2023年中考数学第一轮基础知识专题练习 专题十一 二次函数与几何图形综合题（无答案）

专题十一　二次函数与几何图形综合题

类型一　线段问题

1. (2022苏州)如图，二次函数y＝x2－(m＋1)x＋m(m是实数，且－1<m<0)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，其对称轴与x轴交于点C.已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC＝EC.连接ED并延长交y轴于点F，连接AF.

(1)求A、B、C三点的坐标(用数字或含m的式子表示)；

(2)已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值．

第1题图

备用图

类型二　面积问题

2. (2022贵港)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A(－3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝－1，连接AC.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；

(3)在(2)的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BCP＝S△BCD，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

第2题图

3. 全国视野　　新考法 (2022潍坊)如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为M(2，－)，抛物线与x轴的一个交点为A(4，0)，点B(2，2)与点C关于y轴对称．　

(1)判断点C是否在该抛物线上并说明理由；

(2)顺次连接AB，BC，CO，判断四边形ABCO的形状并证明；

(3)设点P是抛物线上的动点，连接PA，PC，AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化，请探究S的大小变化并填写表格①～④处的内容；当S的值为②时，求点P的横坐标的值．

第3题图

类型三　角度问题

4. (2022眉山)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)经过点A(－2，0)和点B(4，0)．

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；

(2)点P为该抛物线上一点(不与点C重合)，直线CP将△ABC的面积分成2∶1两部分，求点P的坐标；

(3)点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB－∠OMA时，求t的值．

第4题图

类型四　特殊三角形判定问题

5. (2022上海)已知抛物线y＝ax2＋c(a≠0)经过点P(3，0)、Q(1，4)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC；

①若点Q与点A重合时，求点C到抛物线对称轴的距离；　

②若点C在抛物线上，求点C的坐标．

第5题图

类型五　特殊四边形判定问题

6. (2022凉山州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；

(3)在(2)的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

第6题图

7. (2022通辽)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于A(3，0)，B(－1，0)两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；

(3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

第7题图

备用图

类型六　相似三角形判定问题

8. (2022陕西)已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.

(1)求点B、C的坐标；

(2)设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

该命题点下更多试题见第三部分题型七