20届中考精英人教版数学专题总复习：专题三 简单的几何证明与计算

专题三　简单的几何证明与计算

三角形全等

【例1】　(2016·襄阳)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.

(1)求证：AB＝AC；

(2)若AD＝2，∠DAC＝30°，求AC的长．

分析：(1)先证△DEB≌△DFC得∠B＝∠C，由此即可证明；(2)先证AD⊥BC，再在Rt△ADC中，利用30°角性质设CD＝a，AC＝2a，根据勾股定理列出方程即可求解．

解：(1)∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，又∵BD＝CD，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC

(2)∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝2，∠DAC＝30°，∴AC＝2CD，设CD＝a，则AC＝2a，∵AC2＝AD2＋CD2，∴4a2＝a2＋(2)2，∵a＞0，∴a＝2，∴AC＝2a＝4

三角形相似

【例2】　(2015·岳阳)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为点F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.

(1)求证：△ABM∽△EFA；

(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．

分析：(1)由两角相等即可证明；(2)由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可求解．

解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AMB＝∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA

(2)∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝＝13，AD＝12，∵F是AM的中点，∴AF＝AM＝6.5，∵△ABM∽△EFA，∴＝，即＝，∴AE＝16.9，∴DE＝AE－AD＝4.9

特殊四边形

【例3】　(2016·贺州)如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF.

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)若AB＝，∠DCF＝30°，求四边形AECF的面积．(结果保留根号)

分析：(1)过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，由AAS可证△AOF≌△COE，可得AF＝CE，由此即可证明；(2)由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，利用三角函数求得CF的长，即可求解．

解：(1)∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO＝∠CEO，可证△AOF≌△COE(AAS)，∴AF＝CE，∴AF＝CF＝CE＝AE，∴四边形AECF是菱形

(2)∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝，在Rt△CDF中，cos∠DCF＝，∠DCF＝30°，∴CF＝＝2，∵四边形AECF是菱形，∴CE＝CF＝2，∴四边形AECF是的面积为EC·AB＝2

1．(2016·呼和浩特)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．

(1)求证：△ACE≌△BCD；

(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.

解：(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，可证△ACE≌△BCD(SAS)

(2)∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B＝∠BAC＝45°.∵△ACE≌△BCD，∴∠B＝∠CAE＝45°，∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°，∴AD2＋AE2＝DE2.由(1)知AE＝DB，∴AD2＋DB2＝DE2，即2CD2＝AD2＋DB2

2．(2016·齐齐哈尔)如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.

(1)求证：△ACD∽△BFD；

(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．

解：(1)∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD　

(2)∵tan∠ABD＝1，∠ADB＝90°，∴＝1，∵△ACD∽△BFD，∴＝＝1，∴BF＝AC＝3

3．(2016·济宁)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO.

(1)已知EO＝，求正方形ABCD的边长；

(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴CA＝＝BC.∵CF＝CA，CE是∠ACF的角平分线，∴E是AF的中点．∵E，O分别是AF，AC的中点，∴EO∥BC，且EO＝CF，∴CA＝CF＝2EO＝2，∴BC＝2，∴正方形ABCD的边长为2

(2)EM＝CN.证明：∵CE平分∠ACB，∴∠OCM＝∠BCN，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠ABC＝90°，∴∠COM＝∠CBN＝90°，∴△OCM∽△BCN，∴＝＝.∵EO∥BC，∴△OEM∽△BCM，∴＝＝，·＝×＝，∴＝，即EM＝CN

1．(2016·大庆)如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.

(1)求证：AG＝CG；

(2)求证：AG2＝GE·GF.

解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS)，∴AG＝CG

(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG，∵AB∥CD，∴∠DCG＝∠F，∴∠EAG＝∠F，∵∠AGE＝∠AGE，∴△AGE∽△FGA，∴＝，∴AG2＝GE·GF

2．(2016·内江)如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.

(1)求证：D是BC的中点；

(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

解：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，可证△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝CD，∵AF＝BD，∴BD＝CD，∴D是BC的中点

(2)若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形．证明：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AFBD是矩形

3．(2016·北京)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.

(1)求证：BM＝MN；

(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．

解：(1)在△CAD中，∵M，N分别是AC，CD的中点，∴MN∥AD，MN＝AD，在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM＝AC，∵AC＝AD，∴MN＝BM

(2)∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，由(1)可知BM＝AC＝AM＝MC，∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°，∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°，∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°，∴BN2＝BM2＋MN2，由(1)可知MN＝BM＝AC＝1，∴BN＝

4．(导学号　59042292)(2016·威海)如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.

(1)求证：AD＝AF；

(2)求证：BD＝EF；

(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．

解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝135°，∵∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF＝∠ACD，∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝CD，可证△ABF≌△ACD(SAS)，∴AD＝AF

(2)由(1)知AF＝AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB＝∠DAC，∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS)，∴BD＝EF

(3)四边形ABNE是正方形．理由如下：∵CD＝CB，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF≌△ABD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE是矩形，又∵AE＝AB，∴四边形ABNE是正方形

5．(导学号　59042293)(2016·泰安)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE.

(1)求证：AC2＝CD·BC；

(2)过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK＝EB.

①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH；

②若∠B＝30°，求证：四边形AKEC是菱形．

解：(1)∵AC平分∠BCD，∴∠DCA＝∠ACB.又∵AC⊥AB，AD⊥AE，∴∠DAC＋∠CAE＝90°，∠CAE＋∠EAB＝90°，∴∠DAC＝∠EAB.又∵E是BC的中点，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠ABC，∴∠DAC＝∠ABC，∴△ACD∽△BCA，∴＝，∴AC2＝CD·BC

(2)①连接AH.∵∠ADC＝∠BAC＝90°，点H，D关于AC对称，∴AH⊥BC.∵EG⊥AB，AE＝BE，∴点G是AB的中点，∴HG＝AG，∴∠GAH＝∠GHA.∵点F为AC的中点，∴AF＝FH，∴∠HAF＝∠FHA，∴∠FHG＝∠AHF＋∠AHG＝∠FAH＋∠HAG＝∠CAB＝90°，∴FH⊥GH

②∵EK⊥AB，AC⊥AB，∴EK∥AC，又∵∠B＝30°，∴AC＝BC＝EB＝EC.又EK＝EB，∴EK＝AC，∴四边形AKEC是平行四边形，又∵AC＝EC，∴四边形AKEC是菱形