

2020_2021学年高中数学课时分层作业2集合的表示新人教A版必修3 练习
展开课时分层作业(二) 集合的表示
(建议用时:60分钟)
一、选择题
1.已知集合A={x∈N|x<6},则下列关系式不成立的是( )
A.0∈A B.1.5∉A
C.-1∉A D.6∈A
D [∵A={x∈N|x<6}={0,1,2,3,4,5},
∴6∉A,故选D.]
2.把集合{x|x2-3x+2=0}用列举法表示为( )
A.{x=1,x=2} B.{x|x=1,x=2}
C.{x2-3x+2=0} D.{1,2}
D [解方程x2-3x+2=0得x=1或x=2,所以集合{x|x2-3x+2=0}用列举法可表示为{1,2}.]
3.下列四个集合中,不同于另外三个的是( )
A.{y|y=2} B.{x=2}
C.{2} D.{x|x2-4x+4=0}
B [{x=2}表示的是由一个等式组成的集合.]
4.集合{-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}用描述法可表示为( )
A.{-1≤x≤8} B.{x|-1≤x≤8}
C.{x∈Z|-1≤x≤8} D.{x∈N|-1≤x≤8}
C [观察可知集合中的元素是从-1到8的连续整数,所以可以表示为{x∈Z|-1≤x≤8},故选C.]
5.下列集合的表示方法正确的是( )
A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}
B.不等式x-1<4的解集为{x<5}
C.{全体整数}
D.实数集可表示为R
D [选项A中应是xy<0;选项B的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x;选项C的“{}”与“全体”意思重复.]
二、填空题
6.能被2整除的正整数的集合,用描述法可表示为________.
{x|x=2n,n∈N*} [正整数中所有的偶数均能被2整除.]
7.设集合A={1,-2,a2-1},B={1,a2-3a,0},若A,B相等,则实数a=________.
1 [由集合相等的概念得
解得a=1.]
8.设-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2+ax+3=0}=________.
{1,3} [由题意知,-5是方程x2-ax-5=0的一个根,
所以(-5)2+5a-5=0,得a=-4,
则方程x2+ax+3=0,即x2-4x+3=0,
解得x=1或x=3,所以{x|x2-4x+3=0}={1,3}.]
三、解答题
9.选择适当的方法表示下列集合.
(1)由方程x(x2-2x-3)=0的所有实数根组成的集合;
(2)大于2且小于6的有理数;
(3)由直线y=-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.
[解] (1)方程的实数根为-1,0,3,故可以用列举法表示为{-1,0,3},当然也可以用描述法表示为{x|x(x2-2x-3)=0}.
(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个,故不能用列举法表示该集合,但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2<x<6}.
(3)用描述法表示该集合为
M={(x,y)|y=-x+4,x∈N,y∈N};
或用列举法表示该集合为
{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}.
10.已知集合A=,
(1)用列举法表示集合A;
(2)求集合A的所有元素之和.
[解] (1)由∈Z,得3-x=±1,±2,±4.
解得x=-1,1,2,4,5,7.
又∵x∈Z,∴A={-1,1,2,4,5,7}.
(2)由(1)得集合A中的所有元素之和为-1+1+2+4+5+7=18.
1.设集合A={x|x=2k+1,k∈Z},若a=5,则有( )
A.a∈A B.-a∉A
C.{a}∈A D.{a}∉A
A [由题意,当k=2时,x=5,所以a∈A.当k=-3时,x=-5,所以-a∈A.故选A.]
2.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素的个数为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
B [当a=1,b=4时,x=5;当a=1,b=5时,x=6;当a=2,b=4时,x=6;当a=2,b=5时,x=7;当a=3,b=4时,x=7;当a=3,b=5时,x=8.由集合元素的互异性知M中共有4个元素.]
3.有下面六种表示方法
①{x=-1,y=2};②(x,y);③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)};⑥{x,y|x=-1或y=2}.
其中,能正确表示方程组的解集的是________(填序号).
②⑤ [
序号 | 判断 | 原因分析 |
① | 否 | ①中含两个元素,且都是方程,而方程组的解集中只有一个元素,是一个点 |
② | 能 | ②代表元素是点的形式,且对应值与方程组解相同 |
③ | 否 | ③中含两个元素,是数集,而方程组的解集是点集,且只有一个元素 |
④ | 否 | ④没有用花括号“{ }”括起来,不表示集合 |
⑤ | 能 | ⑤中只含有一个元素,是点集且与方程组解对应相等 |
⑥ | 否 | ⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符,须加小括号( ),条件中“或”也要改为“且” |
]
4.已知集合A={a-2,2a2+5a,10},若-3∈A,则a=________.
- [因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3,当a-2=-3时,a=-1,
此时2a2+5a=-3,与元素的互异性不符,所以a≠-1.
当2a2+5a=-3时,即2a2+5a+3=0,
解得a=-1或a=-.显然a=-1不合题意.
当a=-时,a-2=-,满足互异性.
综上,a=-.]
5.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}.
(1)若集合A中只有一个元素,求实数a的值;
(2)若集合A中至少有一个元素,求实数a的取值范围;
(3)若集合A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.
[解] (1)当a=0时,原方程可化为-3x+2=0,得x=,符合题意.当a≠0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程,由题意得,Δ=9-8a=0,得a=.所以当a=0或a=时,集合A中只有一个元素.
(2)由题意得,当
即a<且a≠0时方程有两个实根,
又由(1)知,当a=0或a=时方程有一个实根.所以a的取值范围是a≤.
(3)由(1)知,当a=0或a=时,集合A中只有一个元素.
当集合A中没有元素,即A=∅时,
由题意得解得a>.
综上得,当a≥或a=0时,集合A中至多有一个元素.