2020届全国大联考高三第四次联考数学（文）试题（解析版）
展开2020届全国大联考高三第四次联考数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别求解集合再求并集即可.
【详解】
因为,,所以.
故选：B
【点睛】
本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题.
2．若直线与圆相交所得弦长为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】A
【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.
【详解】
圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.
故选：A
【点睛】
本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.
3．抛物线的准线方程是，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可.
【详解】
因为准线方程为,所以抛物线方程为,所以,即.
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.
4．已知三棱柱的高为4，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱柱的体积为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】B
【解析】根据柱体的体积公式求解即可.
【详解】
三棱柱底面的面积为,故体积为.
故选：B
【点睛】
本题考查棱柱的体积公式.属于基础题.
5．已知，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据诱导公式化简再分析即可.
【详解】
因为,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分条件.
故选：B
【点睛】
本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.
6．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.
【详解】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.
故选：D
【点睛】
本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.
7．已知F是双曲线（k为常数）的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为（ ）
A．2k B．4k C．4 D．2
【答案】D
【解析】分析可得,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.
【详解】
当时,等式不是双曲线的方程；当时,,可化为,可得虚半轴长,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.
故选：D
【点睛】
本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.
8．关于函数在区间的单调性，下列叙述正确的是（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先递减后递增 D．先递增后递减
【答案】C
【解析】先用诱导公式得,再根据函数图像平移的方法求解即可.
【详解】
函数的图象可由向左平移个单位得到,如图所示,在上先递减后递增.
故选：C
【点睛】
本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.
9．在棱长为a的正方体中，E、F、M分别是AB、AD、的中点，又P、Q分别在线段、上，且，设平面平面，则下列结论中不成立的是（ ）
A．平面 B．
C．当时，平面 D．当m变化时，直线l的位置不变
【答案】C
【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可.
【详解】
因为,所以,因为E、F分别是AB、AD的中点,所以,所以,因为面面,所以.选项A、D显然成立；
因为,平面,所以平面,因为平面,所以,所以B项成立；
易知平面MEF,平面MPQ,而直线与不垂直,所以C项不成立.
故选：C
【点睛】
本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.
10．已知抛物线，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.
【详解】
由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.
由得,则.
又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.
故选：A
【点睛】
本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.
11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，的面积为，则（ ）
A．5 B． C．4 D．16
【答案】C
【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.
【详解】
中,,由正弦定理得,
又,
∴,又,∴,∴,又,
∴.∵,
∴,∵,∴由余弦定理可得,
∴,可得.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.
12．存在点在椭圆上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.
【详解】
因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,
由,解得,即,所以,
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.
二、填空题
13．若双曲线的两条渐近线斜率分别为，，若，则该双曲线的离心率为________.
【答案】2
【解析】由题得,再根据求解即可.
【详解】
双曲线的两条渐近线为,可令,,则,所以,解得.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.
14．如图，长方体中，，，E、F分别为CD、AB的中点，则异面直线与所成的角为________.
【答案】
【解析】连接、,可得即为异面直线与所成的角.再根据三角形中的关系分析即可.
【详解】
连接、EF,则易证四边形为平行四边形,所以,所以即为异面直线与所成的角.因为,,所以可求得,所以为等边三角形,则.
故答案为：
【点睛】
本题考查异面直线所成的角.需要根据题意构造三角形进行求解.属于基础题.
15．已知在等差数列中，，，前n项和为，则________.
【答案】39
【解析】设等差数列公差为d,首项为,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得即可.
【详解】
设等差数列公差为d,首项为,根据题意可得,解得,所以.
故答案为：39
【点睛】
本题考查等差数列的基本量计算以及前n项和的公式,属于基础题.
16．已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F与抛物线交于P、Q两点和椭圆交于A、B两点，M为抛物线准线上一动点，满足，，则直线AB的方程为________.
【答案】
【解析】根据,可得为正三角形且边长为4,进而求得直线的倾斜角,再求解方程.
【详解】
由椭圆,可知,,,∴,
在中,,,故为正三角形.
又,故
,
∵,,∴,,
∴直线AB的倾斜角为,将直线方程.
故答案为：
【点睛】
本题考查抛物线与椭圆综合运用,同时也考查直线方程的倾斜角与斜率点斜式等.属于中档题.
三、解答题
17．在数列和等比数列中，，，.
（1）求数列及的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1），（2）
【解析】(1)根据与可求得,再根据等比数列的基本量求解即可.
(2)由(1)可得,再利用错位相减求和即可.
【详解】
解：
（1）依题意,,
设数列的公比为q,由,可知,
由,得,又,则,
故,
又由,得.
（2）依题意.
,①
则,②
①-②得,
即,故.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.
18．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是边长为2的菱形，点E，F分别为棱DC，BC的中点，点G是棱SC靠近点C的四等分点.
求证：（1）直线平面EFG；
（2）直线平面SDB.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】(1) 连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,再证明即可.
(2)证明与即可.
【详解】
（1）连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,所以O为AC的中点,H为OC的中点,由E、F为DC、BC的中点,再由题意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直线平面EFG.
（2）在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因为侧面底面ABCD,由面面垂直的性质定理可知平面ABCD,所以,因为底面ABCD是菱形,所以,因为,所以平面SDB.
【点睛】
本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.
19．设抛物线过点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）F是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)代入计算即可.
(2) 设直线AB的方程为,再联立直线与抛物线的方程,消去可得的一元二次方程,再根据韦达定理与求解,进而利用弦长公式求解即可.
【详解】
解：
（1）因为抛物线过点,所以,所以,抛物线的方程为
（2）由题意知直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为,,.因为,所以,联立,化简得,所以,,所以,,解得,所以.
【点睛】
本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.
20．已知在四棱锥中，平面ABCD，，在四边形ABCD中，，，，E为PB的中点，连接DE，F为DE的中点，连接AF.
（1）求证：；
（2）求点D到平面AEC的距离.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1) 连接AE,证明与,进而证得面ADE即可证明.
(2)利用等体积法求解即可.
【详解】
解：
（1）连接AE,
在四边形ABCD中,,平面ABCD,
面ABCD,∴,,
∴面PAB,又∵面PAB,∴,
又∵在直角三角形PAB中,,E为PB的中点,∴,,
∴面ADE,面ADE,
∴.
（2）由,∴,,,
∴,∴,
设点D到平面AEC的距离为d,
∵,
∴,
∴.
【点睛】
本题主要考查了证明线面垂直与线线垂直的方法,同时也考查了等体积法求点到面的距离问题,属于中档题.
21．已知椭圆的左右焦点分别是，，离心率过点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为3.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l过椭圆E的右焦点，且与x轴不重合，交椭圆E于M，N两点，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)代入求解椭圆上的点的坐标,再根据线段长为3以及求解即可.
(2)分析直线l与x轴不垂直时,设l的方程为,联立直线与椭圆的方程,再根据弦长公式与斜率的范围求解即可.
【详解】
（1）由于,将代入椭圆方程,即,由题意知,即,又,所以,,所以椭圆E的方程为.
（2）当直线l与x轴不垂直时,设l的方程为,,.
由得,则,
,
所以,
所以.当直线l与x轴垂直时,.
综上所述,的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了椭圆方程的求解以及弦长公式的运用等,属于中档题.
22．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）讨论零点的个数.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可.
(2) ,有零点等价于方程实数根,再换元将原方程转化为,再求导分析的图像数形结合求解即可.
【详解】
（1）的定义域为,,当时,,所以在单调递减；当时,,所以在单调递增,所以的减区间为,增区间为.
（2）,有零点等价于方程实数根,令则原方程转化为,令,.令,,∴,,,,
,当时,,当时,.
如图可知
①当时,有唯一零点,即有唯一零点；
②当时,有两个零点,即有两个零点；
③当时,有唯一零点,即有唯一零点；
④时,此时无零点,即此时无零点.
【点睛】
本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.
