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    2020届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学(文)试题(解析版)

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    2020届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学(文)试题

     

     

    一、单选题

    1.设全集,则   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】先确定集合的元素,再由补集定义求解.

    【详解】

    由题意

    故选:D

    【点睛】

    本题考查补集的运算,解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算.本题还考查了指数函数的单调性.

    2.已知为虚数单位,复数满足,则   

    A B

    C D

    【答案】A

    【解析】由除法计算出复数

    【详解】

    由题意

    故选:A

    【点睛】

    本题考查复数的除法运算,属于基础题.

    3.已知高一(1)班有学生45人,高一(2)班有50人,高一(3)班有55人,现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校遵纪守法好公民知识测评,则高一(2)班被抽出的人数为(   

    A10 B12 C13 D15

    【答案】A

    【解析】分层抽样是按比例抽取人数.

    【详解】

    设高一(2)被抽取人,则,解得

    故选:A

    【点睛】

    本题考查分层抽样,属于基础题.

    4.已知向量,若,则   

    A B C D5

    【答案】C

    【解析】根据向量平行的坐标运算计算出,再由模的坐标表示求模.

    【详解】

    故选:C

    【点睛】

    本题考查向量平行的坐标表示,考查向量模的坐标表示.属于基础题.

    5.已知为任意角,则的(   

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

    C.充要条件 D.既不充分也不必要

    【答案】B

    【解析】说明命题是否为真即可.

    【详解】

    ,则,因此的必要不充分条件.

    故选:B

    【点睛】

    本题考查充分必要条件的判断,只要命题为真,则的充分条件,的必要条件.

    6.已知是圆上一动点,线段的垂直平分线交于点,则动点的轨迹方程为(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】利用,确定点轨迹是椭圆,从而易求得其方程.

    【详解】

    由题意圆标准方程为,圆心为,半径为6

    线段的垂直平分线交于点

    点轨迹是以为焦点,长轴长为6的椭圆,

    其轨迹方程为

    故选:A

    【点睛】

    本题考查用椭圆的定义求轨迹方程,属于基础题.根据椭圆定义确定动点轨迹是椭圆,然后求出得标准方程,要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程.

    7.已知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表:

    (单位:万元)

    0

    1

    2

    3

    4

    (单位:万元)

    10

    15

    30

    35

     

    若根据表中的数据用最小二乘法求得的回归直线方程为,则下列说法中错误的是(   

    A.产品的销售额与广告费用成正相关

    B.该回归直线过点

    C.当广告费用为10万元时,销售额一定为74万元

    D的值是20

    【答案】C

    【解析】根据回归直线方程中系数为正,说明两者是正相关,求出后,再由回归方程求出,然后再求得,同样利用回归方程可计算出时的预估值.

    【详解】

    因为回归直线方程中系数为6.50,因此,产品的销售额与广告费用成正相关,A正确;

    ,回归直线一定过点B正确;

    时,,说明广告费用为10万元时,销售额估计为74万元,不是一定为74万元,C错误;

    ,得D正确.

    故选:C

    【点睛】

    本题考查回归直线方程,回归直线方程中系数的正负说明两变量间正负相关性,回归直线一定过中心点,回归直线方程中计算的值是预估值,不是确定值.

    8.甲、乙、丙三位客人在参加中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间,计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察,由于时间关系,每个人只能选择一个景点,则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为(   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形.然后计数后可概率.

    【详解】

    两景点用12表示,三人选择景点的各种情形为:甲111 ,甲112 ,甲121 ,甲211 ,甲221 ,甲212 ,甲122 ,甲222 8种,其中三人去同一景点的有甲111 和甲222两种,所以概率为

    故选:B

    【点睛】

    本题考查古典概型,解题时可用列举法写出所有的基本事件.

    9.双曲线的右焦点为,过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于两点,若四边形为坐标原点)的面积为,则双曲线的离心率为(   

    A B2 C D3

    【答案】B

    【解析】把四边形面积用表示出来,它等于,变形后可求得离心率.

    【详解】

    由题意,渐近线方程为,不妨设方程为

    ,得,即,同理

    ,由题意

    故选:B

    【点睛】

    本题考查求双曲线的离心率.求离心率关键是找到关于的一个等式,本题中四边形的面积是就是这个等式,因此只要按部就班地求出其面积即可得.

    10.已知圆,直线经过点,且将圆及其内部区域分为两部分,则当这两部分的面积之差的绝对值最大时,直线的方程为(   

    A B

    C D

    【答案】D

    【解析】如图,设设,求出直线分圆所成两部分面积之差的绝对值,利用导数确定函数的单调性,确定出当最小时最大,由圆的性质知最小时,,从而可求得直线方程.

    【详解】

    标准方程为,圆心为,半径为

    直线交圆于两点,设,如图,则直线分圆所成两部分中较小部分面积为,较大部分面积为

    这两部分面积之差的绝对值为

    是减函数,最小时,最大.

    中,最小时,最大,从而最小.

    经过点由圆的性质知当时,取得最小值.此时直线方程为,即

    故选:D

    【点睛】

    本题考查直线与圆相交问题,解题关键是引入,借助于扇形面积公式用表示出两个弓形面积之差的绝对值,再利用导数确定这个绝对值最大时的值,从而确定直线的位置,求得其方程.本题考查了函数思想的应用.

    11.已知为偶函数,且当时,,则满足不等式的实数的取值范围为(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】由偶函数性质把不等式化为,由导数确定函数上的单调性,利用单调性解不等式.

    【详解】

    是偶函数,,则不等式可化为,即

    时,

    ,则上的增函数,时,

    时,上是增函数,

    ,即

    故选:A

    【点睛】

    本题考查函数的奇偶性与单调性,考查解对数不等式.此各种类型不等式的解法是:本题这种类型的不等式有两种,一种是奇函数,不等式为,转化为,一种是偶函数,不等式为,转化为,然后由单调性去函数符号

    12.函数在区间上恰有一个零点,则实数的取值范围是(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】由零点存在定理,但还要验证此时在上是否只有一个零点,然后讨论两种情形是否符合题意.

    【详解】

    1)若由

    在定义域内是增函数,

    作出的示意图,如图.

    的图象在上只有一个交点,即上只有一个零点,符合题意.

    2)若,则.如(1)中示意图,是增函数,只是,而的图象在上只有一个交点,即上只有一个零点,符合题意.

    3)若,则,如(1)中示意图,是增函数,此时,但,而,因此在的图象还有一个交点,即上有两个零点,不合题意.

    综上,的取值范围是

    故选:D

    【点睛】

    本题考查函数零点分布问题.在闭区间上只有一个零点,首先由零点存在定理确定参数范围,但是此种情形下必须验证在上是否是一个零点,零点存在定理只说明有零点,没有说明有几个零点.其次分别讨论两种情形是否满足题意.

     

     

    二、填空题

    13.直线与直线平行,则实数的值是______.

    【答案】2.

    【解析】由两直线平行的条件判断.

    【详解】

    由题意,解得

    故答案为:2

    【点睛】

    本题考查两直线平行的充要条件,两直线平行,条件是必要条件,不是充分条件,还必须有,但在时,两直线平行的充要条件是

    14.某同学在最近的五次模拟考试中,其数学成绩的茎叶图如图所示,则该同学这五次数学成绩的方差是______.

    【答案】30.8.

    【解析】写出茎叶图中的5个数据,计算均值后再计算方差.

    【详解】

    五个数据分别是:110114119121126,其平均值为

    方差为

    故答案为:30.8

    【点睛】

    本题考查茎叶图,考查方差的计算.读懂茎叶图是解题基础.

    15.函数的图象如图所示,则在区间上的零点之和为______.

    【答案】.

    【解析】先求出周期,确定,再由点确定,得函数解析式,然后可求出上的所有零点.

    【详解】

    由题意,又

    内有:,它们的和为

    【点睛】

    本题考查三角函数的零点,由三角函数图象求出函数解析式,然后解方程得出零点,就可确定在已知范围内的零点.本题也可用对称性求解,由函数周期是,区间含有两个周期,而区间端点不是函数零点,因此上有4个零点,它们关于直线对称,由此可得4个零点的和.

    16.过点的直线与抛物线交于两点(之间),是抛物线的焦点,若,则的面积为______.

    【答案】3.

    【解析】不妨设在第一象限且由设,由,得,从而.由共线及在抛物线上,可求得

    【详解】

    不妨设在第一象限,如图,设,由题意

    共线,,即,把代入得:

    ,显然,解得

    故答案为:3

    【点睛】

    本题考查直线与抛物线相交的面积问题.解题关键是善于发现有共同的底,从而由面积比得出两点的纵坐标比,再由共线及在抛物线上,求得的纵坐标,从而得三角形面积.

     

    三、解答题

    17.每年的423日为世界读书日,某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生(其中男生45名),统计了每个学生一个月的阅读时间,其阅读时间(小时)的频率分布直方图如图所示:

    1)求样本学生一个月阅读时间的中位数.

    2)已知样本中阅读时间低于的女生有30名,请根据题目信息完成下面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.

    列联表

     

    总计

     

     

     

     

     

     

    总计

     

     

     

     

    附表:

    0.15

    0.10

    0.05

    2.072

    2.706

    3.841

     

    其中:.

    【答案】1;(2)不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.

    【解析】1)频率为0.5对应的点的横坐标为中位数;

    2100名学生中男生45名,女生55名,由频率分布直方图知,阅读时长大于等于的人数为50人,小于的也有50人,阅读时间低于的女生有30名,这样可得列联表中的各数,得列联表,依据公式计算,对照附表可得结论.

    【详解】

    1)由题意得,直方图中第一组,第二组的频率之和为

    .

    所以阅读时间的中位数.

    2)由题意得,男生人数为45人,因此女生人数为55人,

    由频率分布直方图知,阅读时长大于等于的人数为人,

    故列联表补充如下:

     

    总计

    25

    25

    50

    20

    30

    50

    总计

    45

    55

    100

     

     

    的观测值,所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.

    【点睛】

    本题考查频率分布直方图,考查独立性检验.正确认识频率分布直方图是解题基础.

    18.已知等差数列的公差,且的等比中项.数列的通项公式为.

    1)求数列的通项公式;

    2)记,求数列的前项和.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)由等差数列的通项公式表示出,由等比中项定义求得,注意可确定只有一解,从而中得,也即得

    2)由(1)得,用分组求和法可求得

    【详解】

    1)由题意得.

    ,解得.

    ,得,故.

    .

    .

    2)由(1)可知,.

    .

    【点睛】

    本题考查等差数列的通项公式,考查等比中项的定义,考查分组求和法以及等差数列和等比数列前项和公式,掌握等差数列与等比数列的通项公式和前项和公式是解题基础.

    19.在中,内角所对的边分别为.已知.

    1)求

    2)若边上一点,且,求.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)由正弦定理把角的关系转化为边的关系,再由余弦定理可求得

    2)把的面积用两种方法表示建立与三角形各边的关系,由,即即代入可得,再代入余弦定理中可求得,从而可得,于是得的值.

    【详解】

    1)在中,由正弦定理得

    ,即.

    由余弦定理得

    结合,可知.

    2)在中,,即.

    由已知,可得.

    中,由余弦定理得

    ,整理得,即

    .

    .

    【点睛】

    本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式,第(2)问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式:

    20.已知椭圆,动直线过定点且交椭圆两点(不在轴上).

    1)若线段中点的纵坐标是,求直线的方程;

    2)记点关于轴的对称点为,若点满足,求的值.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)设,直线,直线方程与椭圆方程联立消元得的二次方程,由判别式得的取舍范围,由韦达定理得,利用中点纵坐标是可求得,只要满足即可;

    2)由题意,说明三点共线,即.这样可求出,化为只含的式子后代入(1)中的就可求得

    【详解】

    1)设,直线.

    消去.

    ,解得.

    由韦达定理得.①

    中点的纵坐标是

    ,代入解得.

    ,得.

    直线的方程为.

    2)由题意得

    ,知三点共线,

    .

    解得.

    ,代入得.②

    .③

    代入得到.

    【点睛】

    本题考查直线与椭圆相交问题,解题方法是设而不求的思想方法,解题时注意体会.

    21.已知函数,其中.

    1)讨论函数的单调性;

    2)若,记函数的两个极值点为(其中),求的最大值.

    【答案】1)当时,上单调递增;当时,函数上单调递增,在上单调递减;

    2.

    【解析】1)求出导函数,由得增区间,由得减区间,注意题中函数定义域是,因此对二次三项式分类情况为第一类:,第二类

    2)与极值点有关的问题,不是直接代入极值点,而是用表示极值点,由是方程的解,得..不妨设,引入变量,则就转化为的函数,由求得的范围,由导数知识可得所求最大值.

    【详解】

    1.

    ,则.

    ,即时,得恒成立,

    上单调递增.

    ,即时,

    ,得

    ,得.

    函数上单调递增,

    上单调递减.

    综上所述,当时,上单调递增;

    时,函数上单调递增,

    上单调递减.

    2)由(1)得,当时,有两极值点(其中.

    的两根,

    .

    .

    .

    ,得

    ,解得.

    上单调递减,

    .

    的最大值为.

    【点睛】

    本题考查用导数研究函数的单调性,函数的极值点以及与极值点有关的最值.在求单调区间时要注意分类讨论.在研究极值点有关的最值问题时,常常设极值点为,由极值点的定义得出函数中参数与的关系,即用表示参数,并代入待求(证)式,同时设(本题),可把待求(证)式转化为的函数式,从而再利用导数的知识确定这个函数得出结论.这类题难度较大,对学生的思维能力、推理论证能力、转化与化归能力要求较高.

    22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线经过点,曲线的直角坐标方程为.

    1)求曲线的普通方程,曲线的极坐标方程;

    2)若是曲线上两点,当时,求的取值范围.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)由消元后得普通方程,由代入直角坐标方程可得极坐标方程;

    2)直接把两点的极坐标代入曲线的极坐标方程,得,这样就可转化为三角函数式,利用三角函数知识可得取值范围.

    【详解】

    1)将的参数方程化为普通方程为.

    得点的直角坐标为,代入,得

    曲线的普通方程为.

    可化为,即

    曲线的极坐标方程为.

    2)将点代入曲线的极坐标方程,

    .

    由已知,可得

    于是.

    所以的取值范围是.

    【点睛】

    本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查参数方程与普通方程的互化.消元法和公式法是解决此类问题的常用方法.

    23.已知关于的不等式,其中.

    1)当时,求不等式的解集;

    2)若该不等式对恒成立,求实数的取值范围.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式,最后要合并(求并集);

    2)设,同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数,求得的最大值,解相应不等式可得的范围.

    【详解】

    1)由时,.原不等式化为

    时,,解得,综合得

    时,,解得,综合得

    时,,解得,综合得.

    不等式的解集为.

    2)设函数

    画图可知,函数的最大值为.

    ,解得.

    【点睛】

    本题考查解含绝对值的不等式,解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号,用分类讨论的方法分段解不等式.

     

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