2020届大教育全国名校联盟高三质量检测第一次联考数学（文）试题（解析版）

2020届大教育全国名校联盟高三质量检测第一次联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据集合交集的定义直接求解即可.

【详解】

因为集合，，所以.

故选：D

【点睛】

本题考查了集合的交集运算，属于基础题.

2．若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在(    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.

【详解】

由题意，复数z满足，可得，

所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

3．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.

【详解】

若，根据线面平行的性质定理，可得；

若，根据线面平行的判定定理，可得.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.

4．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.

【详解】

“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示，

利用列举法，可得下表，

可知需要的次数为4次.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.

5．已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（    ）

A．30 B． C． D．62

【答案】B

【解析】根据，分别令，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.

【详解】

设等比数列的公比为，由题意可知中：.由，分别令，可得、，由等比数列的通项公式可得：，

因此.

故选：B

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.

6．函数的大致图象是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.

【详解】

由题意可知函数为奇函数，可排除B选项；

当时，，可排除D选项；

当时，，当时，，

即，可排除C选项，

故选：A

【点睛】

本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．

7．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.

【详解】

由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：

第1次循环：；

第2次循环：；

第3次循环：；

第10次循环：，

此时满足判定条件，输出结果，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

8．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.

【详解】

设公差为d，由题知，

，

解得，，

所以数列为，

故.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.

9．若,,,则下列结论正确的是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.

【详解】

由指数函数的性质，可得，即，

又由，所以.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.

10．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可.

【详解】

当时，，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为.

在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示：

利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是.

故选：A

【点睛】

本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.

11．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.

【详解】

设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为，以12：00点为开始算起，则有，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，

所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：

.

故选：C

【点睛】

本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.

12．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.

【详解】

设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：

，因此双曲线的渐近线方程为：

.

故选：D

【点睛】

本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.

二、填空题

13．已知，是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为__________.

【答案】

【解析】首先求出与的数量积，然后直接根据与的夹角公式求解即可.

【详解】

由题知，，

有，

所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积的运算，向量夹角的求解，属于基础题.

14．若函数满足：①是偶函数；②的图象关于点对称.则同时满足①②的，的一组值可以分别是__________.

【答案】，

【解析】根据是偶函数和的图象关于点对称，即可求出满足条件的和.

【详解】

由是偶函数及，可取，

则，

由的图象关于点对称，得，，

即，，可取.

故，的一组值可以分别是，.

故答案为：，.

【点睛】

本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.

15．“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________.

【答案】

【解析】画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案.

【详解】

如图所示，设椭圆的长半轴为，半焦距为，

因为地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,

可得，解得，

所以椭圆的离心率为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

三、双空题

16．在三棱锥中，，，，若PA与底面ABC所成的角为，则点P到底面ABC的距离是______；三棱锥P-ABC的外接球的表面积_____.

【答案】       

【解析】首先补全三棱锥为长方体，即可求出点P到底面ABC的距离，同时长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，然后即可求出外接球的表面积.

【详解】

将三棱锥置于长方体中，其中平面，

由与底面ABC所成的角为，可得，

即为点P到底面ABC的距离，

由，得，如图，

PB就是长方体（三条棱长分别为1，1，）外接球的直径，

也是三棱锥外接球的直径，即，

所以球的表面积为.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题.

四、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求B；

（2）若的面积为，周长为8，求b.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）通过正弦定理和内角和定理化简，再通过二倍角公式即可求出；

（2）通过三角形面积公式和三角形的周长为8，求出b的表达式后即可求出b的值.

【详解】

（1）由三角形内角和定理及诱导公式，得，

结合正弦定理，得，

由及二倍角公式，得，

即，故；

（2）由题设，得，从而，

由余弦定理，得，即，

又，所以，

解得.

【点睛】

本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题.

18．若养殖场每个月生猪的死亡率不超过，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：

（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；

（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.001）.

（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？

附：线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：，

参考数据：.

【答案】（1）；（2）；（3）利润约为111.2万元.

【解析】（1）首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率；

（2）首先求出利润y和养殖量x的平均值，然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距即可求出线性回归方程；

（3）根据线性回归方程代入9月份的数据即可求出9月利润.

【详解】

（1）2月到6月中，合格的月份为2，3，4月份，

则5个月份任意选取3个月份的基本事件有

，，，，，，

，，，，共计10个，

故恰好有两个月考核合格的概率为；

（2），，

，

，

故；

（3）当千只，

（十万元）（万元），

故9月份的利润约为111.2万元.

【点睛】

本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题.

19．在三棱柱中，四边形是菱形，，，，，点M、N分别是、的中点，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求四棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出平面即可；

（2）求出点A到平面的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积.

【详解】

（1）连接，由是平行四边形及N是的中点，

得N也是的中点，因为点M是的中点，所以，

因为，所以，

又，，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）过A作交于点O，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，

由是菱形及，得为三角形，则，

由平面，得，从而侧面为矩形，

所以.

【点睛】

本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.

20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是抛物线E上一点，且点P的横坐标为2，.

（1）求抛物线E的方程；

（2）过点F的直线m与抛物线E交于A、B两点，过点F且与直线m垂直的直线n与准线l交于点M，设AB的中点为N，若O、M、N、F四点共圆，求直线m的方程.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）首先根据抛物线的定义和题中条件求出抛物线的焦准距，即可得到抛物线的方程；

（2）首先设直线m的方程，然后与抛物线联立，利用韦达定理求出点N坐标，然后设直线n的方程求出点M的坐标，最后利用O、M、N、F四点共圆即可求出直线m的方程.

【详解】

（1）由抛物线定义，得，解得，

所以抛物线F的方程为；

（2）设直线m的方程为，代入，得，

设，，则，，

由，，

得，

所以，

因为直线m的斜率为，所以直线n的斜率为，

则直线n的方程为，

由解得，

若O、M、N、F四点共圆，再结合，得，

则，

解得，所以直线m的方程为.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的定理，直线与抛物线的交点问题，属于一般题.

21．已知函数存在一个极大值点和一个极小值点.

（1）求实数a的取值范围；

（2）若函数的极大值点和极小值点分别为和，且，求实数a的取值范围.（e是自然对数的底数）

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）首先对函数求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a的取值范围；

（2）首先求出的值，再根据求出实数a的取值范围.

【详解】

（1）函数的定义域为是，

，

若有两个极值点，则方程一定有两个不等的正根，

设为和，且，

所以解得，

此时，

当时，，

当时，，

当时，，

故是极大值点，是极小值点，

故实数a的取值范围是；

（2）由（1）知，，，

则，

，

，

由，得，即，

令，考虑到，

所以可化为，

而，

所以在上为增函数，

由，得，

故实数a的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式，属于难题.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.

（1）设直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C交于两点A．B，求AB的长；

（2）设M、N是曲线C上的两点，若，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）1.

【解析】（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；

（2），，由（1）通过计算得到，即最大值为1.

【详解】

（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为，

即；

再将，，代入上式，

得，

故曲线C的极坐标方程为，

显然直线l与曲线C相交的两点中，

必有一个为原点O，不妨设O与A重合，

即.

（2）不妨设，，

则面积为

当，即取时，.

【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.

23．已知不等式对于任意的恒成立.

（1）求实数m的取值范围；

（2）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足.求证.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）法一：，，得，则，由此可得答案；

法二：由题意，令，易知是偶函数，且时为增函数，由此可得出答案；

（2）由（1）知，，即，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论．

【详解】

解：（1）法一：（当且仅当时取等号），

又（当且仅当时取等号），

所以（当且仅当时取等号），

由題意得，则，解得，

故的取值范围是；

法二：因为对于任意恒有成立，即，

令，易知是偶函数，且时为增函数，

所以，即，则，解得，

故的取值范围是；

（2）由（1）知，，即，

∴

，

故不等式成立．

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．