2020届全国十大名校三月大联考名师密卷数学（文）试题（解析版）

2020届全国十大名校三月大联考名师密卷数学（文）试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】利用复数的代数形式的乘法运算化简，求出其在复平面内对应点的坐标，即可得到答案．

【详解】

，则在复平面内对应点的坐标为，所以位于第四象限．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查复数的乘法运算及复数的几何意义，属于基础题．

2．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】将集合,化简，利用交集的定义域，即可得到答案．

【详解】

因为，

，

所以．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算，同时考查一元二次不等式的解法及对数不等式的解法，属于基础题．

3．已知等差数列的前项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据等差数列的前项和公式可得，然后再利用等差数列的性质可得，从而可求出．

【详解】

因为，又，所以，所以．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查等差数列前项和公式及等差数列的性质，属于基础题．

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据已知，利用两角和的正切公式展开可求出，然后将利用二倍角公式展开，采用“1”的代换将弦化为切，将代入即可得到答案．

【详解】

由，得，

解得，

所以．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查两角和的正切公式，二倍角公式及“1”的代换的应用，属于基础题．

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据函数的奇偶性，判断函数图象的对称性，再结合时的函数值排除即可．

【详解】

函数是偶函数，又当时，．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查函数的图象，对于函数图象的辨识可以从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．

6．某公司由于改进了经营模式，经济效益与日俱增.统计了2018年10月到2019年4月的纯收益（单位：万元）的数据，如下表：

得到关于的线性回归方程为.请预测该公司2019年6月的纯收益为（    ）

A．万元 B．万元

C．万元 D．万元

【答案】C

【解析】根据表格可得6月对应的代码为，代入线性回归方程即可得到答案．

【详解】

将2019年6月代号带入题中的线性回归方程，得．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．

7．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，则所得图象（    ）

A．关于对称 B．对称中心为

C．关于对称 D．对称中心为

【答案】D

【解析】求出函数平移后的函数解析式，再分别求出其对称轴的方程和对称中心的坐标，验证即可得到答案．

【详解】

所得函数为，则

对称轴方程为：，对称中心为，

通过对取值判断，当时，其中一个对称中心为，故D正确．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象的平移变换，对称轴方程及对称中心坐标的判断方法，属于基础题．

8．已知圆与双曲线的两条渐近线均相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据已知分别求出双曲线的右焦点坐标及双曲线的渐近线方程，利用右焦点到渐近线的距离等于圆的半径即可求出，进而求出，再利用离心率公式即可得到答案．

【详解】

由圆，得，

因为双曲线的右焦点为圆的圆心，所以，

又双曲线的两条渐近线均和圆相切，所以，

又，所以，所以，

所以该双曲线的离心率为．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查双曲线的几何性质，同时考查圆的方程及点到直线的距离公式，属于基础题．

9．已知正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面中心）的侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正三棱锥的外接球的半径与侧棱的比是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设侧棱长为，底面正三角形边长为，根据侧棱与底面所成角的余弦值为，列出方程可求出，从而可得该正三棱锥为正四面体，进而可求出正四面体的高，再利用正四面体的外接球的球心分高的比为，求出外接球的半径，即可得到答案．

【详解】

设侧棱长为，底面三角形边长为，则由侧棱与底面所成角的余弦值为，得

，所以，所以此正三棱锥为正四面体，

所以该正四面体的高，

所以该正四面体的外接球的半径，则．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查正四面体外接球半径的求法，同时考查直线与平面所成的角，属于中档题．

10．在中，，，是边的中点.为所在平面内一点且满足，则的值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据平面向量基本定理可知，将所求数量积化为；由模长的等量关系可知和为等腰三角形，根据三线合一的特点可将和化为和，代入可求得结果.

【详解】

为中点   

    和为等腰三角形

，同理可得：

本题正确选项：

【点睛】

本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.

11．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面的面积最大值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据三视图还原该几何体为倾斜放置的一个四棱锥，且顶点在底面的射影落在底面的一个顶点上，然后结合三视图分别求出各个面的面积并进行比较，即可得到答案．

【详解】

满足三视图的几何体为四棱锥，如图所示：

根据三视图可知，，，

，，的边上的高为，

所以，所以为直角三角形，

所以，，

，，

，

所以该几何体的各个面的面积最大值为.

故选:B．

【点睛】

本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体侧面积的计算．由三视图还原几何体，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，再进行计算．

12．若函数与函数有两条公切线，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设公切线与函数，分别切于点，，根据导数的几何意义求出在处的切线的斜率并分别写出切线的方程，再根据公切线的概念可得两曲线的切线重合，列出方程消去，从而将问题转化为有两解，求出的取值范围，即得到答案．

【详解】

设公切线与函数的图象切于点，

因为，所以，所以在点处斜线的斜率，

所以切线方程为；

设公切线与函数的图象切于点，

因为，所以，所以在处点斜线的斜率，

所以切线方程为，

所以有，

因为，所以，．又，

令，则，所以，

令且，得；

令且，得，

所以在上为减函数，在上为增函数.

所以函数与函数有两条公切线，

满足，即，

所以．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查已知两公切线的条数求参数取值范围，导数的几何意义，同时考查导数在研究函数中的应用及数形结合的思想，属于难题．

二、填空题

13．设函数，则的值为______.

【答案】

【解析】根据分段函数的定义域，将代入得，然后将代入即可得出答案．

【详解】

根据已知得，而，所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查分段函数求值，属于基础题．

14．如果实数满足条件，则的最小值为______.

【答案】

【解析】根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为，通过平移可知当直线过点时，取得最小值，从而可得的最小值．

【详解】

作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：

将目标函数变形为，由图可知当直线经过点时，截距最小，

所以此时取得最小值为．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查简答线性规划，解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解目标函数的几何意义．

15．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则椭圆的方程为______.

【答案】

【解析】设，，则，，利用点差法即可得到，再结合即可求出，从而求出答案．

【详解】

设，，则，，①，②，

由①－②得，即

所以，

又，

所以，即，又，解得，，

所以椭圆方程为．

【点睛】

本题主要考查求椭圆的方程，关键是利用“点差法”，建立直线的斜率与弦的中点坐标的关系，得出的一个关系式，再根据椭圆方程中的关系得出方程组，从而求出，达到“设而不求”的目的，优化了解题过程．

16．已知数列中，，，（，且），则的前项的和为______.

【答案】

【解析】根据递推公式列举出前项中偶数项与奇数项关系，两端相加可得前项中偶数项的和与奇数项的和相等，故问题转化为只需求偶数项的和，再由采用累加法可求出偶数项的通项公式，从而可求出偶数项的和，进而求出数列的前项的和．

【详解】

由题意，得，，，…，，

所以，即，

又，（，且），

，

，

，

…，

，

将上式相加，得

，

所以，

所以.

【点睛】

本题主要考查数列递推关系的应用及累加法求数列的通项，同时考查转化的思想和运算能力，属于难题．

三、解答题

17．在中，为上一点，，，，.

(1)求角；

(2)求．

【答案】(1)；(2)

【解析】(1)在中，利用正弦定理即可求出，再由已知得，从而求出角；

(2)首先在中，利用余弦定理求出，再由可求出，然后在中，利用余弦定理即可求出．

【详解】

(1)

在中，由正弦定理得，即，

所以，又，所以．

(2)在中，由余弦定理得，

所以，即，

解得，

因为，所以，

在中，由余弦定理得

，

所以.

【点睛】

本题主要考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，同时考查基本运算能力，属于基础题．

18．如图，在四棱锥中，已知为平行四边形，，，，.

(1)求证：平面；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】(1)要证平面，只要证垂直于平面内的两相交直线即可，根据已知条件可证，；

(2)利用等体积法要求三棱锥的体积，即求三棱锥的体积，分别根据已知求出高与底面即可得到答案．

【详解】

(1)证明：

设，连接，

因为，且，所以四边形为菱形，

所以，且，，，

又，，所以是等腰直角三角形，

所以，，，

在中，，，，有，

所以，即，又，平面，

所以平面．

(2)由(1)知，，又，平面，

所以平面，故为三棱锥的高，

所以，

因为， 所以三棱锥的体积．

【点睛】

本题主要考查直线与平面垂直的判定定理的应用，等体积法的应用，属于基础题．

19．端午节（每年农历五月初五），是中国传统节日，有吃粽子的习俗．某超市在端午节这一天，每售出kg粽子获利润元，未售出的粽子每kg亏损元．根据历史资料，得到销售情况与市场需求量的频率分布表，如下表所示.该超市为今年的端午节预购进了kg粽子.以（单位：kg，）表示今年的市场需求量，（单位：元）表示今年的利润．

(1)将表示为的函数；

(2)根据频率分布表估计今年利润不少于元的概率．

【答案】(1)；(2)

【解析】(1)根据利润等于售出的粽子的利润减去未售出的粽子亏损的钱数之差列式并整理，即可得到答案；

(2)根据(1)中利润函数解出利润不少于元时的范围，结合频率分布表可确定在此范围内的频率，进而可估计出概率．

【详解】

(1)当时，；

当时，．

所以

(2)由(1)知，①当时，由得，

解得，又，所以；

②当时，恒成立，

综上，当时，利润不少于元，

由频率分布表可知的频率为，

所以今年利润不少于元的概率为.

【点睛】

本题主要考查函数解析式的求法，利用频率估计概率，同时考查分段函数及分类讨论的思想，属于基础题．

20．已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小.

(1)求曲线的方程；

(2)设为曲线上任意一点，点，问是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆是的弦长恒为定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)；(2)存在，直线的方程为，定值为

【解析】(1)根据题意可知，曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等，结合抛物线的定义，即可得到答案；

(2) 设直线方程为，，直线与以为直径的圆的交点为，，因为直线垂直于轴，故弦长为，因此根据圆的直径式方程写出以为直径的圆的方程将代入，利用根与系数关系求出，代入弦长，可求得，令即可得到答案．

【详解】

(1)依题意得，曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等.

所以曲线的方程为：.

(2)假设满足条件的直线存在，其方程为，，

则以为直径的圆的方程为，

将直线方程代入，得，

则.

设直线与以为直径的圆的交点为，，

则，，

于是有.

当，即时，为定值.   

故满足条件的直线存在，其方程为.

【点睛】

本题主要考查利用抛物线定义求抛物线的标准方程及定值问题，属于中档题．

21．已知函数，.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若是函数的两个不同的零点，求证：.

【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）证明见解析

【解析】(1)求出，对参数分和讨论，即可到答案；

(2)根据零点方程，变形消去参数，可得，然后整理可得，设，，，则，，问题转化为要证，即证，，.即证当时，有，构造函数，，只需证明即可．

【详解】

(1)函数的定义域为，，

当时，，所以函数在上单调递增；

当时，令，得；令，得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

综上所述：当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减．

(2)因为是方程的两个不同实根，不妨设.

于是，有，解得.

另一方面，由，得，

从而可得，

于是，.

又，设，则.因此，，.

要证，即证：，.即证当时，有.

设函数，，则，

所以，为上的增函数.注意到，，因此，.

于是，当时，有.所以，有成立.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及“双零点”问题的处理方法，对于导数中的“双零点”问题通常有如下方法：①依据零点方程变形消参后构造新元函数单独研究；② 将自变量大小转化为函数值大小，依据函数单调性的“知二得一”获解．

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出曲线的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，直线与曲线交于两点，若，求的值.

【答案】(1)；(2)或

【解析】(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式，，即可得到答案；

(2)将的极坐标化为直角坐标可知直线经过点，把直线的参数方程代入，由直线的参数方程中的几何意义可得的值，再结合，即可求出的值．

【详解】

(1)由曲线的极坐标方程为，得，

将，及

代入得，即.

(2)点的直角坐标为，所以直线经过点，

所以将代入，得.

则，解得，

因为，所以或.

【点睛】

本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线的参数方程中参数的几何意义，本题中求的关键是联立直线的参数方程与椭圆的直角坐标方程的基础上，利用直线的参数方程的几何意义结合根与系数关系求解．

23．函数．

(1)当时，不等式的解集；

(2)若时，不等式成立，求的取值范围.

【答案】(1)；(2)

【解析】(1) 当时，不等式即为，利用绝对值的几何意义即可得到答案；

(2)由可知，从而将不等式化简为，再由对任意恒成立，即可求出答案．

【详解】

（1）当时，，

由绝对值的几何意义可得：，

所以不等式的解集，

(2)若时，不等式成立，等价于，

即对恒成立，

所以，解得，

所以实数的取值范围是．

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题，属于中档题．