2027届高考物理 人教版（2019）必修第二册一轮复习学案 专题07 机械能

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掌握功的概念，会判断某个力做功的正、负，会计算功的大小；
掌握功率的概念，并会对功率进行分析和计算，会分析、解决机车启动的两类问题；
掌握重力势能和弹性势能的概念，知道重力、弹力做功与相应势能变化的关系；
掌握动能定理，会用动能定理分析和解决问题，能利用动能定理求变力做的功；
掌握机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容，会用机械能守恒定律解决问题；
掌握几种常见的功能关系，并会用于解决实际问题，特别是摩擦力的功能关系；
会用能量观点解决两种模型的综合问题。
核心考点01 功和功率
一、功
1、定义
力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。
2、公式
W＝Flcsα，其中α为F、l方向间夹角，l为物体对地的位移，该公式适用于恒力做功。
3、必要条件
①力；②物体在力的方向上发生的位移。
4、单位
在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。
5、性质
功是标量，但有正负。功的正负号不表示方向，也不表示功的多少，在比较功的多少时，只比较功的绝对值，不看功的正负号。例如－5J的功要比2J的功多。
6、功的正负判断
7、对公式W＝Flcsα的理解
①公式中各量W、F、l都要取国际单位制单位。
②只适用于计算大小和方向均不变的恒力做的功，不适用于计算变力做的功。
③可以理解为力乘以在力的方向上的位移，即W＝F(lcsα)；也可以理解为位移乘以在位移方向上的分力，即W＝(Fcsα)l。
④只与F、l、α三者有关，与物体的质量、运动状态、运动形式及是否受其他力等因素均无关。
⑤因为功是过程量，反映力在空间位移上的累积效果，对应一段位移或一段过程，所以用公式W＝Flcsα求力做的功时，一定要明确是哪个力在哪一段位移上(或在哪一个过程中)所做的功。
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功的计算方法：①各个力分别对物体所做功的代数和；②几个力的合力对物体所做的功。
8、变力做功的求解方法
①微元法：物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。如下图所示，质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力所做的功为：Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
【注意】此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
②转换研究对象法：若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Flcs α求解。如下图所示，恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(eq \f(h,sin α)－eq \f(h,sin β))。
【注意】此法常常用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
③图像法：在F­x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负。如下图所示，水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝eq \f(F0＋F1,2)x0。
【注意】此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
④力的平均值法：求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，可先求该变力对位移的平均值eq \x\t(F)＝eq \f(F1＋F2,2)，F1、F2分别为物体初、末态所受的力，然后用公式W＝Flcs α求此力所做的功。如下图所示，当力与位移为线性关系，力可用平均值eq \x\t(F)＝eq \f(F1＋F2,2)表示，代入功的公式得W＝eq \f(kΔx,2)·Δx。
【注意】此法只适用于物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力是均匀变化的。
⑤动能定理法：使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法。如下图所示，用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgL(1－cs θ)＝0，得WF＝mgL(1－cs θ)。
【注意】动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功。
9、各种力做功特点
二、功率
1、定义
功与完成这些功所用时间的比值。
2、物理意义
描述做功的快慢的物理量。
3、定义式
P＝eq \f(W,t)，该式适用于计算恒力的平均功率。
4、单位
在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号为W。
5、性质
标量。
6、计算式
P＝Fvcsα，该式适用于计算平均功率（速度为平均速度）和瞬时功率（速度为瞬时速度）。F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。
【注意】要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。
7、公式P＝eq \f(W,t) 和P＝Fv的比较
8、瞬时功率和平均功率的计算
利用公式P＝Fvcsα，其中v为瞬时速度；利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度；利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力在速度v方向上的分力。
平均功率的计算：利用P＝eq \f(W,t)；利用P＝Fvcs α，其中v为物体运动的平均速度。
【注意】①要弄清楚是平均功率还是瞬时功率；②平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；③瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率．求解瞬时功率时，如果F与v不同向，可用力F乘以F方向的分速度，或速度v乘以速度方向的分力求解。
篮球是中学生喜欢的运动，如图所示，小明从同一高度的A、B两点先后将篮球抛出，篮球恰好都能垂直打在篮板上的P点，不计空气助力，上述两个过程中篮球从A点（ ）
A．抛出后在空中的运动时间与从B点抛出时相等 B．抛出后速度的变化量大
C．抛出时小明对球做的功多 D．抛出后克服重力做功的功率先增大后减小
【答案】A
【详解】AB．将篮球看成反向平抛运动，篮球在竖直方向下降的高度相同，根据竖直方向上的位移一时间公式得，解得运动时间为，所以两次在空中运动的时间相等，抛出后速度的变化量都等于gt，即，故A正确，B错误；
C．由图可知从A点投出的篮球比从B点投出的篮球的水平位移小，根据水平方向上的运动学公式得
，所以有，即从A点投出的篮球在水平方向的分速度小于在B点在水平方向的分速度，可得被抛出的速度大小为，结合，可得，即从A点投出的篮球的速度小，动能小，小明对篮球所做的功更少，故C项错误；
D．克服重力做功的功率为，可知随着竖直方向的速度逐渐变小，克服重力做功的功率逐渐变小，故D项错误。
三、机车启动问题
1、以恒定功率启动
启动过程如下：
功率-时间图像和速度-时间图像如下：
2、以恒定牵引力启动
启动过程如下：
功率-时间图像和速度-时间图像如下：
【注意】①机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不同，分析图像时应注意坐标轴的意义及图像变化所描述的规律。
②在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度，即P＝Ff vm。
③恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。
④以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)。
⑤无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度。
⑥机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大（额定功率），但速度不是最大。
同一赛车分别在干燥路面及湿滑路面以恒定加速度和启动达到最大速度。已知，赛车两次启动过程中阻力大小相等且不变，能达到的额定功率相同。则赛车的速度随时间变化的图像正确的是（图中、为直线）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对赛车由牛顿第二定律可得，则有，由于，则有
，设赛车在干燥路面做匀加速运动达到的最大速度为，在湿滑路面做匀加速运动达到的最大速度为，则有，可知，在干燥路面及湿滑路面赛车的额定功率相同，当牵引力大小等于阻力时则有，可知赛车在干燥路面及湿滑路面达到的最大速度相等。
核心考点2 重力势能和弹性势能
一、重力做功
1、定义
重力所做的功WG＝mgΔh，Δh指初位置与末位置的高度差。
2、特点
只跟物体的初末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关。
3、推广
重力做功的特点可推广到任一恒力做功。
4、恒力做功的特点是
与具体路径无关，即恒力做的功等于力与在力方向上的位移大小的乘积，跟初、末位置有关。物体由A位置运动到B位置，如图所示，A、B两位置的高度分别为h1、h2，物体的质量为m，无论从A到B路径如何，重力做的功均为： ＝mgh＝mg(h1-h2)＝mgh1-mgh2，可见重力做功与路径无关。
二、重力势能
1、定义
物体由于被举高而具有的能量叫重力势能。
2、大小
物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积。
3、表达式
Ep＝mgh，h是物体重心到参考平面的高度。
4、单位
在国际单位制中，重力势能的单位是焦耳，符号为J。
5、重力做功和重力势能变化的关系
重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加．关系式：WG＝Ep1－Ep2。
【注意】物体的重力势能是相对的，它是相对于零势能参考平面而言的。物体的重力势能可以取正、零、负值，其正负不表示方向，只表示物体位于参考平面的上方或下方。
6、重力势能的性质
7、重力做功与重力势能变化的关系
8、重力做功与重力势能的比较
三、弹性势能
1、定义
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫弹性势能。
2、弹簧弹性势能大小的影响因素
弹簧的劲度系数（在弹性限度内，不同的弹簧发生同样大小的形变，劲度系数越大，弹性势能越大）；弹簧的形变量（同一弹簧，在弹性限度内，形变大小越大，弹簧的弹性势能就越大）。
3、弹性势能的表达式
，式中为弹簧的弹性势能，为劲度系数，为弹簧的形变量。
4、弹性势能表达式的推导
根据胡克定律F＝kx，做出弹力F与弹簧形变量x关系的F－x图线，如图8所示，根据W＝Fx知，图线与横轴所围的面积表示F所做的功，即W＝eq \f(kx·x,2)＝eq \f(1,2)kx2，所以Ep＝eq \f(1,2)kx2。
5、弹力做功与弹性势能变化的关系
①弹力做功和重力做功一样也和路径无关，弹力对其他物体做了多少功，弹性势能就减少多少。克服弹力做多少功，弹性势能就增加多少。
②弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小。弹性势能的变化量总等于弹力做功的相反数。
③弹性势能的增加量与减少量由弹力做功多少来量度。
6、对弹性势能的理解：
系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性。
相对性：弹性势能的大小与选定的弹性势能为零的位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的弹性势能为零。
核心考点3 动能定理
一、动能
1、定义
物体由于运动而具有的能叫动能。物体的动能等于物体的质量与物体速度的二次方的乘积的一半。
2、表达式
Ek＝eq \f(1,2)mv2。
3、单位
国际单位为焦耳，符号为J。
4、标矢性
动能只有大小，没有方向，是标量。
5、影响因素
同一物体，速度越大，动能越大；同样速度，质量越大，动能越大。
6、对动能的理解
动能具有瞬时性，在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能。
由于速度具有相对性，则动能也具有相对性，对不同的参考系，物体速度有不同的瞬时值，也就具有不同的动能，一般都以地面为参考系。
动能是标量，且只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负。动能的变化是指末状态的动能减去初状态的动能。
二、动能定理
1、内容
力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
2、表达式
W＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12。
3、适用条件
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。
4、物理意义
揭示了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能的变化。变化的大小由做功的多少来量度。动能定理的实质说明了功和能两者之间的密切关系，即做功的过程是能量转化的过程。等号的意义是一种因果关系的数值上相等的符号，并不意味着“功就是动能增量”，也不是“功转变成动能”，而是“功引起物体动能的变化”。
5、功与动能的关系
W>0，物体的动能增加；W＝0，物体的动能不变；Wx1，所以两者做功大小不相等，故B项错误；
C．摩擦生热的计算公式为Q=f⋅Δs，又因为Δs=x−x1，所以有Q=f⋅Δs=W1−W2故C项正确；
D．根据能量守恒有，力F做的功等于木块B和木块A动能的增量之和，再加上A、B相对运动产生的热量，故D项错误。
常考考点
真题举例
动能定理求解多过程问题
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重力势能和动能定理
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能量守恒定律和动能定理
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夹角
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