2020届全国大联考高三4月联考数学（文）试题（解析版）

2020届全国大联考高三4月联考数学（文）试题

一、单选题

1．不等式成立的充分不必要条件是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【解析】求解不等式的解集，其充分不必要条件即该解集的真子集即可.

【详解】

解，，

得，其充分不必要条件即该解集的真子集，

结合四个选项A符合题意.

故选：A

【点睛】

此题考查充分不必要条件的辨析，关键在于准确求解分式不等式，根据充分条件和必要条件的集合关系判定.

2．复数的共轭复数是，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据，写出其共轭复数，即可求解.

【详解】

由题，其共轭复数，

.

故选：C

【点睛】

此题考查共轭复数的概念和复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的乘法运算.

3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为、，则 

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.

【详解】

由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.故选.

【点睛】

本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.

4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则. D．若，，则.

【答案】C

【解析】A选项可能，B选项两条直线位置关系不能确定，C选项正确，D选项两个平面相交也能满足，.

【详解】

A选项，当可能，所以该选项不正确；

B选项，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，所以该选项不正确；

C选项，根据面面平行的性质，说法正确；

D选项，当两个平面相交，且平行于交线，也满足，，所以不能推出面面平行.

故选：C

【点睛】

此题考查空间点线面位置关系的辨析，根据已知条件判断线面平行，线线平行和面面平行，关键在于熟练掌握相关定理公理.

5．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一， 所得开立方除之，即立圆颈”.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求球的直径的公式：.若球的半径为，根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据半径为1可得直径为2，代入公式，解方程即可得解.

【详解】

球的半径为，则直径为2，

根据公式，，

所以.

故选：D

【点睛】

此题以中国优秀传统文化为背景，实际考查球的体积公式辨析，根据题目所给条件，建立等量关系解方程.

6．如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是 

A．？ B．？ C．？ D．？

【答案】C

【解析】【详解】

执行循环得

结束循环，输出，所以判断框内应填入的条件是，选B.

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

7．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.

【详解】

解：因为，

，

所以，，的大小关系为.

故选：D.

【点睛】

本题考查三个数的大小比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，属于基础题.

8．下列各图都是正方体的表面展开图，将其还原成正方体后，所得正方体完全一致（数码相对位置相同）的是（   ）

A．（Ⅰ）和（Ⅳ） B．（Ⅰ）和（Ⅲ） C．（Ⅱ）和（Ⅲ） D．（Ⅱ）和（Ⅳ）

【答案】B

【解析】分别判断出还原成正方体后，相对面的标号，可得答案．

【详解】

（Ⅰ）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；

（Ⅱ）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；

（Ⅲ）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；

（Ⅳ）图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；

综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是（Ⅰ）和（Ⅲ）

故选：B．

【点睛】

本题考查的知识点是正方体的几何特征，正方体的表面展开图，难度中档．

9．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）

矩形的面积S=x（12-x）＞20

∴x2-12x+20＜0

∴2＜x＜10

由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率

【考点】几何概型

10．双曲线：的左、右焦点分别为，过作一条直线与两条渐近线分别相交于两点，若，，则双曲线的离心率为（  ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【解析】【详解】

如图所示，连接，又由，且为的中点，

所以，

因为，即，所以A为线段的中点，

又由于为的中点，所以，所以，所以，

又由直线OA与OB是双曲线的两条渐近线，则，

所以，则，

所以双曲线的离心率为，故选C.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答本题的关键在于将问题的几何要素进行合理转化，得到的关系式，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.

11．已知直线分别与函数和的图象交于两点，则两点间的最小距离为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意得到PQ两点间的距离即两点的纵坐标的差值，，通过换元，借助均值不等式求得最值.

【详解】

根据题意得到PQ两点间的距离即两点的纵坐标的差值，

设t+1=u,t=u-1>0,原式等于根据均值不等式得到当且仅当u=1，t=0是取得最值.

故答案为：D.

【点睛】

在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

12．定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可.

【详解】

结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故

可以转换为

对应于恒成立,即

即对恒成立

即对恒成立

令,则上递增,在上递减,

所以

令,在上递减

所以.故,故选B.

【点睛】

本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.

二、填空题

13．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号号，并分组，第一组号，第二组号，，第十组号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为______ 的学生．

【答案】37

【解析】系统抽样时，各组抽得的号码是公差为5的等差数列，故可求第八组抽得的号码．

【详解】

设第组的号码记为，依据系统抽样，则有是公差为5的等差数列．

又，故，故填．

【点睛】

本题考察系统抽样，为基础题，注意系统抽样是均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）．

14．某公司计划在年春季校园双选招聘会招收名女性，名男性，若满足约束条件，则该公司计划在本次校招所招收人数的最大值为__________.

【答案】

【解析】根据题意，作出可行域，转化为线性规划问题，求x+y的最大值.

【详解】

由题满足约束条件，

该公司计划在本次校招所招收人数为，

作出可行域如图阴影部分，满足题意的点即可行域内横纵坐标均为整数的点.

其中，，当直线经过C点时取得最大，

即，此时女生6名，男生7名.

故答案为：13

【点睛】

此题考查线性规划问题的实际应用，关键在于准确作出可行域，根据目标函数平移直线求出最值取得的条件，注意考虑横纵坐标取整数.

15．已知是定义在上的偶函数，对任意都有且，则的值为__________.

【答案】

【解析】根据题意，结合周期性和奇偶性可得.

【详解】

由题是定义在上的偶函数，，

所以

【点睛】

此题考查函数奇偶性和周期性的综合应用，根据奇偶性和周期性求函数的值，关键在于熟练掌握性质的应用.

16．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若=__________.

【答案】

【解析】设，根据，所以得，设直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理求解.

【详解】

由题意得，

则，所以

设直线的方程为，

设

且

因为，所以

则

由，整理得

所以

解得，

即直线的方程为

又，整理得

解得或，故

所以根据抛物线的定义可知，

所以

【点睛】

此题考查直线与抛物线的位置关系，涉及焦半径公式，根据抛物线的几何意义，结合韦达定理的应用求解长度关系.

三、解答题

17．在中，角，的对边分别为，且

（1）求角的值

（2）若，求的值

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用正弦定理原式化为，即可得解；

（2）根据面积公式得，结合余弦定理变形即可求解.

【详解】

（1）在中，

结合正弦定理得

又，

又

【点睛】

此题考查利用正余弦定理解三角形，涉及三角形面积公式的应用，关键在于熟练掌握定理公式及其变形的应用.

18．汽车尾气中含有一氧化碳（），碳氢化合物（）等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废.某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表：

（1）若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为，问是否有的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？

（2）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中浓度的数据，并制成如图所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中浓度与使用年限线性相关，试确定关于的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的浓度是使用4年的多少倍.

附：（）

参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，.

【答案】(1) 有的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”. (2) .4.2倍.

【解析】（1）根据题意计算的值，再利用，计算出，对照临界值得出结论，

（2）由公式计算出和，从而得到关于的回归方程，把，代入回归方程中，可预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的浓度，从而可得答案。

【详解】

解：（1）设“从100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件，

由已知得，所以，，，.

的观测值，

故有的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”.

（2）由折线图中所给数据计算，得，，

故，，所以所求回归方程为.

故预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的浓度为，因为使用4年排放尾气中的浓度为，所以预测该型号汽车使用12年排放尾气中的浓度是使用4年的4.2倍.

【点睛】

本题考查列联表与独立性检验的应用，以及线性回归方程的求法，解题的关键是熟练掌握公式，考查学生基本的计算能力，属于中档题。

19．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知 .

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若为的中点，求三菱锥的体积.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（1）证明：连接交于点

又是菱形   

而   ⊥面  ⊥

 (2)  由（1）⊥面

=

（1）证明线线垂直，需要线面垂直证起；（2）的面积是 的面积的2倍，是点到面的高，求出面积和高，即能求出最终的体积.

【考点定位】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，.三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力.

20．设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点，的最大值为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角(其中为坐标原点)，求直线的斜率的取值范围.

【答案】（1）;（2）.

【解析】（1）由标准方程可得，，设，则可得，结合有最大值1，得，解得，从而可得结果；（2）设，，由得，根据平面向量数量积公式结合为锐角，利用韦达定理可得，从而可得结果.

【详解】

（1）易知，，

所以，，设，则

，

因为，故当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1，即

，解得

故所求的椭圆方程为.

（2）设，，由得

，

故，.

又为锐角，

∴

又

∴

，

∴，解得∴的取值范围是.

【点睛】

点睛：求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，可列出相应的不等式组，再通过解不等式确定参数范围;②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.

21．设，函数，函数.

（1）当时，求函数的零点个数；

（2）若函数与函数的图象分别位于直线的两侧，求的取值集合；

（3）对于，，求的最小值.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】（1）当n=1时，f（x）=，f′（x）=（x＞0），确定函数的单调性，即可求函数y=f（x）的零点个数；

（2）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象分别位于直线y=1的两侧，∀n∈N，函数f（x）有最大值f（）=＜1，即f（x）在直线l：y=1的上方，可得g（n）=＞1求n的取值集合A；

（3）∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣g（x2）|的最小值等价于，发布网球场相应的函数值，比较大小，即可求|f（x1）﹣g（x2）|的最小值．

【详解】

（1）当时，，.

由得；由得.

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

因为，，

所以函数在上存在一个零点；

当时，恒成立，

所以函数在上不存在零点.

综上得函数在上存在唯一一个零点.

（2）由函数求导，得，

由，得；由，得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

则当时，函数有最大值；

由函数求导，得，

由得；由得.

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

则当时，函数有最小值；

因为，函数的最大值，

即函数在直线的下方，

故函数在直线：的上方，

所以，解得.

所以的取值集合为.

（3）对，的最小值等价于，

当时，；

当时，；

因为，

所以的最小值为.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度  从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

判断直线与圆的交点个数；

若圆与直线交于，两点，求线段的长度．

【答案】

【解析】（1）先求出直线的普通方程，再求出圆的直角坐标方程，由于圆心在直线上，

所以直线与圆的交点个数为．（2）直接求圆的半径和直径得解.

【详解】

∵直线的参数方程为（为参数）．

∴消去参数得直线的普通方程为，

∵圆的极坐标方程为，即，

∴由，，得圆的直角坐标方程为．

∵圆心在直线上，

∴直线与圆的交点个数为．

由知圆心在直线上，

∴为圆的直径，

∵圆的直角坐标方程为．

∴圆的半径，∴圆的直径为，∴．

【点睛】

(1)本题主要考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式求解.但是本题由于圆心在直线上，所以弦长就是直径.

23．已知函数.

（1）解关于的不等式；

（2）记函数的最大值为，若，求的最小值.

【答案】（1）（2）4

【解析】分析：（1）通过讨论x的范围，解不等式，求出不等式的解集即可；

（2）根据a＞0，b＞0，得到a+4b≥2=4，有（+1）（﹣2）≥0．解出即可．

详解：解：(1)当时，由，得，

所以；

当时，由 ，得，

所以；

当时，由 ，得，无解.

综上可知，，即不等式的解集为.

(2)因为，

所以函数 的最大值.

因为，所以.

又，

所以，

所以，即.

所以有.

又，所以，即的最小值为4.

点睛：|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法，

零点分区间法的一般步骤

①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；

②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；

③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；

④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．