2020届山东省高三数学模拟测试（五）数学试题（解析版）

2020届山东省高三数学模拟测试（五）数学试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】化简集合，按照并集定义，即可求解.【详解】，.故选:B.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2．是虚数单位，则（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】由复数除法的运算法则求出，再由模长公式，即可求解.【详解】由.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法和模，属于基础题.3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率.【详解】.故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.4．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.【详解】当时，函数在上单调递减，所以，的递增区间是，所以，即.故选:B.【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.5．已知，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据指数函数的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，将与对比，即可求出结论.【详解】由题知，，则.故选:A.【点睛】本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..6．设函数，若在上有且仅有5个零点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由求出范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立不等量关系，即可求解.【详解】当时，，∵在上有且仅有5个零点，∴，∴.故选:A.【点睛】本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.7．已知曲线，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线截圆所得弦长为（    ）A． B．2 C．4 D．【答案】C【解析】设，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将点坐标代入切线方程，抽象出直线方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解.【详解】圆可化为.设，则的斜率分别为，所以的方程为，即，，即，由于都过点，所以，即都在直线上，所以直线的方程为，恒过定点，即直线过圆心，则直线截圆所得弦长为4.故选:C.【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.8．对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，与为函数的“线性对称点”，所以，故（当且仅当时取等号）.又与为函数的“线性对称点，所以，所以，从而的最大值为.故选:D.【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题. 二、多选题9．下列命题中是真命题的是（    ）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“，都有”的否定是“，使得”C．数据的平均数为6，则数据的平均数是6D．当时，方程组有无穷多解【答案】ABD【解析】根据充分不必要条件定义和不等式关系可判断的真假；由全称命题的否定形式，可判断真假；根据平均数的性质，判断的真假；将代入方程组，即可判断真假.【详解】选项，，则有，但，则或，所以“”是“”的充分不必要条件，选项正确；选项，命题“，都有”的否定是“，使得”，所以选项正确；选项，数据的平均数为6，则数据的平均数是7，所以选项错误；选项，当时，方程组为，所以有无数个解，所以选项正确.故选:ABD.【点睛】本题考查命题真假判断，涉及到充分不必要条件的判断、全称命题的否定、数据平均数的性质、方程组的解，属于基础题.10．定义在上的奇函数满足，当时，，下列等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由已知可得是周期为的函数，结合奇偶性和已知解析式，即可求出函数值，逐项验证即可.【详解】由知的周期为6，，，.故选:ABC.【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题.11．在正方体中，如图，分别是正方形，的中心.则下列结论正确的是（    ）A．平面与的交点是的中点B．平面与的交点是的三点分点C．平面与的交点是的三等分点D．平面将正方体分成两部分的体积比为1∶1【答案】BC【解析】取的中点，延长，，并交于点，连并延长分别交于，连并延长交与，平面四边形为所求的截面，进而求出在各边的位置，利用割补法求出多面体的体积，即可求出结论.【详解】如图，取的中点，延长，，并交于点，连接并延长，设，，连接并延长交于点.连接，，则平面四边形就是平面与正方体的截面，如图所示. ，为的中位线，为中点，连，，三点共线，取中点，连，则，，为中点，分别是正方形的中心，所以点是线段靠近点的三等分点，点是线段靠近点的三等分点，点是线段靠近点的三等分点.做出线段的另一个三等分点，做出线段靠近的三等分点，连接，，，，，所以从而平面将正方体分成两部分体积比为2∶1.故选:BC.【点睛】本题考查直线与平面的交点及多面体的体积，确定出平面与正方体的交线是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.12．设为双曲线的左、右焦点，过左焦点且斜率为的直线与在第一象限相交于一点，则下列说法正确的是（    ）A．直线倾斜角的余弦值为 B．若，则的离心率C．若，则的离心率 D．不可能是等边三角形【答案】AD【解析】设直线倾斜角为，则，求出可判断选项；若，可得，在焦点中，由余弦定理得到齐次关系，即可求出，可判断选项真假；选项同理求出，可判断真假；，可判断选项真假.【详解】设直线倾斜角为，则，所以.在第一象限内，若，则，，由余弦定理得，整理得，解得或（舍）.若，则，，由余弦定理得，整理得，解得或（舍）.由，知不可能为等边三角形.故选:AD.【点睛】本题考查双曲线的离心率，注意余弦定理在焦点三角形中的应用，属于中档题..  三、填空题13．的展开式中常数项是___________.【答案】-160【解析】试题分析：常数项为.【考点】二项展开式系数问题.14．已知平面向量与的夹角为，，，则________.【答案】【解析】根据已知求出，利用向量的运算律，求出即可.【详解】由可得，则，所以.故答案为:【点睛】本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.15．已知函数在点处的切线经过原点，函数的最小值为，则________.【答案】0【解析】求出，求出切线点斜式方程，原点坐标代入，求出的值，求，求出单调区间，进而求出极小值最小值，即可求解.【详解】，，，切线的方程：，又过原点，所以，，，.当时，；当时，.故函数的最小值，所以.故答案为:0.【点睛】本题考查导数的应用，涉及到导数的几何意义、极值最值，属于中档题..16．如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为_______，点到直线的距离的最大值为_______.【答案】        【解析】三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，所以在平面的投影为的重心，利用解直角三角形，即可求出点到平面的距离；，可得点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径，即可求出结论.【详解】边长为，则中线长为，点到平面的距离为，点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径.又三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，以下求过和的两个平行平面间距离，分别取中点，连，则，同理，分别过做，直线确定平面，直线确定平面，则，同理，为所求，，，所以到直线最大距离为.故答案为:；.【点睛】本题考查空间中的距离、正四面体的结构特征，考查空间想象能力，属于较难题. 四、解答题17．已知各项均不相等的等差数列的前项和为, 且成等比数列.（1）求数列的通项公式;（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）设公差为，列出关于的方程组，求解的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）可得，即可利用裂项相消求解数列的和.试题解析：（1）设公差为.由已知得,解得或（舍去）, 所以,故.（2）,【考点】等差数列的通项公式；数列的求和.18．在中，角的对边分别为.已知，.（1）若，求；（2）求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）4【解析】（1）根据已知用二倍角余弦求出，进而求出，利用正弦定理，即可求解；（2）由边角，利用余弦定理结合基本不等式，求出的最大值，即可求出结论.【详解】（1）∵，∴，由正弦定理得.（2）由（1）知，，所以，，，当且仅当时，的面积有最大值4.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，应用基本不等式求最值，属于基础题.19．新高考，取消文理科，实行“”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：年龄（岁）频数515101055了解4126521 （1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；（2）请根据上表完成下面列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？ 了解新高考不了解新高考总计中青年   中老年   总计    附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828 （3）若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为，求的分布列以及.【答案】（1）；（2）见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（3）分布列见解析，.【解析】（1）分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率；（2）根据数据列出列联表，求出的观测值，对照表格，即可得出结论；（3）年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，可能取值为0，1，2，分别求出概率，列出随机变量分布列，根据期望公式即可求解.【详解】（1）由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率，中老年对新高考了解的概率.（2）列联表如图所示 了解新高考不了解新高考总计中青年22830老年81220总计302050  ，所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.（3）年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数可能取值为0，1，2，则；；.所以的分布列为012 .【点睛】本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题.20．如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，点为线段上的点，过三点的平面与交于点.将①，②，③中的两个补充到已知条件中，解答下列问题：（1）求平面将四棱锥分成两部分的体积比；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】若补充②③根据已知可得平面，从而有，结合，可得平面，故有，而，得到，②③成立与①②相同，①③成立，可得，所以任意补充两个条件，结果都一样，以①②作为条件分析;（1）设，可得，进而求出梯形的面积，可求出，即可求出结论；（2），以为坐标原点，建立空间坐标系，求出坐标，由（1）得为平面的法向量，根据空间向量的线面角公式即可求解.【详解】第一种情况：若将①，②作为已知条件，解答如下：（1）设平面为平面.∵，∴平面，而平面平面，∴，又为中点.设，则.在三角形中，，由知平面，∴，∴梯形的面积，，，平面，，，∴，故，.（2）如图，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，由（1）得为平面的一个法向量，因为，所以直线与平面所成角的正弦值为.第二种情况：若将①，③作为已知条件，则由知平面，，又，所以平面，，又，故为中点，即，解答如上不变.第三种情况：若将②，③作为已知条件，由及第二种情况知，又，易知，解答仍如上不变.【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系，以及体积、直线与平面所成的角，考查计算求解能力，属于中档题.21．已知函数.（1）若，求证：.（2）讨论函数的极值；（3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.【解析】（1），求出单调区间，进而求出，即可证明结论；（2）对（或）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出的解，即可求出结论；（3）令，可证恒成立，而，由（2）得，在为减函数，在上单调递减，在都存在，不满足，当时，设，且，只需求出在单调递增时的取值范围即可.【详解】（1），，，当时，，当时，，∴，故.（2）由题知，，，①当时，，所以在上单调递减，没有极值；②当时，，得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.故在处取得极小值，无极大值.（3）不妨令，设在恒成立，在单调递增，，在恒成立，所以，当时，，由（2）知，当时，在上单调递减，恒成立；所以不等式在上恒成立，只能.当时，，由（1）知在上单调递减，所以，不满足题意.当时，设，因为，所以，，即，所以在上单调递增，又，所以时，恒成立，即恒成立，故存在，使得不等式在上恒成立，此时的最小值是1.【点睛】本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22．已知椭圆的短轴长为，离心率，其右焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）过作夹角为的两条直线分别交椭圆于和，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知短轴长求出，离心率求出关系，结合，即可求解；（2）当直线的斜率都存在时，不妨设直线的方程为，直线与椭圆方程联立，利用相交弦长公式求出，斜率为，求出，得到关于的表达式，根据表达式的特点用“”判别式法求出范围，当有一斜率不存在时，另一条斜率为，根据弦长公式，求出，即可求出结论.【详解】（1）由得，又由得，则，故椭圆的方程为.（2）由（1）知，①当直线的斜率都存在时，由对称性不妨设直线的方程为，由，，设，则，则，由椭圆对称性可设直线的斜率为，则，.令，则，当时，，当时，由得，所以，即，且.②当直线的斜率其中一条不存在时，根据对称性不妨设设直线的方程为，斜率不存在，则，，此时.若设的方程为，斜率不存在，则，综上可知的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系，注意根与系数关系、弦长公式、函数最值、椭圆性质的合理应用，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于难题.