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北师大版八年级下册第六章 平行四边形综合与测试课时训练
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这是一份北师大版八年级下册第六章 平行四边形综合与测试课时训练，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（ ）
A．BO=OHB．DF=CEC．DH=CGD．AB=AE
2．如图，在▱ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（ ）
A． B．2 C．2 D．4
3．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的个数是（ ）
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A．2B．3C．4D．5
4．如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（ ）
A．BD＜2 B．BD=2
C．BD＞2 D．以上情况均有可能
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（ ）
A．6B．4C．7D．12
6．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（ ）
A．4，3B．3，3C．3，4D．4，4
7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
8．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行
D．对角线互相平分
9．如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
10．如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确（ ）
A．∠1=∠2＞∠3B．∠1=∠3＞∠2C．∠2＞∠1=∠3D．∠3＞∠1=∠2
11．如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接AC．若EF=2，FG=GC=5，则AC的长是（ ）
A．12B．13C．D．
二、填空题
12．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A= ．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为 ．
14．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连线DE．若DE=3，则线段BC的长等于 ．
15．如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为 ．
三、解答题
16．如图，延长▱ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，使BE=BA，分别连结点A、E和C、F．求证：AE=CF．
17．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC,
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
18．△ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG．
19． (1)解不等式组：
(2)如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G．求∠G的度数．
20．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．
(1)求证：四边形DBFC是平行四边形；
(2)如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的两点，∠1=∠2．
(1)求证：DE=BF；
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
22．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
答案与解析
1．如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（ ）
A．BO=OHB．DF=CEC．DH=CGD．AB=AE
【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】选择题
【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质一一判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AH∥BG，AD=BC，
∴∠H=∠HBG，
∵∠HBG=∠HBA，
∴∠H=∠HBA，
∴AH=AB，同理可证BG=AB，
∴AH=BG，∵AD=BC，
∴DH=CG，故③正确，
∵AH=AB，∠OAH=∠OAB，
∴OH=OB，故①正确，
∵DF∥AB，
∴∠DFH=∠ABH，
∵∠H=∠ABH，
∴∠H=∠DFH，
∴DF=DH，同理可证EC=CG，
∵DH=CG，
∴DF=CE，故②正确，
无法证明AE=AB，
故选D．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．如图，在▱ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（ ）
A．B．2C．2D．4
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】选择题
【分析】证出△ACD是等腰直角三角形，由勾股定理求出AD，即可得出BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，BC=AD，∠D=∠ABC=∠CAD=45°，
∴AC=CD=2，∠ACD=90°，
即△ACD是等腰直角三角形，
∴BC=AD==2；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ACD是等腰直角三角形是解决问题的关键．
3．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的个数是（ ）
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A．2B．3C．4D．5
【考点】L6：平行四边形的判定；J9：平行线的判定；P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【专题】选择题
【分析】根据六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，平行线的判定，平行四边形的判定，中心对称图形的定义一一判断即可．
【解答】解：∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴∠EFA=∠FED=∠FAB=∠ABC=120°，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAF=60°，
∴∠EFA+∠DAF=180°，∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥EF∥CB，故②正确，
∴∠FED+∠EDA=180°，
∴∠EDA=∠ADC=60°，
∴∠EDA=∠DAB，
∴AB∥DE，故①正确，
∵∠FAD=∠EDA，∠CDA=∠BAD，EF∥AD∥BC，
∴四边形EFAD，四边形BCDA是等腰梯形，
∴AF=DE，AB=CD，
∵AB=DE，
∴AF=CD，故③正确，
连接CF与AD交于点O，连接DF、AC、AE、DB、BE．
∵∠CDA=∠DAF，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形AFDC是平行四边形，故④正确，
同法可证四边形AEDB是平行四边形，
∴AD与CF，AD与BE互相平分，
∴OF=OC，OE=OB，OA=OD，
∴六边形ABCDEF既是中心对称图形，故⑤正确，
故选D．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的判定和性质、轴对称图形、中心对称图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（ ）
A．BD＜2B．BD=2
C．BD＞2D．以上情况均有可能
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质．
【专题】选择题
【分析】先根据等腰三角形的底角相等，得出∠AED+∠CDE=180°，判定AE∥CD，再根据一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，得出△ABC是等边三角形．
【解答】证明：∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，同理∠CBD=∠CDB
∵∠ABC=2∠DBE，
∴∠ABE+∠CBD=∠DBE，
∵∠ABE=∠AEB，∠CBD=∠CDB，
∴∠AEB+∠CDB=∠DBE，
∴∠AED+∠CDE=180°，
∴AE∥CD，
∵AE=CD，
∴四边形AEDC为平行四边形．
∴DE=AC=AB=BC．
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=CD=1，
在△BCD中，∵BD＜BC+CD，
∴BD＜2,
故选A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理．解题时注意，同旁内角互补，两直线平行．
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（ ）
A．6B．4C．7D．12
【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．
【专题】选择题
【分析】先根据直角三角形的性质求出CD的长，再由三角形中位线定理即可得出结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，
∴CD=AB=4.5,
∵CF=CD，
∴DF=CD=×4.5=3,
∵BE∥DC，
∴DF是△ABE的中位线，
∴BE=2DF=6,
故选A．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
6．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（ ）
A．4，3B．3，3C．3，4D．4，4
【考点】L2：多边形的对角线．
【专题】选择题
【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．
【解答】解：对角线的数量=6﹣3=3条；
分成的三角形的数量为n﹣2=4个．
故选C．
【点评】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．
7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】选择题
【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得
（n﹣2）•180°=360°×2
解得n=6,
则这个多边形是六边形．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，多边形的内角和为（n﹣2）•180°．
8．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行
D．对角线互相平分
【考点】L6：平行四边形的判定．
【专题】选择题
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，B、D、C均符合是平行四边形的条件，A则不能判定是平行四边形．
故选A．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
9．如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
【考点】KX：三角形中位线定理；K3：三角形的面积．
【专题】选择题
【分析】根据中线的性质，可得△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，△AEG的面积=，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积=×△BCE的面积=，进而得到△AFG的面积．
【解答】解：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CF是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，
∴△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，
同理可得△AEG的面积=，
△BCE的面积=×△ABC的面积=6，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积=×△BCE的面积=，
∴△AFG的面积是×3=，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
10．如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确（ ）
A．∠1=∠2＞∠3B．∠1=∠3＞∠2C．∠2＞∠1=∠3D．∠3＞∠1=∠2
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】选择题
【分析】根据多边形的内角和与外角和即可判断．
【解答】解：∵（180°﹣∠1）+∠2=360°﹣90°﹣90°=180°
∴∠1=∠2
∵（180°﹣∠2）+∠3=360°﹣85°﹣90°=185°
∴∠3﹣∠2=5°，
∴∠3＞∠2
∴∠3＞∠1=∠2
故选D
【点评】本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练运用多边形的内角和与外角和，本题属于基础题型．
11．如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接AC．若EF=2，FG=GC=5，则AC的长是（ ）
A．12B．13C．D．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】选择题
【分析】如图，设AC与DF交于M，AC与EH交于N．易证四边形EFGH是矩形，△ABE≌△CDG，△AEN≌△CGM，推出FG=EH=CG=5，EF=GH=2，CH=7，EN=GM，CM=AN，由EH=FG，推出FM=NH，设GM=EN=x，则HN=FN=5﹣x，由GM∥HN，可得=，可得=，推出x=，在Rt△CMG中，可得CM=AN==，在Rt△CNH中，求出CN即可解决问题．
【解答】解：如图，设AC与DF交于M，AC与EH交于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，
∴易证四边形EFGH是矩形，△ABE≌△CDG，△AEN≌△CGM，
∴FG=EH=CG=5，EF=GH=2，CH=7，EN=GM，CM=AN，
∵EH=FG，
∴FM=NH，设GM=EN=x，则HN=FN=5﹣x，
∵GM∥HN，
∴=，
∴=，
∴x=，
在Rt△CMG中，CM=AN==，
在Rt△CNH中，CN==，
∴AC=AN+CN=+=13，
故选B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，本题的综合性比较强，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
12．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A= ．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】填空题
【分析】利用平行四边形的对角相等、邻角互补可求得答案．
【解答】解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°，
∵∠B+∠D=200°，
∴∠B=∠D=100°，
∴∠A=180°﹣∠B=180°﹣100°=80°，
故答案为：80°．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等、邻角互补是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为 ．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】填空题
【分析】由于AF∥BC，从而易证△AEF≌△DEC（AAS），所以AF=CD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，所以S四边形AFBD=2S△ABD，又因为BD=DC，所以S△ABC=2S△ABD，所以S四边形AFBD=S△ABC，从而求出答案．
【解答】解：∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠FCD，
在△AEF与△DEC中，
∴△AEF≌△DEC（AAS）．
∴AF=DC，
∵BD=DC，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S四边形AFBD=2S△ABD，
又∵BD=DC，
∴S△ABC=2S△ABD，
∴S四边形AFBD=S△ABC，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
∴S△ABC=AB•AC=×4×6=12，
∴S四边形AFBD=12,
故答案为：12
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高．
14．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连线DE．若DE=3，则线段BC的长等于 ．
【考点】KX：三角形中位线定理．
【专题】填空题
【分析】直接根据三角形的中位线定理即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∵DE=3，
∴BC=2DE=6,
故答案为：6．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
15．如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为 ．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】填空题
【分析】首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠E=∠EDC=120°，
∵EF=DE，
∴∠EDF=∠EFD=30°，
∴∠FDC=90°，
故答案为：90°
【点评】此题考查了正多边形和圆．等腰三角形的性质，此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
16．如图，延长▱ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，使BE=BA，分别连结点A、E和C、F．求证：AE=CF．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】解答题
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，再证出BE=DF，得出AF=EC，进而可得四边形AECF是平行四边形，从而可得AE=CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵DF=DC，BE=BA，
∴BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
17．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC,
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【考点】L6：平行四边形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】 (1)由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
(2)连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
【解答】证明： (1)∵BE=FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，，
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
(2)解：连接AF、BD，如图所示：
由 (1)知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
18．△ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG．
【考点】KX：三角形中位线定理．
【专题】解答题
【分析】利用三角形中线的性质、中位线的定义和性质证得四边形EFGD的对边DE∥GF，且DE=GF=BC；然后由平行四边形的判定﹣﹣对边平行且相等的四边形是平行四边形，继而证得结论．
【解答】证明：
连接DE，FG，
∵BD、CE是△ABC的中线，
∴D，E是AB，AC边中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
同理：FG∥BC，FG=BC，
∴DE∥FG，DE=FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EF∥DG，EF=DG．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定．平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
19． (1)解不等式组：
(2)如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G．求∠G的度数．
【考点】L3：多边形内角与外角；CB：解一元一次不等式组；JA：平行线的性质．
【专题】解答题
【分析】 (1)根据不等式的解法即可得到结论；
(2)根据五边形ABCDE是正五边形，得到∠DCB=∠EDC=108°，DC=BC根据等腰三角形的性质得到∠CDB=36°，求得∠GDB=72°，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解： (1)，
解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x＜﹣1，
不等式组的解集为x＜﹣1；
(2)∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠DCB=∠EDC=108°，DC=BC，
∴∠CDB=36°，
∴∠GDB=72°，
∵AF∥CD，
∴∠CDB=∠F=36°，
∴∠G=72°．
【点评】本题考查了不等式的解法，多边形的内角和外角，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
20．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．
(1)求证：四边形DBFC是平行四边形；
(2)如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KF：角平分线的性质．
【专题】解答题
【分析】 (1)由这一点就证出BD∥CF，CD∥BF，即可得出四边形DBFC是平行四边形；
(2)由平行四边形的性质得出CF=BD=2，由等腰三角形的性质得出AE=CE，作CM⊥BF于F，则CE=CM，证出△CFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出CM=CF=，得出AE=CE=，即可得出AC的长．
【解答】 (1)证明：∵AC⊥BD，∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．
∴BD∥CF，CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
(2)解：∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF=BD=2，
∵AB=BC，AC⊥BD，
∴AE=CE，
作CM⊥BF于F，
∵BC平分∠DBF，
∴CE=CM，
∵∠F=45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM=CF=，
∴AE=CE=，
∴AC=2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的两点，∠1=∠2．
(1)求证：DE=BF；
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】 (1)通过全等三角形△CDE≌△ABF的对应边相等证得DE=BF；
(2)根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
【解答】 (1)证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠3=∠4，∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，∠1=∠2
∴∠5=∠6
在△CDE与△ABF中，
，
∴△CDE≌△ABF（ASA），
∴DE=BF；
(2)证明：∵∠1=∠2，
∴CE∥AF．
又∵由 (1)知，△CDE≌△ABF，
∴CE═AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
22．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】 (1)由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；
(2)由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．
【解答】 (1)证明：∵∠A=∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
(2)解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=DE=2．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
一、选择题
1．如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（ ）
A．BO=OHB．DF=CEC．DH=CGD．AB=AE
2．如图，在▱ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（ ）
A． B．2 C．2 D．4
3．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的个数是（ ）
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A．2B．3C．4D．5
4．如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（ ）
A．BD＜2 B．BD=2
C．BD＞2 D．以上情况均有可能
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（ ）
A．6B．4C．7D．12
6．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（ ）
A．4，3B．3，3C．3，4D．4，4
7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
8．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行
D．对角线互相平分
9．如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
10．如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确（ ）
A．∠1=∠2＞∠3B．∠1=∠3＞∠2C．∠2＞∠1=∠3D．∠3＞∠1=∠2
11．如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接AC．若EF=2，FG=GC=5，则AC的长是（ ）
A．12B．13C．D．
二、填空题
12．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A= ．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为 ．
14．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连线DE．若DE=3，则线段BC的长等于 ．
15．如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为 ．
三、解答题
16．如图，延长▱ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，使BE=BA，分别连结点A、E和C、F．求证：AE=CF．
17．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC,
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
18．△ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG．
19． (1)解不等式组：
(2)如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G．求∠G的度数．
20．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．
(1)求证：四边形DBFC是平行四边形；
(2)如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的两点，∠1=∠2．
(1)求证：DE=BF；
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
22．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
答案与解析
1．如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（ ）
A．BO=OHB．DF=CEC．DH=CGD．AB=AE
【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】选择题
【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质一一判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AH∥BG，AD=BC，
∴∠H=∠HBG，
∵∠HBG=∠HBA，
∴∠H=∠HBA，
∴AH=AB，同理可证BG=AB，
∴AH=BG，∵AD=BC，
∴DH=CG，故③正确，
∵AH=AB，∠OAH=∠OAB，
∴OH=OB，故①正确，
∵DF∥AB，
∴∠DFH=∠ABH，
∵∠H=∠ABH，
∴∠H=∠DFH，
∴DF=DH，同理可证EC=CG，
∵DH=CG，
∴DF=CE，故②正确，
无法证明AE=AB，
故选D．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．如图，在▱ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（ ）
A．B．2C．2D．4
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】选择题
【分析】证出△ACD是等腰直角三角形，由勾股定理求出AD，即可得出BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，BC=AD，∠D=∠ABC=∠CAD=45°，
∴AC=CD=2，∠ACD=90°，
即△ACD是等腰直角三角形，
∴BC=AD==2；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ACD是等腰直角三角形是解决问题的关键．
3．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的个数是（ ）
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A．2B．3C．4D．5
【考点】L6：平行四边形的判定；J9：平行线的判定；P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【专题】选择题
【分析】根据六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，平行线的判定，平行四边形的判定，中心对称图形的定义一一判断即可．
【解答】解：∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴∠EFA=∠FED=∠FAB=∠ABC=120°，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAF=60°，
∴∠EFA+∠DAF=180°，∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥EF∥CB，故②正确，
∴∠FED+∠EDA=180°，
∴∠EDA=∠ADC=60°，
∴∠EDA=∠DAB，
∴AB∥DE，故①正确，
∵∠FAD=∠EDA，∠CDA=∠BAD，EF∥AD∥BC，
∴四边形EFAD，四边形BCDA是等腰梯形，
∴AF=DE，AB=CD，
∵AB=DE，
∴AF=CD，故③正确，
连接CF与AD交于点O，连接DF、AC、AE、DB、BE．
∵∠CDA=∠DAF，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形AFDC是平行四边形，故④正确，
同法可证四边形AEDB是平行四边形，
∴AD与CF，AD与BE互相平分，
∴OF=OC，OE=OB，OA=OD，
∴六边形ABCDEF既是中心对称图形，故⑤正确，
故选D．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的判定和性质、轴对称图形、中心对称图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（ ）
A．BD＜2B．BD=2
C．BD＞2D．以上情况均有可能
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质．
【专题】选择题
【分析】先根据等腰三角形的底角相等，得出∠AED+∠CDE=180°，判定AE∥CD，再根据一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，得出△ABC是等边三角形．
【解答】证明：∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，同理∠CBD=∠CDB
∵∠ABC=2∠DBE，
∴∠ABE+∠CBD=∠DBE，
∵∠ABE=∠AEB，∠CBD=∠CDB，
∴∠AEB+∠CDB=∠DBE，
∴∠AED+∠CDE=180°，
∴AE∥CD，
∵AE=CD，
∴四边形AEDC为平行四边形．
∴DE=AC=AB=BC．
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=CD=1，
在△BCD中，∵BD＜BC+CD，
∴BD＜2,
故选A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理．解题时注意，同旁内角互补，两直线平行．
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（ ）
A．6B．4C．7D．12
【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．
【专题】选择题
【分析】先根据直角三角形的性质求出CD的长，再由三角形中位线定理即可得出结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，
∴CD=AB=4.5,
∵CF=CD，
∴DF=CD=×4.5=3,
∵BE∥DC，
∴DF是△ABE的中位线，
∴BE=2DF=6,
故选A．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
6．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（ ）
A．4，3B．3，3C．3，4D．4，4
【考点】L2：多边形的对角线．
【专题】选择题
【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．
【解答】解：对角线的数量=6﹣3=3条；
分成的三角形的数量为n﹣2=4个．
故选C．
【点评】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．
7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】选择题
【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得
（n﹣2）•180°=360°×2
解得n=6,
则这个多边形是六边形．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，多边形的内角和为（n﹣2）•180°．
8．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行
D．对角线互相平分
【考点】L6：平行四边形的判定．
【专题】选择题
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，B、D、C均符合是平行四边形的条件，A则不能判定是平行四边形．
故选A．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
9．如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
【考点】KX：三角形中位线定理；K3：三角形的面积．
【专题】选择题
【分析】根据中线的性质，可得△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，△AEG的面积=，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积=×△BCE的面积=，进而得到△AFG的面积．
【解答】解：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CF是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，
∴△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，
同理可得△AEG的面积=，
△BCE的面积=×△ABC的面积=6，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积=×△BCE的面积=，
∴△AFG的面积是×3=，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
10．如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确（ ）
A．∠1=∠2＞∠3B．∠1=∠3＞∠2C．∠2＞∠1=∠3D．∠3＞∠1=∠2
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】选择题
【分析】根据多边形的内角和与外角和即可判断．
【解答】解：∵（180°﹣∠1）+∠2=360°﹣90°﹣90°=180°
∴∠1=∠2
∵（180°﹣∠2）+∠3=360°﹣85°﹣90°=185°
∴∠3﹣∠2=5°，
∴∠3＞∠2
∴∠3＞∠1=∠2
故选D
【点评】本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练运用多边形的内角和与外角和，本题属于基础题型．
11．如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接AC．若EF=2，FG=GC=5，则AC的长是（ ）
A．12B．13C．D．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】选择题
【分析】如图，设AC与DF交于M，AC与EH交于N．易证四边形EFGH是矩形，△ABE≌△CDG，△AEN≌△CGM，推出FG=EH=CG=5，EF=GH=2，CH=7，EN=GM，CM=AN，由EH=FG，推出FM=NH，设GM=EN=x，则HN=FN=5﹣x，由GM∥HN，可得=，可得=，推出x=，在Rt△CMG中，可得CM=AN==，在Rt△CNH中，求出CN即可解决问题．
【解答】解：如图，设AC与DF交于M，AC与EH交于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，
∴易证四边形EFGH是矩形，△ABE≌△CDG，△AEN≌△CGM，
∴FG=EH=CG=5，EF=GH=2，CH=7，EN=GM，CM=AN，
∵EH=FG，
∴FM=NH，设GM=EN=x，则HN=FN=5﹣x，
∵GM∥HN，
∴=，
∴=，
∴x=，
在Rt△CMG中，CM=AN==，
在Rt△CNH中，CN==，
∴AC=AN+CN=+=13，
故选B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，本题的综合性比较强，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
12．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A= ．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】填空题
【分析】利用平行四边形的对角相等、邻角互补可求得答案．
【解答】解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°，
∵∠B+∠D=200°，
∴∠B=∠D=100°，
∴∠A=180°﹣∠B=180°﹣100°=80°，
故答案为：80°．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等、邻角互补是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为 ．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】填空题
【分析】由于AF∥BC，从而易证△AEF≌△DEC（AAS），所以AF=CD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，所以S四边形AFBD=2S△ABD，又因为BD=DC，所以S△ABC=2S△ABD，所以S四边形AFBD=S△ABC，从而求出答案．
【解答】解：∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠FCD，
在△AEF与△DEC中，
∴△AEF≌△DEC（AAS）．
∴AF=DC，
∵BD=DC，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S四边形AFBD=2S△ABD，
又∵BD=DC，
∴S△ABC=2S△ABD，
∴S四边形AFBD=S△ABC，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
∴S△ABC=AB•AC=×4×6=12，
∴S四边形AFBD=12,
故答案为：12
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高．
14．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连线DE．若DE=3，则线段BC的长等于 ．
【考点】KX：三角形中位线定理．
【专题】填空题
【分析】直接根据三角形的中位线定理即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∵DE=3，
∴BC=2DE=6,
故答案为：6．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
15．如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为 ．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】填空题
【分析】首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠E=∠EDC=120°，
∵EF=DE，
∴∠EDF=∠EFD=30°，
∴∠FDC=90°，
故答案为：90°
【点评】此题考查了正多边形和圆．等腰三角形的性质，此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
16．如图，延长▱ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，使BE=BA，分别连结点A、E和C、F．求证：AE=CF．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】解答题
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，再证出BE=DF，得出AF=EC，进而可得四边形AECF是平行四边形，从而可得AE=CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵DF=DC，BE=BA，
∴BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
17．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC,
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【考点】L6：平行四边形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】 (1)由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
(2)连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
【解答】证明： (1)∵BE=FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，，
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
(2)解：连接AF、BD，如图所示：
由 (1)知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
18．△ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG．
【考点】KX：三角形中位线定理．
【专题】解答题
【分析】利用三角形中线的性质、中位线的定义和性质证得四边形EFGD的对边DE∥GF，且DE=GF=BC；然后由平行四边形的判定﹣﹣对边平行且相等的四边形是平行四边形，继而证得结论．
【解答】证明：
连接DE，FG，
∵BD、CE是△ABC的中线，
∴D，E是AB，AC边中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
同理：FG∥BC，FG=BC，
∴DE∥FG，DE=FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EF∥DG，EF=DG．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定．平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
19． (1)解不等式组：
(2)如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G．求∠G的度数．
【考点】L3：多边形内角与外角；CB：解一元一次不等式组；JA：平行线的性质．
【专题】解答题
【分析】 (1)根据不等式的解法即可得到结论；
(2)根据五边形ABCDE是正五边形，得到∠DCB=∠EDC=108°，DC=BC根据等腰三角形的性质得到∠CDB=36°，求得∠GDB=72°，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解： (1)，
解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x＜﹣1，
不等式组的解集为x＜﹣1；
(2)∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠DCB=∠EDC=108°，DC=BC，
∴∠CDB=36°，
∴∠GDB=72°，
∵AF∥CD，
∴∠CDB=∠F=36°，
∴∠G=72°．
【点评】本题考查了不等式的解法，多边形的内角和外角，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
20．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．
(1)求证：四边形DBFC是平行四边形；
(2)如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KF：角平分线的性质．
【专题】解答题
【分析】 (1)由这一点就证出BD∥CF，CD∥BF，即可得出四边形DBFC是平行四边形；
(2)由平行四边形的性质得出CF=BD=2，由等腰三角形的性质得出AE=CE，作CM⊥BF于F，则CE=CM，证出△CFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出CM=CF=，得出AE=CE=，即可得出AC的长．
【解答】 (1)证明：∵AC⊥BD，∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．
∴BD∥CF，CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
(2)解：∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF=BD=2，
∵AB=BC，AC⊥BD，
∴AE=CE，
作CM⊥BF于F，
∵BC平分∠DBF，
∴CE=CM，
∵∠F=45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM=CF=，
∴AE=CE=，
∴AC=2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的两点，∠1=∠2．
(1)求证：DE=BF；
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】 (1)通过全等三角形△CDE≌△ABF的对应边相等证得DE=BF；
(2)根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
【解答】 (1)证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠3=∠4，∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，∠1=∠2
∴∠5=∠6
在△CDE与△ABF中，
，
∴△CDE≌△ABF（ASA），
∴DE=BF；
(2)证明：∵∠1=∠2，
∴CE∥AF．
又∵由 (1)知，△CDE≌△ABF，
∴CE═AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
22．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】 (1)由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；
(2)由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．
【解答】 (1)证明：∵∠A=∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
(2)解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=DE=2．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
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