20届中考精英人教版数学专题总复习：专题八 解直角三角形的应用

专题八　解直角三角形的应用

仰角、俯角问题

【例1】　(2016·河南)如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

分析：分别求出BD，CD及AD，则可求出AB，即得旗子上升高度，从而求出速度．

解：在Rt△BCD中，BD＝9米，∠BCD＝45°，则BD＝CD＝9米．在Rt△ACD中，CD＝9米，∠ACD＝37°，则AD＝CD·tan37°≈9×0.75＝6.75(米)，∴AB＝AD＋BD＝15.75米．整个过程中旗子上升高度是15.75－2.25＝13.5(米)，上升速度v＝＝0.3(米/秒)，则国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升

方向角问题

【例2】　(2016·内江)禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A，B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行，我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度．(结果保留根号)．

分析：过点C作CD⊥AB于点D，设BD＝x海里，在Rt△BCD中求出CD，则可求出BD，在Rt△BCD中求出BC，从而求出速度．

解：过点C作CD⊥AB于点D，设BD＝x海里，则AD＝(200－x)海里，在Rt△BCD中，∠ABC＝45°，∴BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∠BAC＝30°，∴CD＝AD·tan30°＝(200－x)，则x＝(200－x)，解得x＝100－100，即BD＝100－100，在Rt△BCD中，BC＝＝100－100，(100－100)÷4＝25(－)(海里/时)，则该可疑船只的航行速度为25(－)海里/时

坡度、坡角问题

【例3】　(2016·黄石)如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.

(1)求AB段山坡的高度EF；

(2)求山峰的高度CF.(≈1.414，结果精确到米)

分析：(1)作BH⊥AF于H，在Rt△ABH中求出BH，从而求出EF；(2)在Rt△CBE中求出CE，再计算CE和EF的和即可．

解：(1)作BH⊥AF于点H，在Rt△ABH中，BH＝AB·sin∠BAH＝800·sin30°＝400，∴EF＝BH＝400 米

(2)在Rt△CBE中，CE＝BE·sin∠CBE＝200·sin45°＝100≈141.4，∴CF＝CE＋EF＝141.4＋400≈541(米)

1．(2016·泰州)如图，地面上两个村庄C，D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C，D在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD＝60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD＝75°.求村庄C，D间的距离．(取1.73，结果精确到0.1千米)

解：过B作BE⊥AD于点E，∵∠NAD＝60°，∠ABD＝75°，∴∠ADB＝45°，∵AB＝6×＝4，∴AE＝2，BE＝2，∴DE＝BE＝2，∴AD＝2＋2，∵∠C＝90°，∠CAD＝30°，∴CD＝AD＝1＋(千米)，即村庄C，D间的距离为(1＋)千米

2．(2016·荆门)如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋)米，小军和小明分别从A处和B处同时向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？

解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x米，小明的行走速度是a米/秒，∵∠A＝45°，CD⊥AB，∴AD＝CD＝x米，∴AC＝x.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝2CD＝2x，∵小军的行走速度为米/秒，若小明与小军同时到达山顶C处，则＝，解得a＝1，则小明的行走速度是1米/秒

3．(2016·乐山)如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．

解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得∠ABC＝45°＋75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝60°，∴BD＝AB·cos60°＝AB＝6，AD＝AB·sin60°＝6，∴CD＝10x＋6.在Rt△ACD中，由勾股定理得(14x)2＝(10x＋6)2＋(6)2，解得x1＝2，x2＝－(不合题意，舍去)，则巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时

1．在一次海上拯救行动中，一艘潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2 000米后到达B点，在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度．(结果保留根号)

解：过点C作CD⊥AB于点D，交海面于点E，设BD＝x，∵∠CBD＝60°，∴CD＝BD·tan∠CBD＝x.∵AB＝2 000，∴AD＝x＋2 000，∵∠CAD＝45°，∴CD＝AD，∴x＝x＋2000，解得x＝1 000＋1000，∴CD＝3000＋1000，∴CE＝CD＋DE＝3500＋1000，则黑匣子C点距离海面的深度为(3500＋1000)米

2．(2016·昆明)如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB＝80 m，DE＝10 m，求障碍物B，C两点间的距离．(结果精确到0.1 m；参考数据：≈1.414，≈1.732)

解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，则DE＝BF＝CH＝10 m，在Rt△ADF中，∵AF＝80 －10＝70 (m)，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70 m．在Rt△CDE中，∵DE＝10 m，∠DCE＝30°，∴CE＝＝＝10(m)，∴BC＝BE－CE＝70－10 ≈70－17.32≈52.7(m)，则障碍物B，C两点间的距离约为52.7 m

3．(导学号　59042303)为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示(图中地面AD与通道BC平行)，通道水平宽度BC为8米，∠BCD＝135°，通道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度i＝1∶.

(1)求通道斜面AB的长；

(2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈2.24，≈2.45)

解：(1)过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，∵∠BCD＝135°，∴∠DCM＝45°.在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，CD＝6，∴DM＝CM＝CD＝3，∴AN＝DM＝3，∵通道斜面AB的坡度i＝1∶，∴tan∠ABN＝＝，∴BN＝AN＝6，∴AB＝＝3≈7.4，即通道斜面AB的长约为7.4米

(2)∵在Rt△MED中，∠EMD＝90°，∠DEM＝30°，DM＝3，∴EM＝DM＝3，∴EC＝EM－CM＝3－3，∴BE＝BC－EC＝8－(3－3)≈4.9，即此时BE的长约为4.9米

4．(导学号　59042304)(2016·鄂州)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，有两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A，B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图，AB＝60(＋)海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，在A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120(－)海里．

(1)分别求出A与C及B与C的距离AC，BC；(结果保留根号)

(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处的海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)

解：(1)过点C作CE⊥AB于点E，可得∠CBD＝45°，∠CAD＝60°，设CE＝x，在Rt△CBE中，BE＝CE＝x，在Rt△CAE中，AE＝x，∵AB＝60(＋)，∴x＋x＝60(＋)，解得x＝60，则AC＝x＝120，BC＝x＝120，则A与C的距离为120海里，B与C的距离为120海里

(2)过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，∵AD＝120(－)，∠CAD＝60°，∴DF＝AD·sin60°＝180－60≈106.8＞100，故海监船沿AC前往C处盘查，途中无触礁的危险