2020届五省优创名校高三（全国Ⅰ卷）第四次联考数学（文）试题（解析版）

2020届五省优创名校高三（全国Ⅰ卷）第四次联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先计算，再计算得到答案.

【详解】

因为，所以．

故选：

【点睛】

本题考查了集合的运算，意在考查学生的计算能力.

2．若，则在复平面内对应点位于(    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】化简得到，得到答案.

【详解】

，对应的点在第一象限.

故选：.

【点睛】

本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.

3．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】化简得到原式，再利用和差公式计算得到答案.

【详解】

．

故选：

【点睛】

本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.

4．已知为定义在上的偶函数，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】判断，利用函数的奇偶性代入计算得到答案.

【详解】

∵，∴．

故选：

【点睛】

本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

5．高考“”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有位，选择化学的学生共有位，选择物理也选择化学的学生共有位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】计算选择物理的学生人数为，再计算比值得到答案.

【详解】

选择物理的学生人数为，

即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为．

故选：

【点睛】

本题考查了根据样本估计总体，意在考查学生的应用能力.

6．在中，角所对的边分别为，已知，则（    ）

A．或 B． C． D．或

【答案】D

【解析】根据正弦定理得到，化简得到答案.

【详解】

由，得，

∴，∴或，∴或．

故选：

【点睛】

本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.

7．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】判断函数为奇函数排除B，C，计算特殊值排除D，得到答案.

【详解】

∵，

∴为奇函数，排除B，C；

又，，排除D；

故选：A

【点睛】

本题考查了函数图像的识别，确定函数单调性是解题的关键.

8．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据程序框图依次计算得到答案.

【详解】

，；，；，；

，；，此时不满足，跳出循环，

输出结果为，由题意，得．

故选:

【点睛】

本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.

9．将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.

【详解】

解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，，

因为是奇函数，

所以，解得，

因为，所以的最小值为.

故选：

【点睛】

本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.

10．点在所在的平面内，，，，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】确定点为外心，代入化简得到，，再根据计算得到答案.

【详解】

由可知，点为外心，

则，，又，

所以①

因为，②

联立方程①②可得，，，因为，

所以，即．

故选：

【点睛】

本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.

11．已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】点的坐标为，，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.

【详解】

不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，

因为，，

所以，

当且仅当，即当时，等号成立，

此时最大，此时的外接圆面积取最小值，

点的坐标为，代入可得，．

所以双曲线的方程为．

故选：

【点睛】

本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

12．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（    ）

（附：）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【解析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm，得到不等式，计算得到答案.

【详解】

由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，

这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体，

易求正四面体相对棱的距离为cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球，

则最上层球面上的点距离桶底最远为cm，

若想要盖上盖子，则需要满足，解得，

所以最多可以装层球，即最多可以装个球．

故选：

【点睛】

本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

二、填空题

13．某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2:6:4，用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中青年人数为，______.

【答案】300

【解析】直接利用分层抽样的比例公式计算得到答案.

【详解】

用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中青年人数为，

则，解得．

故答案为：

【点睛】

本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.

14．抛物线的焦点坐标为______.

【答案】

【解析】变换得到，计算焦点得到答案.

【详解】

抛物线的标准方程为，，所以焦点坐标为．

故答案为：

【点睛】

本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.

15．已知偶函数，其导函数为，当时，，，则不等式的解集为______.

【答案】

【解析】令，确定在上单调递增，，解不等式得到答案.

【详解】

令，当时，，

在上单调递增．

因为是偶函数，所以是奇函数．

因为，所以．

不等式等价于，所以或，解得或．

故答案为：

【点睛】

本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合运用.

16．在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为______.

【答案】

【解析】确定平面即为平面，四边形是菱形，计算面积得到答案.

【详解】

如图，在正方体中，记的中点为，连接，

则平面即为平面．证明如下：

由正方体的性质可知，，则，四点共面，

记的中点为，连接，易证．连接，则，

所以平面，则．

同理可证，，，则平面，

所以平面即平面，且四边形即平面截正方体所得的截面．

因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，

其对角线，，所以其面积．

故答案为：

【点睛】

本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

三、解答题

17．某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.

表1：男生

表2：女生

（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；

（2）根据题目条件，完成下面列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】（1）；（2）填表见解析，没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.

【解析】（1）由题可知共有个基本事件，“运动达人”的可能结果为个，

求得概率即可；

（2）根据题意列出列联表，代入公式计算结果，然后判断即可.

【详解】

（1）每周运动的时长在中的男生有4人，在中的男生有2人，

则共有个基本事件，

其中中至少有1人被抽到的可能结果有

个，

所以抽到“运动达人”的概率为；

（2）每周运动的时长小于15小时的男生有26人，女生有16人；

每周运动的时长不小于15小时的男生有14人，女生有24人.

可得下列列联表：

，

所以没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.

【点睛】

本题考查随机抽样和独立性检验，考查概率的计算，考查分析和运算能力，属于常考题.

18．已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，证明：．

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1），①当时，，②两式相减即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用裂项相消法求和证明.

【详解】

（1）解：，①

当时，．

当时，，②

由①-②，得，

因为符合上式，所以．

（2）证明：

因为，所以．

【点睛】

本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点．

（1）证明：．

（2）求点到平面的距离．

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】（1）取的中点，连接，证明平面得到答案.

（2）利用等体积法计算得到答案.

【详解】

（1）取的中点，连接．

在直角梯形中，,，，

所以．

又因为为的中点，所以．

因为平面，平面，

所以，又因为，

所以平面，所以．

在直角中，，，分别为的中点，

因为，所以，所以，

所以．

又因为平面，，

所以平面，则．

（2）设点到平面的距离为，由（1）可知平面，

所以，

整理得，

所以点到平面的距离为．

【点睛】

本题考查了线线垂直，点到平面的距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

20．已知函数，．

（1）若不等式对恒成立，求的最小值；

（2）证明：．

【答案】（1）最小值为．（2）见解析

【解析】（1）化简得到，令，求函数的最大值得到答案.

（2）变换得到，分别求表达式两边的最值得到答案.

【详解】

（1）即，化简可得．

令，，因为，所以，，

所以，在上单调递减，，

所以的最小值为．

（2）证要证，即

两边同除以可得．

设，则，

在上，，所以在上单调递减，

在上，，所以在上单调递增．所以．

设，因为在上是减函数，所以，

所以，即．

【点睛】

本题考查了恒成立问题，表达式的证明，转化为函数的最值计算是解题的关键.

21．已知分别是椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，，且．

（1）求的方程；

（2）已知点是上的任意一点，不经过原点的直线与交于两点，直线的斜率都存在，且，求的值．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）不妨设，，计算得到，根据面积得到，计算得到答案.

（2）设，，，联立方程利用韦达定理得到，，代入化简计算得到答案.

【详解】

（1）由题意不妨设，，

则，．

∵，∴，∴．

又，∴，

∴，，故的方程为．

（2）设，，，则．∵，

∴，设直线的方程为，

联立整理得．

∵在上，∴，∴上式可化为．

∴，，，

∴，

，

∴

．

∴．

【点睛】

本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求和的直角坐标方程；

（2）已知为曲线上的一个动点，求线段的中点到直线的最大距离．

【答案】（1）．．（2）最大距离为．

【解析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案.

（2）曲线的参数方程为，设，计算点到直线的距离公式得到答案.

【详解】

（1）由，得，

则曲线的直角坐标方程为，即．

直线的直角坐标方程为．

（2）可知曲线的参数方程为（为参数），

设，，

则到直线的距离为

，

所以线段的中点到直线的最大距离为．

【点睛】

本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力.

23．设函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为，且，求的最小值．

【答案】（1）或（2）最小值为．

【解析】（1）讨论，，三种情况，分别计算得到答案.

（2）计算得到，再利用均值不等式计算得到答案.

【详解】

（1）

当时，由，解得；

当时，由，解得；

当时，由，解得．

所以所求不等式的解集为或．

（2）根据函数图像知：当时，，所以．

因为

，

由，可知，

所以，

当且仅当，，时，等号成立．

所以的最小值为．

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式，函数最值，均值不等式，意在考查学生对于不等式，函数知识的综合应用.