，

，

，

.

故选:ABC.

【点睛】

本题考查函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题.

11．在正方体中，如图，分别是正方形，的中心.则下列结论正确的是（    ）

A．平面与的交点是的中点

B．平面与的交点是的三点分点

C．平面与的交点是的三等分点

D．平面将正方体分成两部分的体积比为1∶1

【答案】BC

【解析】取的中点，延长，，并交于点，连并延长分别交于，连并延长交与，平面四边形为所求的截面，进而求出在各边的位置，利用割补法求出多面体的体积，即可求出结论.

【详解】

如图，取的中点，延长，，并交于点，

连接并延长，设，，

连接并延长交于点.连接，，

则平面四边形就是平面与正方体的截面，如图所示.

，

为的中位线，为中点，连，

，

三点共线，取中点，连，

则，

，

为中点，

分别是正方形的中心，

所以点是线段靠近点的三等分点，

点是线段靠近点的三等分点，

点是线段靠近点的三等分点.

做出线段的另一个三等分点，

做出线段靠近的三等分点，

连接，，，，，

所以

从而平面将正方体分成两部分体积比为2∶1.

故选:BC.

【点睛】

本题考查直线与平面的交点及多面体的体积，确定出平面与正方体的交线是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.

12．设为双曲线的左、右焦点，过左焦点且斜率为的直线与在第一象限相交于一点，则下列说法正确的是（    ）

A．直线倾斜角的余弦值为 B．若，则的离心率

C．若，则的离心率 D．不可能是等边三角形

【答案】AD

【解析】设直线倾斜角为，则，求出可判断选项；若，可得，在焦点中，由余弦定理得到齐次关系，即可求出，可判断选项真假；选项同理求出，可判断真假；，可判断选项真假.

【详解】

设直线倾斜角为，则，所以.

在第一象限内，若，

则，，

由余弦定理得，

整理得，

解得或（舍）.

若，则，，

由余弦定理得，

整理得，

解得或（舍）.

由，知不可能为等边三角形.

故选:AD.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率，注意余弦定理在焦点三角形中的应用，属于中档题..

三、填空题

13．的展开式中常数项是___________.

【答案】-160

【解析】试题分析：常数项为.

【考点】二项展开式系数问题.

14．已知平面向量与的夹角为，，，则________.

【答案】

【解析】根据已知求出，利用向量的运算律，求出即可.

【详解】

由可得，

则，

所以.

故答案为:

【点睛】

本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.

15．已知函数在点处的切线经过原点，函数的最小值为，则________.

【答案】0

【解析】求出，求出切线点斜式方程，原点坐标代入，求出的值，求，求出单调区间，进而求出极小值最小值，即可求解.

【详解】

，，，

切线的方程：，

又过原点，所以，，

，.

当时，；当时，.

故函数的最小值，所以.

故答案为:0.

【点睛】

本题考查导数的应用，涉及到导数的几何意义、极值最值，属于中档题..

16．如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为_______，点到直线的距离的最大值为_______.

【答案】       

【解析】三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，所以在平面的投影为的重心，利用解直角三角形，即可求出点到平面的距离；，可得点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，

最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径，即可求出结论.

【详解】

边长为，则中线长为，

点到平面的距离为，

点是以为直径的球面上的点，

所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，

最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径.

又三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，

以下求过和的两个平行平面间距离，

分别取中点，连，

则，同理，

分别过做，

直线确定平面，直线确定平面，

则，同理，

为所求，，

，

所以到直线最大距离为.

故答案为:；.

【点睛】

本题考查空间中的距离、正四面体的结构特征，考查空间想象能力，属于较难题.

四、解答题

17．已知各项均不相等的等差数列的前项和为, 且成等比数列.

（1）求数列的通项公式;

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）设公差为，列出关于的方程组，求解的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）可得，即可利用裂项相消求解数列的和.

试题解析：（1）设公差为.由已知得,解得或（舍去）, 所以,故.

（2）,

【考点】等差数列的通项公式；数列的求和.

18．在中，角的对边分别为.已知，.

（1）若，求；

（2）求的面积的最大值.

【答案】（1）；（2）4

【解析】（1）根据已知用二倍角余弦求出，进而求出，利用正弦定理，即可求解；

（2）由边角，利用余弦定理结合基本不等式，求出的最大值，即可求出结论.

【详解】

（1）∵，∴，

由正弦定理得.

（2）由（1）知，，

所以，，，

当且仅当时，的面积有最大值4.

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，应用基本不等式求最值，属于基础题.

19．新高考，取消文理科，实行“”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：

（1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；

（2）请根据上表完成下面列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？

附：.

（3）若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为，求的分布列以及.

【答案】（1）；（2）见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（3）分布列见解析，.

【解析】（1）分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率；

（2）根据数据列出列联表，求出的观测值，对照表格，即可得出结论；

（3）年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，可能取值为0，1，2，分别求出概率，列出随机变量分布列，根据期望公式即可求解.

【详解】

（1）由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率，

中老年对新高考了解的概率.

（2）列联表如图所示

，

所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.

（3）年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，

则抽取的3人中了解新高考的人数可能取值为0，1，2，

则；；

.

所以的分布列为

.

【点睛】

本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题.

20．如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，点为线段上的点，过三点的平面与交于点.将①，②，③中的两个补充到已知条件中，解答下列问题：

（1）求平面将四棱锥分成两部分的体积比；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】若补充②③根据已知可得平面，从而有，结合，可得

平面，故有，而，得到，②③成立与①②相同，

①③成立，可得，所以任意补充两个条件，结果都一样，以①②作为条件分析;

（1）设，可得，进而求出梯形的面积，可求出，即可求出结论；

（2），以为坐标原点，建立空间坐标系，求出坐标，由（1）得为平面的法向量，根据空间向量的线面角公式即可求解.

【详解】

第一种情况：若将①，②作为已知条件，解答如下：

（1）设平面为平面.

∵，∴平面，而平面平面，

∴，又为中点.

设，则.

在三角形中，，

由知平面，

∴，

∴梯形的面积

，

，，

平面，

，，

∴，

故，.

（2）如图，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

设，则

，

由（1）得为平面的一个法向量，

因为，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

第二种情况：若将①，③作为已知条件，

则由知平面，，

又，所以平面，，

又，故为中点，即，解答如上不变.

第三种情况：若将②，③作为已知条件，

由及第二种情况知，又，

易知，解答仍如上不变.

【点睛】

本题考查空间点、线、面位置关系，以及体积、直线与平面所成的角，考查计算求解能力，属于中档题.

21．已知函数.

（1）若，求证：.

（2）讨论函数的极值；

（3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.

【解析】（1），求出单调区间，进而求出，即可证明结论；

（2）对（或）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出的解，即可求出结论；

（3）令，可证恒成立，而，由（2）得，在为减函数，在上单调递减，在都存在，不满足，当时，设，且，只需求出在单调递增时的取值范围即可.

【详解】

（1），，

，当时，，

当时，，∴，故.

（2）由题知，，，

①当时，，

所以在上单调递减，没有极值；

②当时，，得，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

故在处取得极小值，无极大值.

（3）不妨令，

设在恒成立，

在单调递增，，

在恒成立，

所以，当时，，

由（2）知，当时，在上单调递减，

恒成立；

所以不等式在上恒成立，只能.

当时，，由（1）知在上单调递减，

所以，不满足题意.

当时，设，

因为，所以，

，

即，

所以在上单调递增，

又，所以时，恒成立，

即恒成立，

故存在，使得不等式在上恒成立，

此时的最小值是1.

【点睛】

本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.

22．已知椭圆的短轴长为，离心率，其右焦点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过作夹角为的两条直线分别交椭圆于和，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由已知短轴长求出，离心率求出关系，结合，即可求解；

（2）当直线的斜率都存在时，不妨设直线的方程为，直线与椭圆方程联立，利用相交弦长公式求出，斜率为，求出，得到关于的表达式，根据表达式的特点用“”判别式法求出范围，当有一斜率不存在时，另一条斜率为，根据弦长公式，求出，即可求出结论.

【详解】

（1）由得，又由得，

则，故椭圆的方程为.

（2）由（1）知，

①当直线的斜率都存在时，

由对称性不妨设直线的方程为，

由，

，设，

则，

则，

由椭圆对称性可设直线的斜率为，

则，

.

令，则，

当时，，当时，由得，所以，

即，且.

②当直线的斜率其中一条不存在时，

根据对称性不妨设设直线的方程为，斜率不存在，

则，，

此时.

若设的方程为，斜率不存在，

则，

综上可知的取值范围是.

【点睛】

本题考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系，注意根与系数关系、弦长公式、函数最值、椭圆性质的合理应用，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于难题.