2020届四川省资阳市高三第一次诊断性考试数学（理）试题
展开资阳市高中2017级第一次诊断性考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
2． 复数
A． B． C． D．
【答案】C
3． 已知向量，，若（），则
A． B． C． D．
【答案】C
4． 已知等差数列的前n项和为．若，则
A．7 B．14
C．21 D．42
【答案】B
5． 已知，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要比充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
6． 执行右图所示的程序框图，则输出的
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
7． 已知，，，则
A． B．
C． D．
【答案】B
8． 函数的图象大致是
【答案】 D
9． 已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转后经过点，则
A． B．
C． D．
【答案】
10．若函数（）的图象关于点对称，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
11．已知，．若，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
12. 定义在R上的可导函数满足，记的导函数为，当时恒有．若，则m的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．求值：_________．
【答案】1
14．已知x，y满足若的最小值为_________．
【答案】5
15．等比数列的前n项和为．已知，，则_________．
【答案】511
16．已知当且时，函数取得最大值，则的值为__________．
【答案】
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
已知函数．
（1）求在上的零点；
（2）求在上的取值范围．
【答案】（1），．（2）
【解析】
（1），．
令，即，则，，得，，
由于，令，得；令，得．
所以，在上的零点为，．
（2）由，则．所以，，
故在上的取值范围是．
18.（12分）
已知等差数列的前n项和为，，且．
（1）求；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1），（2）
【解析】（1）（1）由，得，
两式相减，得，所以，．
（2）由题，两边同乘以，有，
两式相减，得
．所以，．
19．（12分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）（2）的最大值为8
【解析】（1）由，根据正弦定理，有，
即有，则有，又，
所以，．
（2）（2）由（1），，则，又△ABC为锐角三角形，
所以，且，所以，于是．
则．
又，所以，的取值范围是．
20．（12分）
已知函数，且函数为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若方程有三个不同的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】（1），（2）
【解析】
（1）由题可知a≠0，所以函数的对称轴为，
由于是偶函数，所以，即关于x＝1对称，
所以，即．所以．
（2）方程有三个不同的实数根，即方程有三个不同实数根．
令，由（1）有，所以，令，则或．当时，；当时，；当时，．
故当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．
所以，当时，取得极大值；当时，取得极小值．
又由于，且当时，；当时，．
所以，方程有三个不同实数根时，m的范围是．
21．（12分）
已知函数在点处的切线与轴垂直．
（1）若a＝1，求的单调区间；
（2）若，成立，求的取值范围．
【答案】
（1）当时，，为增函数，当时，，为减函数.
（2）
【解析】
（1），由题，解得，由a＝1，得b=1.
因为的定义域为，所以，
故当时，，为增函数，当时，，为减函数，
（2）由（1）知b＝2－a，
所以.
（i）若，则由（1）知，即恒成立．
（ii）若，则且，
当时，，为增函数；当时，，为减函数，
，即恒成立．
（iii）若，则且，
故当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
由题只需即可，即，解得，
而由，且，得．
（iv）若，则，为增函数，且，
所以，，不合题意，舍去；
（v）若，则，在上都为增函数，且，
所以，，不合题意，舍去；
综上所述，a的取值范围是．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设，直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求．
【答案】（1），（2）
【解析】
（1）直线l的普通方程为．
由，得，则有，即，
则曲线C的直角坐标方程为．
（2）将l的参数方程代入，得，设其两根为，
则为M，N对应的参数，且，
所以，线段MN的中点为Q对应的参数为．
所以，．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知，且．
（1）求的最大值；
（2）证明：．
【答案】（1），（2）
【解析】（1）
．当且仅当取“＝”．
所以，的最大值为．
（2）
．
当且仅当取“＝”．··············································10分
