20届中考精英人教版数学专题总复习：专题十一 二次函数与几何图形综合题

专题十一　二次函数与几何图形综合题



　　　　 　　　　　 　　　　　

与线段有关的问题
【例1】　(2016·梅州)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，－3)，动点P在抛物线上．

(1)b＝__－2__，c＝__－3__，点B的坐标为__(－1，0)__；(直接填写结果)
(2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
分析：(2)分别过点C，A作AC的垂线，交抛物线于P1，P2两点，求出交点坐标即可；(3)连接OD，证四边形OEDF为矩形得到OD＝EF，由垂线段最短求出点D的纵坐标，从而得到点P的纵坐标，即可求出点P的坐标．
解：(2)存在．理由：如图1，①当∠ACP1＝90°，易求直线AC的解析式为y＝x－3，∴直线CP1的解析式为y＝－x－3，将y＝－x－3与y＝x2－2x－3联立解得x1＝1，x2＝0(舍去)，∴点P1的坐标为(1，－4)；②当∠P2AC＝90°时，易求直线AP2的解析式为y＝－x＋3，将y＝－x＋3与y＝x2－2x－3联立解得x1＝－2，x2＝3(舍去)，∴点P2的坐标为(－2，5)．综上所述，P的坐标是(1，－4)或(－2，5)
(3)如图2，连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF.根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．由(1)可知，在Rt△AOC中，∵OC＝OA＝3，OD⊥AC，∴D是AC的中点．又∵DF∥OC，∴DF＝OC＝，∴点P的纵坐标是－，令x2－2x－3＝－，解得x＝.∴当EF最短时，点P的坐标是(，－)或(，－)
　
与面积有关的问题
【例2】　(2016·永州)已知抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．
(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

分析：(2)将y＝kx代入抛物线解析式得到关于x的一元二次方程，由根与系数的关系可得xA＋xB＝2＋k，由点O为线段AB的中点可得xA＋xB＝0，由此求出k值，代入一元二次方程求出xA，xB，即可求出点A，B的坐标；(3)假设存在，利用三角形的面积公式及(2)中根与系数的关系，可得出关于k的一元二次方程，根据此方程解的情况判断k是否存在．
解：(1)(0，－3)，y＝x2－2x－3　(2)将y＝kx代入y＝x2－2x－3中得kx＝x2－2x－3，整理得x2－(2＋k)x－3＝0，∴xA＋xB＝2＋k，xAxB＝－3.∵原点O为线段AB的中点，∴xA＋xB＝2＋k＝0，∴k＝－2.当k＝－2时，x2－3＝0，解得xA＝－，xB＝，∴yA＝－2xA＝2，yB＝－2xB＝－2.故k的值为－2，点A的坐标为(－，2)，点B的坐标为(，－2)
(3)假设存在．由(2)可知xA＋xB＝2＋k，xAxB＝－3，S△ABC＝OC·|xA－xB|＝×3×＝，∴(2＋k)2－4×(－3)＝10，即(2＋k)2＋2＝0.∵(2＋k)2≥0，∴方程无解，故假设不成立，即不存在实数k使得△ABC的面积为


与三角形全等、相似有关的问题
【例3】(2016·黔东南州)如图，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别相交于点B，C，经过B，C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x＝2.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接PB，PC，求△PBC的面积；
(3)连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：(2)利用各点坐标求出三边长，得出△PBC是直角三角形，即可求出面积；(3)分情况讨论：①当＝，∠PBQ＝∠ABC＝45°时，根据比例关系式得出BQ的长，即可得出点Q的坐标；②当＝，∠QBP＝∠ABC＝45°时，同理可求出点Q的坐标；③当点Q在点B右侧时，可得出∠PBQ≠∠BAC，因此此种情况不成立，综上所述即可得出符合条件的点Q的坐标．
解：(1)y＝x2－4x＋3
(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴P(2，－1)，
又∵B(3，0)，C(0，3)，
∴PC＝＝2，PB＝＝，
BC＝＝3，
∴PB2＋BC2＝PC2，
∴△PBC是直角三角形，且∠PBC＝90°，
∴S△PBC＝PB·BC＝××3＝3
(3)如图，设抛物线的对称轴交x轴于点M，
∵在Rt△PBM中，PM＝MB＝1，
∴∠PBM＝45°，PB＝.
由点B(3，0)，C(0，3)易得OB＝OC＝3，
在等腰直角三角形OBC中，∠ABC＝45°，
由勾股定理得BC＝3.
假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
①当＝，∠PBQ＝∠ABC＝45°时，△PBQ∽△ABC，即＝，解得BQ＝3，
又∵BO＝3，∴点Q与点O重合，
∴Q1的坐标是(0，0)；
②当＝，∠QBP＝∠ABC＝45°时，△QBP∽△ABC，即＝，解得QB＝，
∵OB＝3，∴OQ＝OB－QB＝3－＝，
∴Q2的坐标是(，0)；
③当Q在B点右侧，
则∠PBQ＝180°－45°＝135°，∠BAC＜135°，
故∠PBQ≠∠BAC，
则点Q不可能在B点右侧的x轴上．
综上所述，点Q的坐标为(0，0)或(，0)



特殊三角形问题
【例4】　(2016·漳州)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是在x轴下方抛物线上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
(3)在(2)的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：(2)设出点M的坐标，结合点M的坐标和直线BC的解析式可得点N的坐标，由此得出线段MN的长度关于m的函数关系式，由点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可求出最值；(3)假设存在，设出点P的坐标，结合(2)的结论可求出点N的坐标，从而利用两点间的距离公式求出线段PN，PB，BN的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n值，从而得出点P的坐标．
解：(1)y＝x2－4x＋3
(2)设点M的坐标为(m，m2－4m＋3)，易求直线BC的解析式为y＝－x＋3.∵MN∥y轴，∴点N的坐标为(m，－m＋3)．∵抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线的对称轴为x＝2，与x轴另一交点A为(1，0)，∴1＜m＜3.∵MN＝－m＋3－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m＝－(m－)2＋，∴当m＝时，线段MN取最大值，最大值为
(3)假设P点存在．设点P的坐标为(2，n)．当m＝时，点N的坐标为(，)，∴PB＝＝，PN＝，BN＝＝.△PBN为等腰三角形分三种情况：①当PB＝PN时，即＝，解得n＝，此时点P的坐标为(2，)；②当PB＝BN时，即＝，解得n＝±，此时点P的坐标为(2，－)或(2，)；③当PN＝BN时，即＝，解得n＝，此时点P的坐标为(2，)或(2，)．综上可知，点P的坐标为(2，)，(2，－)，(2，)，(2，)或(2，)

特殊四边形问题
【例5】　(2016·毕节)如图，已知抛物线y＝x2＋bx与直线y＝2x＋4交于A(a，8)，B两点，点P是抛物线上A，B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C，E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若C为AB的中点，求PC的长；
(3)如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为(m，n)，请求出m，n之间的关系式．

分析：(2)联立抛物线和直线解析式求出B点坐标，从而求出C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式可求P点横坐标，从而可求PC的长；(3)根据矩形的性质分别用m，n表示出点C，P的坐标，根据DE＝CP，可得到m，n的关系式．
解：(1)y＝x2＋2x
(2)联立抛物线和直线解析式可得解得∴B点坐标为(－2，0)，∵A(2，8)，B(－2，0)，C为AB中点，∴C点坐标为(0，4)，又PC∥x轴，∴P点纵坐标为4，∵P点在抛物线上，令4＝x2＋2x，解得x＝－1－或x＝－1，又P点在A，B之间的抛物线上，∴x＝－1－不合题意，舍去，∴P点坐标为(－1，4)，∴PC＝－1－0＝－1
(3)∵D(m，n)，且四边形PCDE为矩形，∴C点横坐标为m，E点纵坐标为n，∵C，E都在直线y＝2x＋4上，∴C(m，2m＋4)，E(，n)，∵PC∥x轴，PE∥y轴，∴P点纵坐标为2m＋4，横坐标为，即点P的坐标为(，2m＋4)．∵P点在抛物线上，∴2m＋4＝()2＋2()，整理可得n2－4n－8m－16＝0，∴m＝n2－n－2
　　　　　　 　　　　　 　　　　　

1．(导学号　59042313)(2016·遵义)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－8，3)，B(－4，0)，C(－4，3)，∠ABC＝α°.抛物线y＝x2＋bx＋c经过点C，且对称轴为x＝－，并与y轴交于点G.
(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；
(2)将Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位，使B点移到点E，然后将三角形绕点E顺时针旋转α°得到△DEF，若点F恰好落在抛物线上．
①求m的值；
②连接CG交x轴于点H，连接FG交x轴于点Q，过B作BP∥FG，交CG于点P，求证：PH＝GH.

解：(1)y＝x2＋x－，点G(0，－)
(2)①过F作FM⊥y轴，交DE于点M，交y轴于点N，由题意可知AC＝4，BC＝3，则AB＝5，FM＝，∵Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位，使B点移到点E，∴E(－4＋m，0)，OE＝MN＝4－m，FN＝－(4－m)＝m－，在Rt△FME中，由勾股定理得EM＝＝，∴F(m－，)，∵点F在抛物线上，∴＝(m－)2＋(m－)－，即5m2－8m－36＝0，解得m1＝－2(舍去)，m2＝，则m的值为
②易求得FG的解析式为y＝x－，CG解析式为y＝－x－，令x－＝0，得x＝1，则Q(1，0)，令－x－＝0，得x＝－1.5，则H(－1.5，0)，∴BH＝4－1.5＝2.5，HQ＝1.5＋1＝2.5，∴BH＝QH，∵BP∥FG，∴∠PBH＝∠GQH，∠BPH＝∠QGH，∴△BPH≌△QGH(AAS)，∴PH＝GH

2．(导学号　59042314)(2016·枣庄)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

解：(1)y＝－x2－2x＋3，y＝x＋3
(2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把x＝－1代入y＝x＋3得y＝2，∴M(－1，2)
(3)设P(－1，t)，又∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10，①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝，t2＝.综上所述P的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，) 或(－1，)

3．(导学号　59042315)(2016·安顺)如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；
(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)y＝x2－2x－
(2)∵抛物线的解析式为y＝x2－2x－，∴其对称轴为直线x＝－＝2，如图1，连接BC，PA＋PC＝BC且为最小值．∵B(5，0)，C(0，－)，可求直线BC的
解析式为y＝x－，当x＝2时，y＝1－＝－，∴P(2，－)
(3)存在．如图2，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，C(0，－)，CN1∥x轴，则y＝－，x＝4，∴N1(4，－)；②当点N在x轴上方时，过点N2作N2D⊥x轴于点D，可证△AN2D≌△M2CO(ASA)，∴N2D＝OC＝，即N2点的纵坐标为，令x2－2x－＝，解得x＝2＋或x＝2－，∴N2(2＋，)，N3(2－，)．综上所述，符合条件的点N的坐标为(4，－)，(2＋，)或(2－，)
　　






　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(导学号　59042316)(2016·深圳)如图，抛物线y＝ax2＋2x－3与x轴交于A，B两点，且B(1，0)．
(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；
(2)如图①，点P是直线y＝x上的动点，当直线y＝x平分∠APB时，求点P的坐标；
(3)如图②，已知直线y＝x－分别与x轴、y轴交于C，F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE.问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

解：(1)y＝x2＋2x－3，A(－3，0)
(2)若y＝x平分∠APB，则∠APO＝∠BPO，如图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点B′，由于点P在直线y＝x上，可知∠POB＝∠POB′＝45°，可证△BPO≌△B′PO(ASA)，∴BO＝B′O＝1，易求直线AP解析式为y＝x＋1，联立解得∴P点坐标为(，)；若P点在x轴下方时，同理可得△BOP≌△B′OP，∴∠BPO＝∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的内部，∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的P点．综上可知P点坐标为(，)
(3)如图2，作QH⊥CE于点H，可求C(，0)，F(0，－)，∴tan∠OFC＝＝，∵DQ∥y轴，∴∠QDH＝∠GFD＝∠OFC，∴tan∠HDQ＝，设DQ＝t，可求DH＝t，HQ＝t，∵△QDE是以DQ为腰的等腰三角形，若DQ＝DE，则S△DEQ＝DE·HQ＝×t×t＝t2；若DQ＝QE，则S△DEQ＝DE·HQ＝×2DH·HQ＝×t×t＝t2，∵t2＜t2，∴当DQ＝QE时，△DEQ的面积最大．设Q点坐标为(x，x2＋2x－3)，则D(x，x－)，∵Q点在直线CF的下方，∴DQ＝t＝x－－(x2＋2x－3)＝－x2－x＋，当x＝－时，tmax＝3，∴(S△DEQ)max＝t2＝，即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为
　　


2．(导学号　59042317)(2016·山西)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．
(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

解：(1)易求抛物线解析式为y＝x2－3x－8，∵y＝x2－3x－8＝(x－3)2－，∴抛物线对称轴为直线x＝3，又∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A坐标(－2，0)，∴点B坐标(8，0)．易求直线l的解析式为y＝－x，∵点E为直线l与抛物线的对称轴的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为－×3＝－4，∴点E坐标(3，－4)
(2)抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为－4，∴x2－3x－8＝－4，∴x2－6x－8＝0，解得x＝3±，∴点F坐标为(3＋，－4)或(3－，－4)
(3)①如图1，当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，∵点E坐标(3，－4)，∴OE＝＝5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则＝，∴OM＝OE＝5，∴点M坐标(0，－5)，可求直线ME解析式为y＝x－5，令y＝0，得x－5＝0，解得x＝15，∴点H坐标为(15，0)，∵MH∥PB，∴＝，即＝，∴m＝－；②如图2，当QO＝QP时，△POQ是等腰三角形，∵当x＝0时，y＝x2－3x－8＝－8，∴点C坐标(0，－8)，∴CE＝＝5，∴OE＝CE，∴∠1＝∠2，∵QO＝QP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE∥PB，可求直线CE解析式为y＝x－8，令y＝0，得x－8＝0，∴x＝6，∴点N坐标(6，0)，∵CN∥PB，∴＝，∴＝，∴m＝－.综上所述，当m＝－或－时，△OPQ是等腰三角形
　


3．(导学号　59042318)(2016·聊城)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(9，0)和C(0，4)，CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
(1)求出二次函数的解析式及点D的坐标；
(2)若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；
(3)若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度(0＜t≤6)得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．

解：(1)y＝－x2＋x＋4，D(6，4)
(2)如图①，∵点F是抛物线y＝－x2＋x＋4的顶点，∴F(3，)，∴FH＝，∵GH∥A1O1，∴＝，∴＝，∴GH＝1，∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分是梯形A1O1HG，∴S重叠部分＝S△A1O1F－S△FGH＝A1O1×O1F－GH×FH＝×3×4－×1×＝
(3)当0＜t≤3时，如图②，设O2C2与OD交于点M，由题意知C2(t，4)．设直线OD为y＝x，可知M(t，t)，∴S＝S△MOO2＝·t·t＝t2；当3＜t≤6时，如图③，设A2C2与OD交于点M，O2C2与OD交于点N，此时，A2(t－3，0)，C2(t，4)，可求直线A2C2为y＝x＋(4－t)，由直线A2C2与直线OD交于点M，有解得即M(2t－6，t－4)，在△MOA2中，OA2＝t－3，点M到OA的距离yM＝t－4，∴S△MOA2＝OA2·yM＝(t－3)(t－4)＝t2－4t＋6，在△ONO2中，N(t，t)，∴S△ONO2＝OO2·O2N＝·t·t＝t2，∴S＝S△ONO2－S△MOA2＝t2－(t2－4t＋6)＝－t2＋4t－6.综上所述，S与t的函数解析式为S＝