20届中考精英人教版数学专题总复习：专题九 反比例函数与几何图形综合题

专题九　反比例函数与几何图形综合题

反比例函数与三角形

【例1】　(2016·重庆)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是(m，－4)，连接AO，AO＝5，sin∠AOC＝.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)连接OB，求△AOB的面积．

分析：(1)过点A作AE⊥x轴于点E，通过解直角三角形求出线段AE，OE的长度，得出点A的坐标，即可求出反比例函数解析式；(2)先求出点B的坐标，再求直线AB的解析式，从而可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．

解：(1)过点A作AE⊥x轴于点E，设反比例函数解析式为y＝.∵AE⊥x轴，∴∠AEO＝90°.在Rt△AEO中，AO＝5，sin∠AOC＝，∴AE＝AO·sin∠AOC＝3，OE＝＝4，∴点A的坐标为(－4，3)，可求反比例函数解析式为y＝－

(2)易求B(3，－4)，可求直线AB的解析式为y＝－x－1.令一次函数y＝－x－1中y＝0，则0＝－x－1，解得x＝－1，∴C(－1，0)，∴S△AOB＝OC·(yA－yB)＝×1×[3－(－4)]＝

反比例函数与四边形

【例2】　(2016·恩施)如图，直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，直角边AB垂直于x轴，垂足为点Q，已知∠ACB＝60°，点A，C，P均在反比例函数y＝的图象上，分别作PF⊥x轴于点F，AD⊥y轴于点D，延长DA，FP交于点E，且点P为EF的中点．

(1)求点B的坐标；

(2)求四边形AOPE的面积．

分析：(1)设点A(a，b)，则tan60°＝＝，b＝，联立可求点A的坐标，从而得出点C，B的坐标；

(2)先求出AQ，PF的长，从而可求点P的坐标和S△OPF，再求出S矩形DEFO，根据S四边形AOPE＝S矩形DEFO－S△AOD－S△OPF，代入计算即可．

解：(1)∵∠ACB＝60°，∴∠AOQ＝60°，∴tan60°＝＝，设点A(a，b)，则解得或(不合题意，舍去)，∴点A的坐标是(2，2)，∴点C的坐标是(－2，－2)，∴点B的坐标是(2，－2)

(2)∵点A的坐标是(2，2)，∴AQ＝2，∴EF＝AQ＝2，∵点P为EF的中点，∴PF＝，设点P的坐标是(m，n)，则n＝，∵点P在反比例函数y＝的图象上，∴＝，S△OPF＝|4|＝2，∴m＝4，∴OF＝4，∴S矩形DEFO＝OF·OD＝4×2＝8，∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴S△AOD＝|4|＝2，∴S四边形AOPE＝S矩形DEFO－S△AOD－S△OPF＝8－2－2＝4

1．(2016·泸州)如图，一次函数y＝kx＋b(k＜0)与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A(4，1)．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)连接OB(O是坐标原点)，若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．

解：(1)y＝　(2)∵一次函数y＝kx＋b(k＜0)经过点A(4，1)，∴4k＋b＝1，即b＝1－4k，联立得kx2＋(1－4k)x－4＝0，解得x＝4或－，∴点B(－，－4k)，又点C(0，1－4k)，而k＜0，∴－＞0，1－4k＞0，∴S△BOC＝×(－)×(1－4k)＝3，∴k＝－，∴b＝1－4k＝3，∴该一次函数解析式为y＝－x＋3

2．(2016·宁夏)如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝2，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过OA的中点C，交AB于点D.

(1)求反比例函数的关系式；

(2)连接CD，求四边形CDBO的面积．

解：(1)∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝2，∴AB＝OB＝2，作CE⊥OB于E，∵∠ABO＝90°，∴CE∥AB，∵OC＝AC，∴OE＝BE＝OB＝，CE＝AB＝1，∴C(，1)，可求反比例函数的关系式为y＝　(2)∵OB＝2，∴点D的横

坐标为2，代入y＝得y＝，∴D(2，)，∴BD＝，∵AB＝2，∴AD＝，∴S△ACD＝AD·BE＝××＝，∴S四边形CDBO＝S△AOB－S△ACD＝OB·AB－＝×2×2－＝

1．(导学号　59042305)(2016·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO＝，OB＝4，OE＝2.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD，BF，如果S△BAF＝4S△DFO，求点D的坐标．

解：(1)∵OB＝4，OE＝2，∴BE＝OB＋OE＝6.∵CE⊥x轴，∴∠CEB＝90°.在Rt△BEC中，BE＝6，tan∠ABO＝，∴CE＝BE·tan∠ABO＝6×＝3，∴C(－2，3)，可求反比例函数的解析式为y＝－

(2)∵点D在反比例函数y＝－ 第四象限的图象上，∴设点D的坐标为(n，－)(n＞0)．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝4，tan∠ABO＝，∴OA＝OB·tan∠ABO＝4×＝2.∵S△BAF＝AF·OB＝(OA＋OF)·OB＝(2＋)×4＝4＋.∵点D在反比例函数y＝－第四象限的图象上，∴S△DFO＝×|－6|＝3.∵S△BAF＝4S△DFO，∴4＋＝4×3，解得n＝，经检验n＝是分式方程的解，∴点D的坐标为(，－4)

2．(导学号　59042306)(2016·莆田)如图，反比例函数y＝(x＞0)的图象与直线y＝x交于点M，∠AMB＝90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6.

(1)求k的值；

(2)点P在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF＝90°，其两边分别与x轴的正半轴，直线y＝x交于点E，F，问是否存在点E，使得PE＝PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，则∠MCA＝∠MDB＝90°，∠AMC＝∠BMD，MC＝MD，∴△AMC≌△BMD，∴S四边形OCMD＝S四边形OAMB＝6，∴k＝6

(2)存在点E，使得PE＝PF.由题意得点P的坐标为(3，2)，①过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K，∵∠PGE＝∠FHP＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，∴△PGE≌△FHP，∴PG＝FH＝2，FK＝OK＝3－2＝1，GE＝HP＝2－1＝1，∴OE＝OG＋GE＝3＋1＝4，∴E(4，0)；②过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K，∵∠PGE＝∠FHP＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，∴△PGE≌△FHP，∴PG＝FH＝2，FK＝OK＝3＋2＝5，GE＝HP＝5－2＝3，∴OE＝OG＋GE＝3＋3＝6，∴E(6，0)．综上可知，点E的坐标为(4，0)或(6，0)