2020届四川省成都市新都区高三诊断测试数学（文）试题（解析版）

2020届四川省成都市新都区高三诊断测试数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集U＝R，集合，则图中的阴影部分表示的集合为(　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】B={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1或x＜0}，

由题意可知阴影部分对应的集合为∁U（A∩B）∩（A∪B），

∴A∩B={x|1＜x≤2}，A∪B=R，

即∁U（A∩B）={x|x≤1或x＞2}，

∴∁U（A∩B）∩（A∪B）={x|x≤1或x＞2}，

即（﹣∞，1]U（2，+∞）

故选：A

2．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对复数进行运算得，从而求得.

【详解】

因为，

所以，所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的四则运算、共轭复数和模的概念，考查基本运算求解能力.

3．已知数列为等差数列，为其前n项和，，则（    ）

A．2 B．7 C．14 D．28

【答案】D

【解析】根据等差数列通项公式，将等式化成，再由等差数列的前项和公式得.

【详解】

因为，

所以，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式、前项和公式，考查基本运算求解能力.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直接对等式两边平方，利用倍角公式得的值.

【详解】

因为，

所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系、倍角公式，考查基本运算求解能力.

5．已知定义在R上的函数在单调递减，且满足对，都有，则符合上述条件的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知函数要满足为偶函数且在单调递减，对解析式进行逐个验证.

【详解】

对A，函数为偶函数，但在单调递增，

故A错误；

对B，函数为偶函数，且在单调递减，故B正确；

对C，函数的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，

故C错误；

对D，函数为偶函数，但在不具有单调性，故D错误；

故选：B.

【点睛】

本题考查利用函数的解析式研究函数的单调性和奇偶性，考查数形结合思想的应用，求解时要注意解析式含有绝对值时，要记得进行分类讨论.

6．已知定义在R上的函数满足，且函数在上为单调递减函数，若，，，则下面结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由条件得函数关于直线对称，且，再利用函数的单调性可得的大小关系.

【详解】

因为满足，所以关于直线对称，

因为，，，

所以，

因为在上为单调递减，

所以.

因为，，

所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查指数函数的图象与性质、对数恒等式、函数的对称性、单调性，考查数形结合思想的应用，在比较大小时要把自变量的值都化到同一单调区间内，再利用函数的单调性进行大小比较.

7．已知，，若不等式恒成立，则n的最大值为（    ）

A．9 B．12 C．16 D．20

【答案】B

【解析】对不等式等价变形为恒成立，利用基本不等式求右边式子的最小值，从而求得n的最大值.

【详解】

因为不等式恒成立，

所以恒成立.

因为，等号成立当且仅当，

所以，故的最大值为.

故选：B.

【点睛】

本题考查不等式的恒成立问题、基本不等式求最值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中利用基本不等式求最值要注意等号成立的条件.

8．函数的图象可能是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】考查该函数的奇偶性，在处的取值以及该函数在上的单调性可辨别出图象。

【详解】

令，定义域为，，

该函数为偶函数，且，排除C选项，

当时，，则，

当时，，，则，

当时，，则，

所以， 函数在上单调递减，符合条件的图象为B选项中的图象。

故选：B.

【点睛】

本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定义域；②奇偶性；③单调性；④零点；⑤函数值符号。在考查函数的单调性时，可充分利用导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题。

9．在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据等比中项得，由对数相加真数相乘得，

将目标式化简后，利用诱导公式求得式子的值.

【详解】

因为，所以，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查等比中项性质、对数运算法则、诱导公式的综合运用，考查运算求解能力和转化与化归思想.

10．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则给出下列结论：

①；

②；

③在向量上的投影为．

其中正确结论的个数为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【解析】对①，利用数量积的定义计算；对②，先求，结合图象发现的方向与是相反向量；对③，利用投影的定义求解.

【详解】

对①，的夹角为，所以，故①正确；

对②，，所以，，利用向量的加法法则，由图可发现的方向与方向相反，所以，故②正确；

对③，在向量上的投影为，因为，所以，故③错误.

故选：B.

【点睛】

本题以数学文化为背景，考查向量的相关概念，向量数量积的定义、投影，考查数形结合思想和运算求解能力，求解过程中要充分利用图形提取信息，特别对③可以减少计算量.

11．已知定义在上的函数，且，若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】方程有两个不相等的实数根函数与函数图象有两个交点，分别作出两个函数图象，通过观察图象得到的取值.

【详解】

方程有两个不相等的实数根函数与函数图象有两个交点.

因为，所以函数的周期，

所以函数的周期，

因为函数，函数的图象如图所示：

观察图象，当直线的斜率为时，两个函数图象有且仅有两个交点，

结合选项和图象分析，所以实数k的取值集合是.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的零点与两个函数图象交点横坐标的等价关系、函数的周期，考查转化与化归思想、数形结合思想的灵活运用，求解时要注意作图的准确性.

12．已知定义在R上的奇函数，对任意且，都有，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据函数的奇偶性、单调性，将不等式化成在恒成立，接利用参变分离、构造函数，求得的取值范围.

【详解】

由题意知，函数在单调递减，

因为为奇函数，所以在R上单调递减.

因为对恒成立，

所以对恒成立，

所以对恒成立，

令，则在恒成立，

所以在单调递减，且，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合运用，考查参变分离及利用导数研究函数的最值，考查数形结合思想、转化与化归思想的运用，求解时注意恒成立问题的等价转化，即在恒成立，等价于.

二、填空题

13．曲线在时的切线方程为________．

【答案】

【解析】对函数进行求导得，则切线的斜率，再求出切点坐标，从而利用点斜式方程得到切线的方程.

【详解】

因为，所以，

因为，所以切点坐标为，

所以切线方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，曲线在某点处的切线方程，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

14．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果一墙厚10尺，请问两只老鼠最少在第________天相遇．

【答案】4

【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，再分别求和构造不等式求出的值.

【详解】

设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，

则，所以.

设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，

则，所以.

所以，即，

解得：且，

所以两只老鼠最少在第4天相遇.

故答案为：.

【点睛】

本题以数学文化为背景，建立等比数列模型进行问题解决，考查学生的数学建模能力、运算求解能力，考查不等式的求解，注意利用为整数的特点，直接求得不等式的解.

15．已知函数满足，，且在区间上单调，则的最大值为________．

【答案】

【解析】根据函数在区间上单调得，再由，得到区间的长度恰好为，再根据的范围求得的最大值，进而得到的最大值.

【详解】

因为在区间上单调，

所以，

因为，，

所以，

所以，

当，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用三角函数的图象与性质，研究的最大值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查数形结合思想、转化与化归思想，求解时要充分挖掘题干中的隐含条件.

16．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为____．

【答案】

【解析】将问题转化为，根据二次函数和分式的单调性可求得在上的最小值和最大值及在上的最大值；分别讨论最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果.

【详解】

不等式恒成立可转化为：

当时，，

当时，

①若，即时，

，解得：（舍）

②若，即时，

又，

当，即时，

，解得：（舍）

当，即时，

，解得：   

③若，即时，

，解得：（舍）

综上所述：

本题正确结果：

【点睛】

本题考查恒成立和能成立综合应用的问题，关键是能够将不等式转化为两个函数最值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求得结果.

三、解答题

17．等差数列中，，.

（1）求的通项公式；

（2）求的前n项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由得出等差数列的公差为，再利用，得出的值，再利用等差数列的通项公式求出数列的通项公式；

（2）求出数列的通项公式，再利用分组求和法求出.s

【详解】

（1），等差数列的公差为，

，解得，

因此，；

（2），

     ，

因此，.

【点睛】

本题考查等差数列的通项与分组求和法，对于等差数列通项，一般利用首项和公差建立方程组求解，对于等差与等比相加所构成的新数列，一般利用分组求和法进行求和，考查计算能力，属于基础题。

18．如图1,在直角梯形中，，，，将沿折起,使平面平面，得到几何体，如图2所示，

（1）求证：平面；

（2）求几何体的体积.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）由题中数量关系和勾股定理，得出AC⊥BC，再证BC垂直与平面ACD中的一条直线即可，△ADC是等腰Rt△，底边上的中线OD垂直底边，由面面垂直的性质得OD⊥平面ABC，所以OD⊥BC，从而证得BC⊥平面ACD；

（2）由高和底面积，求得三棱锥B﹣ACD的体积即是几何体D﹣ABC的体积．

【详解】

（1）在图1中，△ADC是等腰Rt△，且，可得，

在中由余弦定理可得

从而，故，

取中点连结，则，又面面，

面面，且面，从而平面，

∴，又，，∴平面.

(2) 由（1）可知为三棱锥的高，，得，

所以，

由等体积性可知几何体的体积为.

【点睛】

本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．

19．已知函数

(1)求函数的单调递增区间；

(2)内角的对边分别为，若，，，且，试求角和角.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）将解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到的递增区间；

（2）由（1）确定的解析式，及求出的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再由b与c的值，利用正弦定理求出的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，由a大于b得到A大于B，检验后即可得到满足题意的B和C的度数.

【详解】

（1），

令，解得

故函数的递增区间为.

（2），

，

由正弦定理得：，

，，或.

当时，：当时，（不合题意，舍）

所以.

【点睛】

本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

20．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．

（1）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？

（2）下图是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的折线图：

请结合图形和所给数据求违章驾驶员人数y与月份x之间的回归直线方程，并预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．

附注：参考数据：，．

参考公式：，，（其中）

【答案】（1）能判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关（2）y与x之间的回归直线方程；预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有66人

【解析】（1）将数据直接代入公式计算，并与进行比较，再下结论；

（2）根据参考数据和参考公式，先求的平均数，再对公式进行变形得，再将数据代入求得的值，从而得到回归方程.

【详解】

解：（1）由列联表中数据，计算，

由此能判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关

（2）利用所给数据，计算，

；

；

∴与之间的回归直线方程；

当时，，

即预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有66人．

【点睛】

本题考查列联表、计算、最小二乘法求回归直线，考查阅读理解和数据处理能力、基本的运算求解能力.

21．已知椭圆的左、右焦点为、，，若圆Q方程，且圆心Q在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线交椭圆于A、B两点，过直线上一动点P作与垂直的直线交圆Q于C、D两点，M为弦CD中点，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明你的理由．

【答案】（1）（2）为定值，定值是

【解析】（1）由椭圆的定义求得，再根据焦点坐标得，再由得到的值，从而得到椭圆的方程；

（2）设，，将直线的方程代入椭圆方程，利用弦长公式求得；由题设条件得，从而有，所以的面积为定值，利用面积公式可得答案.

【详解】

解：（1）由题意可知：，，，

∴，

，

∴椭圆的方程为.

（2）设，，由

消去y，得，

∴,

∵M为线段CD中点，∴，

又∵，，∴，

又点Q到的距离，

∴.

【点睛】

本题考查利用待定系数法求椭圆的方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查坐标法思想、数形结合思想的应用，考查运算求解能力，求解过程中注意平面几何知识的应用，即两平行线间的距离处处相等.

22．已知函数．

（1）讨论的单调性并指出相应单调区间；

（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】（1）答案见解析（2）

【解析】（1）先对函数进行求导得，对分成和两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；

（2）对函数求导得，从而有，，，三个方程中利用得到.将不等式的左边转化成关于的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到的取值范围.

【详解】

解：（1）由，，

则，

当时，则，故在上单调递减；

当时，令，

所以在上单调递减，在上单调递增．

综上所述：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）∵，

,

由得，

∴，，∴

∵∴解得.

∴.

设，

则,

∴在上单调递减；

当时，.

∴，即所求的取值范围为.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.