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初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试练习题
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这是一份初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试练习题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．计算：cs245°+sin245°=（ ）
A． B．1 C． D．
2．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（ ）
A．都扩大两倍 B．都缩小两倍C．不变D．都扩大四倍
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列结论正确的是（ ）
A．csinA=aB．bcsB=cC．atanA=bD．tanB=
4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）
A．B．﹣1C．2﹣D．
5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
6．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．5 mB．2 mC．4 mD． m
8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值（ ）
A．B．2C．D．
9．直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A．5B．C．7D．
10．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC=1 200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指挥台B的距离为（ ）
A．1 200 mB．1 200 mC．1 200 mD．2 400 m
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米．
12．如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为 （用科学计算器计算，结果精确到0.1°）．
13．小兰想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为 m．（小兰身高忽略不计，取）
14．等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于 ．
15．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，csB=，则AC= ．
16．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA= ．
17．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 cm（参考数据sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=6，CD=9，则AB= ．
三、解答题（共46分）
19．（6分）计算下列各题：
(1)（2cs45°﹣sin60°）+；
(2)（﹣2）0﹣3tan30°+|﹣2|．
20．（6分）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：
(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；
(2)在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；
(3)量出A，B两点间的距离为4.5米．
请你根据以上数据求出大树CD的高度．（精确到0.1米）（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70）
21．（5分）每年的5月15日是”世界助残日”，我区时代超市门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人，便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过9°，已知此商场门前的人行道距门前垂直距离为8米（斜坡不能修在人行道上），问此商场能否把台阶换成斜坡？（参考数据：sin9°=0.1564，cs9°=0.9877，tan9°=0.1584）
22．（5分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取=1.732，结果精确到1m）
23．（5分）已知：如图，在山脚的A处测得山顶D的仰角为45°，沿着坡度为30°的斜角前进400米处到B处（即∠BAC=30°，AB=400米），测得D的仰角为60°，求山的高度CD．
24．（5分）一段路基的横断面是直角梯形，如图1，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图2的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？
25．（6分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．
(1)求sinB的值；
(2)如果CD=，求BE的值．
26．（8分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船c的求救信号．已知A、B两船相距100（+3）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
(2)已知距观测点D处200海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）
答案解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．计算：cs245°+sin245°=（ ）
A．B．1C．D．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【专题】选择题
【分析】首先根据cs45°=sin45°=，分别求出cs245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cs245°+sin245°的值是多少即可．
【解答】解：∵cs45°=sin45°=，
∴cs245°+sin245°
=
=
=1．
故选B．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1．
2．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（ ）
A．都扩大两倍B．都缩小两倍C．不变D．都扩大四倍
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
【专题】选择题
【分析】根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
【解答】解：∵各边的长度都扩大两倍，
∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，
∴锐角A的各三角函数值都不变．
故选C．
【点评】本题考查了锐角三角形函数的定义，理清锐角的三角函数值与角度有关，与三角形中所对应的边的长度无关是解题的关键．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列结论正确的是（ ）
A．csinA=aB．bcsB=cC．atanA=bD．tanB=
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
【专题】选择题
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：A、在Rt△ABC中，∠C=90°，
sinA=，csinA=a，正确；
B、在Rt△ABC中，∠C=90°，
csB=，本项错误；
C、在Rt△ABC中，∠C=90°，
tanA=，btanA=a，本项错误；
D、在Rt△ABC中，∠C=90°，
tanB=，本项错误，
故选A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义．
4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）
A．B．﹣1C．2﹣D．
【考点】T7：解直角三角形；KW：等腰直角三角形．
【专题】选择题
【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC=AC，DE=EC=DC，然后通过解直角△DBE来求tan∠DBC的值．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．
又∵点D为边AC的中点，
∴AD=DC=AC．
∵DE⊥BC于点E，
∴∠CDE=∠C=45°，
∴DE=EC=DC=AC．
∴tan∠DBC===．
故选A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值．
5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理．
【专题】选择题
【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．
【解答】解：如图：，
由勾股定理，得
AC=，AB=2，BC=，
∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠B==，
故选D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．
6．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义；T4：互余两角三角函数的关系．
【专题】选择题
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．
【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sinA=，tanB=和a2+b2=c2．
∵sinA=，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x．
∴tanB=．
解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．
∵A、B互为余角，
∴csB=sin（90°﹣B）=sinA=．
又∵sin2B+cs2B=1，
∴sinB==，
∴tanB===．
故选A．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
7．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．5 mB．2 mC．4 mD． m
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】选择题
【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．
【解答】解：∵AB=10米，tanA==．
∴设BC=x，AC=2x，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，
∴AC=4，BC=2米．
故选B．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值（ ）
A．B．2C．D．
【考点】T7：解直角三角形；L8：菱形的性质．
【专题】选择题
【分析】在直角三角形ADE中，csA=，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE=．
【解答】解：设菱形ABCD边长为t．
∵BE=2，
∴AE=t﹣2．
∵csA=，
∴．
∴=．
∴t=5．
∴AE=5﹣2=3．
∴DE==4．
∴tan∠DBE===2．
故选B．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
9．直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A．5B．C．7D．
【考点】AD：一元二次方程的应用；KQ：勾股定理．
【专题】选择题
【分析】可设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7﹣x，由面积为6作为相等关系列方程求得x的值，进而求得斜边的长．
【解答】解：设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7﹣x，
根据题意得x（7﹣x）=6，
解得x=3或x=4，
所以斜边长为．
故选A．
【点评】可根据直角三角形的面积公式列出关于直角边的方程，解得直角边的长再根据勾股定理求斜边的长．熟练运用勾股定理和一元二次方程是解题的关键．
10．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC=1 200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指挥台B的距离为（ ）
A．1 200 mB．1 200 mC．1 200 mD．2 400 m
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】选择题
【分析】首先根据图示，可得∠ABC=∠α=30°，然后在Rt△ABC中，用AC的长度除以sin30°，求出飞机A与指挥台B的距离为多少即可．
【解答】解：∵∠ABC=∠α=30°，
∴AB===2400（m），
即飞机A与指挥台B的距离为2400m．
故选D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
11．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 10 米．
【考点】KU：勾股定理的应用．
【专题】填空题
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，设大树高为AB=12m，
小树高为CD=6m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），
在Rt△AEC中，
AC==10（m）．
故小鸟至少飞行10m．
故答案为：10．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力．
12．如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为 27.8° （用科学计算器计算，结果精确到0.1°）．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】填空题
【分析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可．
【解答】解：∵tan∠A==≈0.5283，
∴∠A=27.8°，
故答案为：27.8°．
【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大．
13．小兰想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为 43.3 m．（小兰身高忽略不计，取）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】填空题
【分析】从题意可知AB=BD=50m，至B处，测得仰角为60°，sin60°=．可求出塔高．
【解答】解：∵∠DAB=30°，∠DBC=60°，
∴BD=AB=50m．
∴DC=BD•sin60°=50×=43.3．
故答案为：43.3．
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解．
14．等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于 15°或75°． ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理．
【专题】填空题
【分析】此题分两种情况，当顶角为锐角时，利用勾股定理，AD的长，然后即可得出∠ABD=60°，可得顶角度数．同理即可求出顶角为钝角时，底角的度数．
【解答】解；如图1，△ABC中，AB=AC=2，BD为腰上的高，且BD=1，
顶角为锐角，
∵AD2=AB2﹣BD2，
∴AD2=4﹣1=3，
∴AD=，
∴∠ABD=60°，
∴顶角为30°，底角为75°；
如图2，△ABC中，AB=AC=2，BD为腰上的高，且BD=1，
顶角为钝角
同理可得，底角为15°．
故答案为：15°或75°．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用分类讨论的思想进行分析，对顶角为锐角和顶角为钝角时分别进行分析．
15．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，csB=，则AC= 5 ．
【考点】T7：解直角三角形．
【专题】填空题
【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出AC．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，csB=，
∴sinB=，tanB==．
∵在Rt△ABD中AD=4，
∴AB=．
在Rt△ABC中，
∵tanB=，
∴AC=×=5．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
16．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA= ．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
【专题】填空题
【分析】在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长，然后利用正弦的定义求解．
【解答】解：在直角△ABD中，BD=1，AB=2，
则AD===，
则sinA===．
故答案是：．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
17．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 14.1 cm（参考数据sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【专题】填空题
【分析】作BE⊥CD于E，根据等腰三角形的性质和∠CBD=40°，求出∠CBE的度数，根据余弦的定义求出BE的长．
【解答】解：如图2，作BE⊥CD于E，
∵BC=BD，∠CBD=40°，
∴∠CBE=20°，
在Rt△CBE中，cs∠CBE=，
∴BE=BC•cs∠CBE
=15×0.940
=14.1cm．
故答案为：14.1．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的重要环节．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=6，CD=9，则AB= 8 ．
【考点】KQ：勾股定理；KO：含30度角的直角三角形．
【专题】填空题
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，CF⊥DE于F，可得四边形BCFE为矩形，根据∠A=60°，可得出∠ADE=30°，根据∠D=90°，可求得∠CDE=60°，∠DCF=30°，在△CDF中，根据CD=9，分别求出CF，DF的长度，然后在△ADE中，求出AE的长度，继而可求出AB的长度．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，CF⊥DE于F，
则有四边形BCFE为矩形，BC=EF，BE=CF，
∵∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∵∠D=90°，
∴∠CDE=60°，∠DCF=30°，
在△CDF中，
∵CD=9，
∴CF=CD=，CF=CD=，
∵EF=BC=6，
∴DE=EF+DF=6+=，
则AE==，
∴AB=AE+BE=+=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了勾股定理的知识以及含30度角的直角三角形的性质，注意掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，难度一般．
19．（8分）计算下列各题：
(1)（2cs45°﹣sin60°）+；
(2)（﹣2）0﹣3tan30°+|﹣2|．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】解答题
【分析】(1)原式利用特殊角的三角函数值化简，合并同类二次根式化简得到结果；
(2)原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：(1)原式=×（2×﹣）+=2﹣+=2；
(2)原式=1﹣3×+2﹣=3﹣2．
【点评】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数幂，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（7分）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：
(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；
(2)在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；
(3)量出A，B两点间的距离为4.5米．
请你根据以上数据求出大树CD的高度．（精确到0.1米）（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【分析】首先分析图形：本题涉及到两个直角三角形△DBC、△ADC，应利用其公共边CD构造等量关系，借助AB=AD﹣DB=4.5构造方程关系式，进而可求出答案．
【解答】解：设CD=x米；
∵∠DBC=45°，
∴DB=CD=x，AD=x+4.5；
在Rt△ACD中，tan∠A=，
∴tan35°=；
解得：x=10.5；
所以大树的高为10.5米．
解法2：在Rt△ACD中，tan∠A=，∴AD=；
在Rt△BCD中，tan∠CBD=，∴BD=；
而AD﹣BD=4.5，
即﹣=4.5，
解得：CD=10.5；
所以大树的高为10.5米．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21．（7分）每年的5月15日是”世界助残日”，我区时代超市门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人，便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过9°，已知此商场门前的人行道距门前垂直距离为8米（斜坡不能修在人行道上），问此商场能否把台阶换成斜坡？（参考数据：sin9°=0.1564，cs9°=0.9877，tan9°=0.1584）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解答题
【分析】先求得拆除台阶换成斜坡后的坡角，与9°比较，再判断是否能把楼梯换成斜坡．
【解答】解：由于台阶共高出地面1.2米，商场门前的人行道距门前垂直距离为8米，
则拆除台阶换成斜坡后的坡角的正切值为tanα==0.15＜tan9°，
因此，此商场能把台阶换成斜坡．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
22．（8分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取=1.732，结果精确到1m）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【分析】根据CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m，再利用解直角得出x的值，即可得出CD的长．
【解答】解：设CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m．
在Rt△AEC中，tan∠CAE=，
即tan30°=，
∴，
3x=（x+100），
解得x=50+50=136.6，
∴CD=CE+ED=136.6+1.5=138.1≈138（m）．
答：该建筑物的高度约为138m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据tan∠CAE=得出x的值是解决问题的关键．
23．（8分）已知：如图，在山脚的A处测得山顶D的仰角为45°，沿着坡度为30°的斜角前进400米处到B处（即∠BAC=30°，AB=400米），测得D的仰角为60°，求山的高度CD．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【分析】在Rt△AFB中，根据AB=400米，∠BAF=30°，求出BF、AF的长度，然后证明四边形BFCE是矩形，设BE=x米，在Rt△BDE中，用x表示出DE的长度，然后根据AC=DC，代入求出x的值，继而可求得山高．
【解答】解：过B作BF⊥AC于F，
在Rt△AFB中，
∵AB=400米，∠BAF=30°，
∴BF=AB=×400=200（米），
AF=AB•cs30°=200（米），
∵BF⊥AC，BE⊥DC，
∴四边形BFCE是矩形，
∴EC=BF=200米，
设BE=x米，则FC=x米，
在Rt△DBE中，
∵∠DBE=60°，
∴DE=tan60°•BE=x（米），
∵∠DAC=45°，∠C=90°，
∴∠ADC=45°，
∴AC=DC，
∵AC=AF+FC=（200+x）米，
DC=DE+EC=（x+200）米，
解得：x=200，
∴DC=DE+EC=200+200（米）．
答：山的高度BC约为（200+200）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识解直角三角形，难度一般．
24．（8分）一段路基的横断面是直角梯形，如图1，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图2的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解答题
【分析】由已知可求EC=40m．在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形ABCD面积=梯形A1B1C1D面积，可再求出EC1=80（m），即可求出改建后的坡度i=B1E：EC1=20：80=1：4．
【解答】解：由图可知：BE⊥DC，BE=30m，sinα=0.6，
在Rt△BEC中，
∵sinα=，
∴BC==50（m），
在RT△BEC中EC2=BC2﹣BE2，BE=30m，
由勾股定理得，EC=40m．
在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，
则梯形ABCD面积=梯形A1B1C1D面积，
∴×（20+60）×30=×20（20+20+EC1）
解得EC1=80（m），
∴改建后的坡度i=B1E：EC1=20：80=1：4．
【点评】此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题．分析梯形ABCD面积=梯形A1B1C1D面积，是解题的关键；还要熟悉坡度公式．
25．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．
(1)求sinB的值；
(2)如果CD=，求BE的值．
【考点】T7：解直角三角形；KP：直角三角形斜边上的中线．
【专题】解答题
【分析】(1)根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；
(2)根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．
【解答】解：(1)∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
又∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACH=90°
∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，
∵AH=2CH，
∴由勾股定理得AC=CH，
∴CH：AC=1：，
∴sinB=；
(2)∵sinB=，
∴AC：AB=1：，
∴AC=2．
∵∠CAH=∠B，
∴sin∠CAH=sinB==，
设CE=x（x＞0），则AE=x，则x2+22=（x）2，
∴CE=x=1，AC=2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∵AB=2CD=2，
∴BC=4，
∴BE=BC﹣CE=3．
【点评】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．
26．（10分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船c的求救信号．已知A、B两船相距100（+3）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
(2)已知距观测点D处200海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解答题
【分析】(1)作CE⊥AB于点E，则∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°，在Rt△BCE中，BE=CE=x，由AE+BE=x+x=100（3+）求出x的值，再根据AC=2x得出AC的值，在△ACD中，由∠DAC=60°，∠ADC=75°得出∠ACD=45°．过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=y，根据AC=y+y=200求出y的值，故可得出AD的长，进而得出结论；
(2)根据(1)中的结论得出DF的长，再与200相比较即可．
【解答】解：(1)作CE⊥AB于点E，则∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，
∵在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=x，
在Rt△BCE中，BE=CE=x，
∴AE+BE=x+x=100（3+），解得x=100，
∴AC=2x=200．
在△ACD中，
∵∠DAC=60°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=45°．
过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=y，
∴AC=y+y=200，解得y=100（3﹣），
∴AD=2y=200（3﹣）．
答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（3﹣）海里；
(2)∵由(1)可知，DF=AF=×100（3﹣）≈219．
∵219＞200，
∴巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．计算：cs245°+sin245°=（ ）
A． B．1 C． D．
2．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（ ）
A．都扩大两倍 B．都缩小两倍C．不变D．都扩大四倍
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列结论正确的是（ ）
A．csinA=aB．bcsB=cC．atanA=bD．tanB=
4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）
A．B．﹣1C．2﹣D．
5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
6．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．5 mB．2 mC．4 mD． m
8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值（ ）
A．B．2C．D．
9．直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A．5B．C．7D．
10．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC=1 200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指挥台B的距离为（ ）
A．1 200 mB．1 200 mC．1 200 mD．2 400 m
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米．
12．如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为 （用科学计算器计算，结果精确到0.1°）．
13．小兰想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为 m．（小兰身高忽略不计，取）
14．等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于 ．
15．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，csB=，则AC= ．
16．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA= ．
17．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 cm（参考数据sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=6，CD=9，则AB= ．
三、解答题（共46分）
19．（6分）计算下列各题：
(1)（2cs45°﹣sin60°）+；
(2)（﹣2）0﹣3tan30°+|﹣2|．
20．（6分）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：
(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；
(2)在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；
(3)量出A，B两点间的距离为4.5米．
请你根据以上数据求出大树CD的高度．（精确到0.1米）（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70）
21．（5分）每年的5月15日是”世界助残日”，我区时代超市门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人，便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过9°，已知此商场门前的人行道距门前垂直距离为8米（斜坡不能修在人行道上），问此商场能否把台阶换成斜坡？（参考数据：sin9°=0.1564，cs9°=0.9877，tan9°=0.1584）
22．（5分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取=1.732，结果精确到1m）
23．（5分）已知：如图，在山脚的A处测得山顶D的仰角为45°，沿着坡度为30°的斜角前进400米处到B处（即∠BAC=30°，AB=400米），测得D的仰角为60°，求山的高度CD．
24．（5分）一段路基的横断面是直角梯形，如图1，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图2的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？
25．（6分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．
(1)求sinB的值；
(2)如果CD=，求BE的值．
26．（8分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船c的求救信号．已知A、B两船相距100（+3）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
(2)已知距观测点D处200海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）
答案解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．计算：cs245°+sin245°=（ ）
A．B．1C．D．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【专题】选择题
【分析】首先根据cs45°=sin45°=，分别求出cs245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cs245°+sin245°的值是多少即可．
【解答】解：∵cs45°=sin45°=，
∴cs245°+sin245°
=
=
=1．
故选B．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1．
2．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（ ）
A．都扩大两倍B．都缩小两倍C．不变D．都扩大四倍
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
【专题】选择题
【分析】根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
【解答】解：∵各边的长度都扩大两倍，
∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，
∴锐角A的各三角函数值都不变．
故选C．
【点评】本题考查了锐角三角形函数的定义，理清锐角的三角函数值与角度有关，与三角形中所对应的边的长度无关是解题的关键．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列结论正确的是（ ）
A．csinA=aB．bcsB=cC．atanA=bD．tanB=
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
【专题】选择题
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：A、在Rt△ABC中，∠C=90°，
sinA=，csinA=a，正确；
B、在Rt△ABC中，∠C=90°，
csB=，本项错误；
C、在Rt△ABC中，∠C=90°，
tanA=，btanA=a，本项错误；
D、在Rt△ABC中，∠C=90°，
tanB=，本项错误，
故选A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义．
4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）
A．B．﹣1C．2﹣D．
【考点】T7：解直角三角形；KW：等腰直角三角形．
【专题】选择题
【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC=AC，DE=EC=DC，然后通过解直角△DBE来求tan∠DBC的值．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．
又∵点D为边AC的中点，
∴AD=DC=AC．
∵DE⊥BC于点E，
∴∠CDE=∠C=45°，
∴DE=EC=DC=AC．
∴tan∠DBC===．
故选A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值．
5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理．
【专题】选择题
【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．
【解答】解：如图：，
由勾股定理，得
AC=，AB=2，BC=，
∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠B==，
故选D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．
6．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义；T4：互余两角三角函数的关系．
【专题】选择题
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．
【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sinA=，tanB=和a2+b2=c2．
∵sinA=，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x．
∴tanB=．
解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．
∵A、B互为余角，
∴csB=sin（90°﹣B）=sinA=．
又∵sin2B+cs2B=1，
∴sinB==，
∴tanB===．
故选A．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
7．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．5 mB．2 mC．4 mD． m
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】选择题
【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．
【解答】解：∵AB=10米，tanA==．
∴设BC=x，AC=2x，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，
∴AC=4，BC=2米．
故选B．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值（ ）
A．B．2C．D．
【考点】T7：解直角三角形；L8：菱形的性质．
【专题】选择题
【分析】在直角三角形ADE中，csA=，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE=．
【解答】解：设菱形ABCD边长为t．
∵BE=2，
∴AE=t﹣2．
∵csA=，
∴．
∴=．
∴t=5．
∴AE=5﹣2=3．
∴DE==4．
∴tan∠DBE===2．
故选B．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
9．直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A．5B．C．7D．
【考点】AD：一元二次方程的应用；KQ：勾股定理．
【专题】选择题
【分析】可设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7﹣x，由面积为6作为相等关系列方程求得x的值，进而求得斜边的长．
【解答】解：设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7﹣x，
根据题意得x（7﹣x）=6，
解得x=3或x=4，
所以斜边长为．
故选A．
【点评】可根据直角三角形的面积公式列出关于直角边的方程，解得直角边的长再根据勾股定理求斜边的长．熟练运用勾股定理和一元二次方程是解题的关键．
10．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC=1 200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指挥台B的距离为（ ）
A．1 200 mB．1 200 mC．1 200 mD．2 400 m
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】选择题
【分析】首先根据图示，可得∠ABC=∠α=30°，然后在Rt△ABC中，用AC的长度除以sin30°，求出飞机A与指挥台B的距离为多少即可．
【解答】解：∵∠ABC=∠α=30°，
∴AB===2400（m），
即飞机A与指挥台B的距离为2400m．
故选D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
11．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 10 米．
【考点】KU：勾股定理的应用．
【专题】填空题
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，设大树高为AB=12m，
小树高为CD=6m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），
在Rt△AEC中，
AC==10（m）．
故小鸟至少飞行10m．
故答案为：10．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力．
12．如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为 27.8° （用科学计算器计算，结果精确到0.1°）．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】填空题
【分析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可．
【解答】解：∵tan∠A==≈0.5283，
∴∠A=27.8°，
故答案为：27.8°．
【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大．
13．小兰想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为 43.3 m．（小兰身高忽略不计，取）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】填空题
【分析】从题意可知AB=BD=50m，至B处，测得仰角为60°，sin60°=．可求出塔高．
【解答】解：∵∠DAB=30°，∠DBC=60°，
∴BD=AB=50m．
∴DC=BD•sin60°=50×=43.3．
故答案为：43.3．
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解．
14．等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于 15°或75°． ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理．
【专题】填空题
【分析】此题分两种情况，当顶角为锐角时，利用勾股定理，AD的长，然后即可得出∠ABD=60°，可得顶角度数．同理即可求出顶角为钝角时，底角的度数．
【解答】解；如图1，△ABC中，AB=AC=2，BD为腰上的高，且BD=1，
顶角为锐角，
∵AD2=AB2﹣BD2，
∴AD2=4﹣1=3，
∴AD=，
∴∠ABD=60°，
∴顶角为30°，底角为75°；
如图2，△ABC中，AB=AC=2，BD为腰上的高，且BD=1，
顶角为钝角
同理可得，底角为15°．
故答案为：15°或75°．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用分类讨论的思想进行分析，对顶角为锐角和顶角为钝角时分别进行分析．
15．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，csB=，则AC= 5 ．
【考点】T7：解直角三角形．
【专题】填空题
【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出AC．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，csB=，
∴sinB=，tanB==．
∵在Rt△ABD中AD=4，
∴AB=．
在Rt△ABC中，
∵tanB=，
∴AC=×=5．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
16．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA= ．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
【专题】填空题
【分析】在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长，然后利用正弦的定义求解．
【解答】解：在直角△ABD中，BD=1，AB=2，
则AD===，
则sinA===．
故答案是：．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
17．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 14.1 cm（参考数据sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【专题】填空题
【分析】作BE⊥CD于E，根据等腰三角形的性质和∠CBD=40°，求出∠CBE的度数，根据余弦的定义求出BE的长．
【解答】解：如图2，作BE⊥CD于E，
∵BC=BD，∠CBD=40°，
∴∠CBE=20°，
在Rt△CBE中，cs∠CBE=，
∴BE=BC•cs∠CBE
=15×0.940
=14.1cm．
故答案为：14.1．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的重要环节．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=6，CD=9，则AB= 8 ．
【考点】KQ：勾股定理；KO：含30度角的直角三角形．
【专题】填空题
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，CF⊥DE于F，可得四边形BCFE为矩形，根据∠A=60°，可得出∠ADE=30°，根据∠D=90°，可求得∠CDE=60°，∠DCF=30°，在△CDF中，根据CD=9，分别求出CF，DF的长度，然后在△ADE中，求出AE的长度，继而可求出AB的长度．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，CF⊥DE于F，
则有四边形BCFE为矩形，BC=EF，BE=CF，
∵∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∵∠D=90°，
∴∠CDE=60°，∠DCF=30°，
在△CDF中，
∵CD=9，
∴CF=CD=，CF=CD=，
∵EF=BC=6，
∴DE=EF+DF=6+=，
则AE==，
∴AB=AE+BE=+=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了勾股定理的知识以及含30度角的直角三角形的性质，注意掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，难度一般．
19．（8分）计算下列各题：
(1)（2cs45°﹣sin60°）+；
(2)（﹣2）0﹣3tan30°+|﹣2|．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】解答题
【分析】(1)原式利用特殊角的三角函数值化简，合并同类二次根式化简得到结果；
(2)原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：(1)原式=×（2×﹣）+=2﹣+=2；
(2)原式=1﹣3×+2﹣=3﹣2．
【点评】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数幂，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（7分）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：
(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；
(2)在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；
(3)量出A，B两点间的距离为4.5米．
请你根据以上数据求出大树CD的高度．（精确到0.1米）（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【分析】首先分析图形：本题涉及到两个直角三角形△DBC、△ADC，应利用其公共边CD构造等量关系，借助AB=AD﹣DB=4.5构造方程关系式，进而可求出答案．
【解答】解：设CD=x米；
∵∠DBC=45°，
∴DB=CD=x，AD=x+4.5；
在Rt△ACD中，tan∠A=，
∴tan35°=；
解得：x=10.5；
所以大树的高为10.5米．
解法2：在Rt△ACD中，tan∠A=，∴AD=；
在Rt△BCD中，tan∠CBD=，∴BD=；
而AD﹣BD=4.5，
即﹣=4.5，
解得：CD=10.5；
所以大树的高为10.5米．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21．（7分）每年的5月15日是”世界助残日”，我区时代超市门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人，便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过9°，已知此商场门前的人行道距门前垂直距离为8米（斜坡不能修在人行道上），问此商场能否把台阶换成斜坡？（参考数据：sin9°=0.1564，cs9°=0.9877，tan9°=0.1584）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解答题
【分析】先求得拆除台阶换成斜坡后的坡角，与9°比较，再判断是否能把楼梯换成斜坡．
【解答】解：由于台阶共高出地面1.2米，商场门前的人行道距门前垂直距离为8米，
则拆除台阶换成斜坡后的坡角的正切值为tanα==0.15＜tan9°，
因此，此商场能把台阶换成斜坡．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
22．（8分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取=1.732，结果精确到1m）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【分析】根据CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m，再利用解直角得出x的值，即可得出CD的长．
【解答】解：设CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m．
在Rt△AEC中，tan∠CAE=，
即tan30°=，
∴，
3x=（x+100），
解得x=50+50=136.6，
∴CD=CE+ED=136.6+1.5=138.1≈138（m）．
答：该建筑物的高度约为138m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据tan∠CAE=得出x的值是解决问题的关键．
23．（8分）已知：如图，在山脚的A处测得山顶D的仰角为45°，沿着坡度为30°的斜角前进400米处到B处（即∠BAC=30°，AB=400米），测得D的仰角为60°，求山的高度CD．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解答题
【分析】在Rt△AFB中，根据AB=400米，∠BAF=30°，求出BF、AF的长度，然后证明四边形BFCE是矩形，设BE=x米，在Rt△BDE中，用x表示出DE的长度，然后根据AC=DC，代入求出x的值，继而可求得山高．
【解答】解：过B作BF⊥AC于F，
在Rt△AFB中，
∵AB=400米，∠BAF=30°，
∴BF=AB=×400=200（米），
AF=AB•cs30°=200（米），
∵BF⊥AC，BE⊥DC，
∴四边形BFCE是矩形，
∴EC=BF=200米，
设BE=x米，则FC=x米，
在Rt△DBE中，
∵∠DBE=60°，
∴DE=tan60°•BE=x（米），
∵∠DAC=45°，∠C=90°，
∴∠ADC=45°，
∴AC=DC，
∵AC=AF+FC=（200+x）米，
DC=DE+EC=（x+200）米，
解得：x=200，
∴DC=DE+EC=200+200（米）．
答：山的高度BC约为（200+200）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识解直角三角形，难度一般．
24．（8分）一段路基的横断面是直角梯形，如图1，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图2的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解答题
【分析】由已知可求EC=40m．在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形ABCD面积=梯形A1B1C1D面积，可再求出EC1=80（m），即可求出改建后的坡度i=B1E：EC1=20：80=1：4．
【解答】解：由图可知：BE⊥DC，BE=30m，sinα=0.6，
在Rt△BEC中，
∵sinα=，
∴BC==50（m），
在RT△BEC中EC2=BC2﹣BE2，BE=30m，
由勾股定理得，EC=40m．
在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，
则梯形ABCD面积=梯形A1B1C1D面积，
∴×（20+60）×30=×20（20+20+EC1）
解得EC1=80（m），
∴改建后的坡度i=B1E：EC1=20：80=1：4．
【点评】此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题．分析梯形ABCD面积=梯形A1B1C1D面积，是解题的关键；还要熟悉坡度公式．
25．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．
(1)求sinB的值；
(2)如果CD=，求BE的值．
【考点】T7：解直角三角形；KP：直角三角形斜边上的中线．
【专题】解答题
【分析】(1)根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；
(2)根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．
【解答】解：(1)∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
又∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACH=90°
∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，
∵AH=2CH，
∴由勾股定理得AC=CH，
∴CH：AC=1：，
∴sinB=；
(2)∵sinB=，
∴AC：AB=1：，
∴AC=2．
∵∠CAH=∠B，
∴sin∠CAH=sinB==，
设CE=x（x＞0），则AE=x，则x2+22=（x）2，
∴CE=x=1，AC=2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∵AB=2CD=2，
∴BC=4，
∴BE=BC﹣CE=3．
【点评】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．
26．（10分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船c的求救信号．已知A、B两船相距100（+3）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
(2)已知距观测点D处200海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解答题
【分析】(1)作CE⊥AB于点E，则∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°，在Rt△BCE中，BE=CE=x，由AE+BE=x+x=100（3+）求出x的值，再根据AC=2x得出AC的值，在△ACD中，由∠DAC=60°，∠ADC=75°得出∠ACD=45°．过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=y，根据AC=y+y=200求出y的值，故可得出AD的长，进而得出结论；
(2)根据(1)中的结论得出DF的长，再与200相比较即可．
【解答】解：(1)作CE⊥AB于点E，则∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，
∵在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=x，
在Rt△BCE中，BE=CE=x，
∴AE+BE=x+x=100（3+），解得x=100，
∴AC=2x=200．
在△ACD中，
∵∠DAC=60°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=45°．
过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=y，
∴AC=y+y=200，解得y=100（3﹣），
∴AD=2y=200（3﹣）．
答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（3﹣）海里；
(2)∵由(1)可知，DF=AF=×100（3﹣）≈219．
∵219＞200，
∴巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
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