2020届四川省资阳市高三上学期第二次诊断考试数学（理）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解一元二次不等式化简集合,集合中的元素都是正整数,再根据集合的交集的概念进行运算即可,
【详解】
因为,
所以.
故选:C
【点睛】
本题考查了解一元二次不等式,考查了集合的交集运算,属于基础题.
2．已知为虚数单位，复数，则其共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先根据复数的乘法计算出，然后再根据共轭复数的概念直接写出即可.
【详解】
由，所以其共轭复数.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.
3．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先计算出点坐标，然后即可知的值，利用诱导公式即可求解出的值.
【详解】
因为角的终边经过点，
所以，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查任意角的三角函数值计算以及诱导公式的运用，难度较易.角(非轴线角)的终边经过点，则.
4．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且（为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意得以及,消去,结合离心率的定义可得答案.
【详解】
依题意可知,即,
又,
所以该椭圆的离心率.
故选:B
【点睛】
本题考查了求椭圆的离心率,关键是由得到,属于基础题.
5．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据函数值恒大于等于0,排除,根据函数不是偶函数,排除,根据趋近于正无穷时,函数值趋近于0,排除,故选:.
【详解】
因为,所以不正确;
函数不是偶函数,图象不关于轴对称,所以不正确;
当时,, 当趋近于正无穷时,和都趋近于正无穷,但是增大的速度大于增大的速度,所以趋近于0,故不正确.
故选:B
【点睛】
本题考查了利用函数性质识别函数的图象,考查了偶函数图象的对称性,考查了极限思想,根据函数的性质排除选项是解题关键.
6．执行如图所示的程序框图，若输入的值分别为，，输出的值分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据程序框图得到,,再相加即可得到答案.
【详解】
由程序框图可知:程序框图的功能是计算分段函数的函数值
当时,,所以,
当时,,所以,
所以.
故选:C
【点睛】
本题考查了利用程序框图计算分段函数的函数值,搞清楚程序框图的功能是解题关键,属于基础题.
7．如图，已知中，为的中点，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值.
【详解】
因为，
所以，.故.
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.
8．圆上到直线的距离为的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】通过计算可知:圆心到直线的距离等于圆的半径的一半,由此可得结论.
【详解】
圆可化为,
所以圆心为,半径为2,
圆心到直线的距离为:,
所以,
所以圆上到直线的距离为的点共有3个.
故选:C
【点睛】
本题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径,考查了点到直线的距离公式,属于基础题.
9．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．
若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得答案.
【详解】
依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积,
图②中阴影部分的面积是大三角形面积的,
图③中阴影部分的面积是大三角形面积的,
归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的,
所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为.
故选:C
【点睛】
本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.
10．关于函数有下述四个结论：①若，则；②的图象关于点对称；③函数在上单调递增；④的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称.其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①② C．③④ D．②④
【答案】D
【解析】①根据对称中心进行分析；②根据对称中心对应的函数值特征进行分析；③根据的单调性进行分析；④利用函数图象的平移进行分析，注意诱导公式的运用.
【详解】
①由知，是图象的两个对称中心，
则是的整数倍（是函数的最小正周期），即，所以结论①错误；
②因为，所以是的对称中心，所以结论②正确；
③由解得，
当时，在上单调递增，则在上单调递增，在上单调递减，所以结论③错误；
④的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为，
是偶函数，所以图象关于轴对称，所以结论④正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数图象与性质的综合应用，难度一般.(1)的对称中心对应的函数值为，对称轴对应的函数值为；(2)分析的单调性，可令满足的单调区间，从而可求的单调区间.
11．四面体的四个顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】计算出线段长度，分析出四面体的形状，从而可确定出外接球的球心，根据球心求解出球的半径即可求解出外接球的体积.
【详解】
由题意知，
所以，所以，
所以该四面体侧棱底面，且底面是边长为的正三角形，侧棱，
所以底面正三角形的外接圆半径为，球心必在过中点且平行于底面的平面上，
所以球半径，所以球的体积为.
故选：B.
【点睛】
本题考查空间几何体的外接球体积计算，难度一般.求解空间几何体的外接球的问题，首先要确定出球心所在的位置，然后根据线段长度求解出外接球的半径，最后即可求解出球的体积或表面积.
12．已知直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据切点处切线斜率等于导数值、切点处直线对应的函数值等于曲线对应的函数值，得到关于等式，由此将表示成关于的函数形式，构造新函数分析的最大值.
【详解】
设切点，则由得，
又由，得，则，
有，令，则，
故当时；当时，故当时取得极大值也即最大值.
故选：C.
【点睛】
本题考查导数的几何意义以及构造函数求解最值，难度较难.(1)分析导数的切线问题，注意两个点：切线的斜率等于切点处曲线的导数值、切线对应的值等于曲线对应的函数值；(2)构造函数求解最值时，注意分析新函数的单调性以及定义域，然后分析最值即可.
二、填空题
13．已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形（如图）.若底面圆的弦所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为______.
【答案】
【解析】据题意：较大部分的底面积可以看成是一个三角形加上圆的，且两部分柱体同高，因此可求解出较大部分的底面积，然后直接柱体体积公式求解即可.
【详解】
因为弦所对的圆心角为，所以圆柱截掉后剩余部分的底面面积为，
所以剩余部分的体积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查柱体体积的计算，难度较易.对于被切割的几何体体积或者表面积的计算，注意借助未切割之前几何体的几何特征去分析.
14．某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进人了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为______.
【答案】
【解析】分析甲获胜的方式：(1)前两局甲都获胜；(2)前两局甲获胜一局，第三局甲获胜，由此计算出甲获得冠军的概率.
【详解】
因为甲获胜的方式有和两种，
所以甲获得冠军的概率.
故答案为：.
【点睛】
本题考查独立事件的概率计算，对问题分析的能力要求较高，难度一般.若事件互相独立，则.
15．已知函数，则满足不等式的取值范围是______．
【答案】
【解析】先用偶函数的定义得函数为偶函数,可得,再利用时,函数为增函数,可将不等式化为,从而可解得结果.
【详解】
因为,所以,
所以 为偶函数,所以,
当时,为增函数,
所以等价于,
所以,
所以,
故答案为:
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式,利用将不等式化为是解题的关键,属于中档题.
16．某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为______元.
【答案】
【解析】根据题意设出关于车辆数的未知数，得到对应的不等式组，由此作出可行域，利用平移直线法分析运送费用的最小值.
【详解】
设安排甲型车辆，乙型车辆，由题意有即，
目标函数，作出不等式组所表示的平面区域为四点，，，
围成的梯形及其内部，如下图所示：
包含的整点有，，，，，，，，，
，，，，，，，，.
作直线并平移，分析可得当直线过点时最小，即
（元）.
故答案为：.
【点睛】
本题考查线性规划的实际应用，难度一般.计算线性目标函数的最值，采用平移直线法，将目标函数的最值与直线的斜率联系在一起，从而利用可行域解决问题.
三、解答题
17．已知数列的前项和为，首项为，且4，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)根据4，，成等差数列,可得,再利用可得,从而可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列,由此可得数列的通项公式;
(2)由可得,再根据等差数列的前项和公式可得结果.
【详解】
（1）由题意有,
当时，，所以,
当时，，，
两式相减得，整理得，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列,
所以数列的通项公式．
（2）由，所以，
所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列,
所以．
【点睛】
本题考查了等差中项的应用,考查了用和的递推关系求通项公式,考查了等比数列的通项公式,考查了等差数列的前项和的公式,属于中档题.
18．在中，角，，所对的边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)利用正弦定理完成边化角，然后根据得出对应的等式，从而计算出的值；
(2)根据正弦定理，将表示为的形式，然后根据的结果将表示为关于的三角函数，根据的范围求解出的最大值即可.
另解：根据余弦定理以及基本不等式求解出的最大值，注意取等号的条件.
【详解】
（1）由，根据正弦定理有：.
所以，所以.
因为为三角形内角，所以，所以，因为为三角形内角，所以.
（2）由，，根据正弦定理有：，
所以，.
所以.
当时，等号成立.所以的最大值为.
另解：（2）由，，根据余弦定理有：，
即.因为，
所以.即，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
【点睛】
本题考查解三角形的综合问题，难度一般.(1)解三角形时注意隐含条件的使用；(2)利用正弦定理求解边之和的最值，主要利用三角函数的有界性进行计算；利用余弦定理计算边之和的最值，主要利用余弦定理以及基本不等式进行计算.
19．已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数（个）和温度（）的7组观测数据，其散点图如所示：
根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数和温度可用方程来拟合，令，结合样本数据可知与温度可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：
27 | 74 | 182 |
表中，．
（1）求和温度的回归方程（回归系数结果精确到）；
（2）求产卵数关于温度的回归方程；若该地区一段时间内的气温在之间（包括与），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：，，，，．）
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】（1）；（2），.
【解析】(1)根据公式计算出和,可得;
(2)根据可得,再根据函数为增函数可得答案.
【详解】
（1）因为与温度可以用线性回归方程来拟合，设．
，
所以，
故关于的线性回归方程为．
（2）由（1）可得，
于是产卵数关于温度的回归方程为,
当时，；
当时，；
因为函数为增函数，
所以，气温在之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是内的正整数．
【点睛】
本题考查了求线性回归方程,考查了利用线性回归方程对变量进行分析,属于中档题.
20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，若为线段上的动点（不含）.
（1）平面与平面是否互相垂直？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（2）求二面角的余弦值的取值范围.
【答案】（1）平面平面，理由见解析；（2）
【解析】(1)利用线面垂直的判定定理证明平面，根据线面关系即可证明平面与平面垂直；
(2)建立空间直角坐标系，根据平面与平面法向量的夹角的余弦的取值范围，计算出二面角的余弦值的取值范围.
【详解】
（1）因为，为线段的中点.所以.
因为底面，平面，所以，
又因为底面为正方形，所以，，所以平面，
因为平面，所以.因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）由题意，以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示，令，
则，，，（其中）.易知平面的一个法向量.
设平面的法向量，由即
令，则是平面的一个法向量.，
由，所以，所以.
故若为线段上的动点（不含），二面角的余弦值的取值范围是.
【点睛】
本题考查空间中的面面垂直关系的证明以及二面角余弦值的取值范围.(1)面面垂直的证明可通过线面垂直的证明来完成；(2)利用空间向量计算二面角的余弦值时，可根据平面法向量的夹角余弦值以及几何图形中面与面夹角是钝角还是锐角，确定出二面角的余弦值大小.
21．已知函数．
（1）若为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数仅一个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）或
【解析】（1）对求导得，因为为单调函数，故或恒成立，利用导数研究或哪个能成立即可；
（2）因为，所以是的一个零点，由（1）可知，当时，为上的增函数，所以仅有一个零点，满足题意，当时，得，分，，讨论验证即可．
【详解】
解析：（1）由（），得
，
因为为单调函数，
所以当时，或恒成立，
由于，于是只需或对于恒成立，
令，则，
当时，，所以为增函数，
则．又当时，，
则不可能恒成立，即不可能为单调减函数．
当，即时，恒成立，
此时函数为单调递增函数．
（2）因为，所以是的一个零点．
由（1）知，当时，为的增函数，
此时关于x的方程仅一解，即函数仅一个零点，满足条件．
当时，由得，
（ⅰ）当时，，
则，
令，
易知为的增函数，且，
所以当时，，即，为减函数，
当时，，即，为增函数，
所以，
在上恒成立，且仅当，于是函数仅一个零点．
所以满足条件．
（ⅱ）当时，由于在为增函数，
则，当时，．
则存在，使得，即使得，
当时，，
当时，，
所以，且当时，．
于是当时存在的另一解，不符合题意，舍去．
（ⅲ）当时，则在为增函数，
又，，
所以存在，使得，也就使得，
当时，，
当时，，
所以，且当时，．
于是在时存在的另一解，不符合题意，舍去．
综上，a的取值范围为或．
【点睛】
本题考查了函数图象和性质，函数零点，导数在研究函数中的应用，是一道难度较大的题目．
22．已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2），是曲线上两点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)先消去参数将参数方程化成普通方程,再利用，将普通方程化成极坐标方程即可得到;
(2) 设点的极坐标为，则点的极坐标为．将化成,利用即可得到答案.
【详解】
（1）由（为参数），得曲线的普通方程为,
将，代入，得,
即,
所以曲线的极坐标方程为.
（2）由（1）知,
设点的极坐标为，
因为，则点的极坐标为,
所以
．
【点睛】
本题考查了参数方程化普通方程,考查了直角坐标方程化极坐标方程,考查了极坐标的几何意义,考查了同角公式,属于中档题.
23．已知正实数，满足．
（1）求最大值；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）4；（2）.
【解析】(1)平方后用基本不等式即可得到答案;
(2)利用基本不等式求得的最小值为3,利用绝对值三角不等式求得的最大值为,然后将恒成立转化为,解绝对值不等式即可得到答案.
【详解】
（1）因为
，当且仅当时取等号．
所以最大值为4．
（2）因为，
当且仅当，即，取等号，
所以的最小值为3,
又,
所以,
所以不等式对任意恒成立，只需,
所以,解得,
即实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查了基本不等式求积的最大值,和的最小值,考查了绝对值三角不等式,考查了不等式恒成立问题,属于中档题.
