中考数学二轮复习训练专题01 角平分线模型（2份，原卷版+解析版）

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模型一：角平分线的性质
【典例1】（2025·山东滨州·中考真题）如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O．若点O到BC的距离为3.5，AB=4，则△ABO的面积为 ．
【答案】7
【详解】解：∵△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O，
∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离，且点O到AC的距离等于点O到BC的距离，
∴点O到AB的距离等于点O到BC的距离，
∵点O到BC的距离为3.5，
∴点O到AB的距离为3.5，
∵AB=4，
∴△ABO的面积为12×4×3.5=7；
故答案为：7．
【变式1-1】（2025·云南校级三模）如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC=5，则PD＝（ ）
A．2B．5C．25D．不能确定
【解答】解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，
∴PD＝PC=5．
故选：B．
【变式1-2】（2025·陕西模考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB的平分线交AB于点D，DE⊥AC于点E，若AB＝3，AC＝5，则△ADE的周长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC2−AB2=52−32=4，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴DE＝DB，∠ACD＝∠BCD，
∴△DBC≌△DEC（AAS），
∴CE＝CB＝4，
∵AC＝5，
∴AE＝AC﹣CE＝5﹣4＝1，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DB+AE＝AB+AE＝3+1＝4，
故选：A．
【典例2】（四川绵阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键．
如图：过D作DF⊥AB垂足为F，由三角形面积公式可得DF=2，然后再根据角平分线的性质即可解答．
【详解】解：如图：过D作DF⊥AB垂足为F，
∵△ABD的面积为5，
∴12AB⋅DF=5,即12×5DF=5，解得：DF=2,
∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF=2．
故选B．
【变式2-1】（2025•游仙区一模）如图，已知△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC交CD于点E，BC＝10，DE＝4，则△BCE的面积等于（ ）
A．20B．15C．10D．5
【解答】解：如图所示，过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝4，
∴BC＝10，
∴△BCE的面积为12×BC×EF=20．
故选：A．
【变式2-2】（2025•孝南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为 ．
【解答】解：如图，作DP′⊥AB于P′，
则此时PD＝P′D最小，
由尺规作图可知，AD平分∠CAB，又∠C＝90°，DP′⊥AB，
∴DP′＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故答案为：2．
题型二：构造全等三角形
【典例1】（2025•湖北）如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：∠B＝∠D．
【解答】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
AB=AD∠BAC=∠DACAC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠B＝∠D．
【变式1-1】（2025•河北模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，则△EDF的面积为（ ）
A．11B．22C．26D．37
【解答】解：如图，作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF＝DH，
在Rt△FDE和Rt△HDG中，
DF=DHDE=DG，
∴Rt△FDE≌Rt△HDG（HL），
同理，Rt△FDA≌Rt△HDA（HL），
设△EDF的面积为x，由题意得，
48﹣x＝26+x，
解得x＝11，
即△EDF的面积为11，
故选：A．
【变式1-2】（2025•无锡校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接AD，若AB＝3，BC＝4，则△ADB的面积为（ ）
A．1.4B．2C．0.6D．1
【解答】解：延长BD交AC于点E，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴∠BCD＝∠ECD，∠CDB＝∠CDE＝90°，
在△CBD与△CED中，
∠BCD=∠ECDCD=CD∠CDB=∠CDE=90°，
∴△CBD≌△CED（ASA），
∴BD＝DE，CB＝CE，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC=32+42=5，S△ABC=12×3×4=6，BC＝CE＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝1，
∴S△ABES△ABC=AEAC=15，
∴S△ABE=15S△ABC=1.2，
∵BD＝DE，
∴S△ADB=12S△ABE=0.6；
故选：C．
【典例2】（2025•青海）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM＝CN，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是（ ）
A．AASB．SASC．SSSD．ASA
【解答】解：在△OMC和△ONC中，
OM=ONOC=OCCM=CN，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠COM＝∠CON，
即射线OC是∠AOB的平分线，
故选：C．
【变式2-1】（2025•南岸区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，点D在边BC上，AE＝DE，EF⊥AB，AB＝10，CD＝2.5，则BD＝ ．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴EC⊥BC，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EC＝EF，
在Rt△AEF和Rt△DEC中，
AE=DEEF=EC，
∴Rt△AEF≌Rt△DEC（HL），
∴AF＝DC＝2.5，
∵AB＝10，
∴BF＝AB﹣AF＝7.5，
在Rt△BCE和Rt△BFE中，
BE=BEEC=EF，
∴Rt△BCE≌Rt△BFE（HL），
∴BC＝BF＝7.5，
∴BD＝BC﹣DC＝7.5﹣2.5＝5，
故答案为：5．
【变式2-2】（2025•霍邱县一模）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，CE平分∠ACB，交AB于F，且CE⊥BE于点E，BC边上的中线AD交CE于G，连接DE．则下列结论错误的是（ ）
A．DE∥ACB．CF＝2BEC．AC+AF＞BCD．CG=2BE
【解答】解：∵CE⊥BE，D是BC的中点，
∴CD＝DE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠EDC＝2∠DCE＝45°，
∴∠ACB＝∠EDC，
∴DE∥AC，
故A正确，不符合题意；
如图，延长CA，BE交于点H，
则∠BAC＝∠HAB＝90°，
∴∠ACF+∠AFC＝90°，∠EFB+∠ABH＝90°，
又∵∠AFC＝∠EFB，
∴∠ACF＝∠ABH，
在△ACF与△ABH中，
∠ACF=∠ABHAC=AB∠CAF=∠HAB，
∴△ACF≌△ABH（ASA），
∴CF＝BH，
又∵CE平分∠ACB，且CE⊥HB，
∴∠H＝∠CBH，
∴BC＝HC，
∴HE＝EB，
∴BH＝2EB，
∴CF＝2BE，
故B正确，不符合题意；
由△ACF≌△ABH知，AF＝AH，
∴AC+AF＝AC+AH＝CH，
又∵△BCH是等腰三角形，
∴CH＝BC，
∴AC+AF＝BC，
故C错误，符合题意；
如图，连接GB，
在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠FCB=12∠ACB＝22.5°，∠ACF+∠AFC＝90°，
又∵AD是等腰Rt△ABC的中线，
∴AD⊥垂直平分BC，
∴BG＝GC，
∴∠GBC＝∠GCB＝22.5°，
∴∠GBF＝22.5°，
又∵∠EBF＝∠ACF＝22.5°，
∴∠EBG＝45°，
∴△GBE是等腰直角三角形，
∴GB=2BE，
∴CG=2BE，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
模型三：三角形中的角平分线
【典例1】（2025•青岛模拟）问题探究一：
（1）已知：如图①，在△ABC中，∠A＝60°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，∠BPC的度数＝ ．
（2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？结合图①．
猜想：∠P与∠A的数量关系是 ，并说明理由．
问题探究二：
（1）已知：如图②，∠DBC与∠ECB分别是△ABC的两个外角，且∠DBC+∠ECB＝210°，则∠A的度数＝ ．
（2）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
结合图②
猜想：∠DBC+∠ECB与∠A的数量关系是 ，并说明理由．
拓展与应用：
如图③四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A＝α，∠D＝β，则∠F＝ （用α，β表示）
（3）如图④，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝130°，则∠BIC＝ ．
【解答】解：问题探究一：
（1）如图①，∵△ABC中，∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB）＝60°．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
（2）如图①，在△ABC中，
∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的平分线，
∴∠CBP=12∠ABC，∠BCP=12∠ACB，
∴∠CBP+∠BCP=12（∠ABC+∠ACB）=12×（180°﹣∠A）＝90°−12∠A，
在△BCP中，
∠P+∠BCP+∠CBP＝180°，
∴∠P＝180°﹣（90°−12∠A）＝90°+12∠A；
故答案为：∠P＝90°+12∠A；
问题探究二：
（1）如图②，∵∠ABC+∠DBC＝180°，∠ACB+∠BCE＝180°，
∵∠DBC+∠ECB＝210°，
∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣210°＝150°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝180°﹣150°＝30°，
故答案为：30°；
（2）猜想：∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，理由是：
如图②，∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A；
故答案为：∠DBC+∠ECB＝180°+∠A；
拓展与应用：
如图③：由图可知：α+β＞180°，
由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，
∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，
由三角形的外角性质得，∠FCE＝∠F+∠FBC，
∵BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠FBC=12∠ABC，∠FCE=12∠DCE，
∴∠F+∠FBC＝∠FCE=12（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）=12（∠A+∠D）+12∠ABC﹣90°，
∴∠F=12（∠A+∠D）﹣90°，
∵∠A＝α，∠D＝β，
∴∠F=12（α+β）﹣90°；
故答案为：∠F=12（α+β）﹣90°
（3）如图④，根据翻折的性质，∠ADE=12（180°﹣∠1），∠AED=12（180°﹣∠2），
∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
∴∠A+12（180﹣∠1）+12（180﹣∠2）＝180°，
整理得2∠A＝∠1+∠2，
∵∠1+∠2＝130°，
得2∠A＝130°，
∴∠A＝65°．
∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A）＝90°−12∠A．
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（90°−12∠A）＝90°+12×65°＝122.5°．
故答案为：122.5°．
【变式1-1】（嘉兴一模）定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角．
（1）如图1，∠D是△ABC中∠A的好望角，∠A＝α，请用含α的代数式表示∠D．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC的平分线与经过B，C两点的圆交于点D，E，且∠ACE+∠BDE＝180°，求证：∠ADB是△ABC中∠ACB的好望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，
①取CE的中点F，连结CD，CF，若CD＝4，CF=6，求圆的半径r．
②若∠BAC＝90°，BC＝6，请直接写出线段AE的最大值．
【解答】（1）解：∵∠D是△ABC中∠A的好望角，
∴BD，CD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴∠ABC+∠BCA＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∴∠DBC+∠DCB=12∠ABC+12∠ACB=12(180°−α)=90°−12α，
∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)=180°−90°+12α=90°+12α．
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
∵∠BDE＝∠BCE，∠ACE+∠BDE＝180°，
∴∠ACB+∠BCE+∠BDE＝∠ACB+2∠BDE＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣2∠BDE，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣2∠BAD﹣180°+2∠BDE＝2∠BDE﹣2∠BAD，
∵∠BDE＝∠BAD+∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDE﹣∠BAD，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∴BD平分∠ABC，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠ADB是△ABC中∠ACB的好望角；
（3）解：①∵BD平分∠ABC，AD平分∠BAC，
∴CD平分∠ACB，
∴∠BCD=12∠ACB，
∵∠ADB是△ABC中∠ACB 的好望角，
由（1）可知∠ADB=90°+12∠ACB，
∴∠BDE=180°−∠ADB=90°−12∠ACB，
∴∠BCE=∠BDE=90°−12∠ACB，
∴∠DCB+∠BCE=12∠ACB+90°−12∠ACB=90°，
即∠DCE＝90°，
∴DE为圆的直径，
如图，取DE的中点O，连接EF，OF，OF交CE于点H，
∵F是弧CE的中点，
∴CF=EF，
∴OF⊥CE，EF=CF=6，EH＝CH，
∴OH=12CD=2，
设⊙O的半径为r，则OF＝OE＝r，HF＝r﹣2，
由勾股定理，得HE2＝OE2﹣OH2＝EF2﹣FH2，
∴r2−22=(6)2−(r−2)2，
解得r＝3 或 r＝﹣1（舍去）；
∴⊙O 的半径为3．
②如图，连接OB，OC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠BDC是△ABC的好望角，
∴∠BDC=90°+12∠BAC=135°，
∴∠BOC＝360°﹣2∠BDC＝90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∵BC＝6，
∴OB=OC=22BC=32，
∴OE=32，
∵AE=OA+OE=OA+32，
∴当OA最大时，AE的值最大，
∵∠BAC＝90°，∠BOC＝90°，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，
∴A，B，O，C在BC为直径的圆上，
∴OA为直径时最大，此时OA＝BC＝6，
∴AE的最大值为6+32．
【变式1-2】（泽州县二模）阅读下列材料并完成相应的任务．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分．
（2）图1中各角之间存在特殊的数量关系：①∠BIC＝90°−12∠BAC；②∠AIB=12∠ACB；③∠AIC=12∠ABC．请你选择一个结论进行证明．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是△ABC的一个旁心，过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BC＝BE＝3，则AD的长为 ．
【解答】（1）证明：如图2，过点I分别作ID⊥BC于点D，IE⊥AM于点E，IF⊥AN于点F．
∵BI平分∠CBM，ID⊥BC，IE⊥AM，
∴ID＝IE．
同理可得ID＝IF，
∴IE＝IF，
∵I在∠BAC内部，IE⊥AM，IF⊥AN．
∴AI分∠BAC；
（2）解：选择结论①证明如下：
∵BI平分∠CBM，CI平分∠BCN，
∴∠CBI+∠BCI=12∠CBM+12∠BCN
=12（∠BAC+∠ACB）+12（∠BAC+∠ABC）
=12（∠BAC+∠ACB+∠ABC）+12∠BAC
=12×180°+12∠BAC
＝90°+12∠BAC，
∴∠BIC＝180°﹣（∠CBI+∠BCI）＝180°﹣（90°+12∠BAC）＝90°−12∠BAC；
选择结论②证明如下：
∵BI平分∠CBM，AI平分∠BAC，
∴∠MBI=12∠CBM，∠BAI=12∠BAC，
∴∠AIB＝∠MBI﹣∠MAI=12∠CBM−12∠BAC=12（∠CBM﹣∠BAC）=12∠ACB；
选择结论③证明如下：
∵AI平分∠BAC，CI平分∠BCN，
∴∠IAC=12∠BAC，∠ICN=12∠BCN，
∴∠AIC＝∠ICN﹣∠IAC=12∠BCN−12∠BAC=12（∠BCN﹣∠BAC）=12∠ABC；
（3）解：如图3，连接CD，过点D分别作DG⊥AB于点G，DF⊥AC交CA延长线于点F，
∴∠F＝90°，
∵DE⊥CB，
∴∠E＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是△ABC的一个旁心，
∴CD平分∠ACB，DF＝DG，
∴∠DCE＝45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE＝DE，
∴四边形DECF是正方形，
∴DF＝DG＝CF＝DE＝CE＝BC+BE＝3+3＝6，
在Rt△ADF和Rt△ADG中，
AD=ADDF=DG，
∴Rt△ADF≌Rt△ADG（HL），
∴AF＝AG，
同理，GB＝BE＝3，
设AF＝AG＝x，则AC＝6﹣x，
∴AB＝AG+GB＝x+3，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（x+3）2＝（6﹣x）2+32，
∴x＝2，
∴AF＝2，
∴AD=AF2+DF2=22+62=210，
故答案为：210．
1．（2024•常州）如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则（ ）
A．d1与d2一定相等B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等D．l1与l2一定不相等
【解答】解：根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知：当点P在∠AOB的平分线上时，d1与d2一定相等，
故选：A．
2．（2025•广州二模）如图，正方形ABCD的边长为2，连接对角线AC、BD交于点O，∠ABD的角平分线交AC于点F，交AD于点E，连接OE，则△OEF的面积为（ ）
A．14B．3−2C．3﹣22D．23−3
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，
∴S△AOD=14S正方形ABCD=14×4=1，
BD=2AB＝22
又∵BE平分∠ABD，
∴AEDE=ABBD=222=22，
∴S△AOES△DOE=AEDE=22，
∴S△AOE=22+2×1=2−1；
同理可证：AFFO=ABBO=2，
∴S△AEFS△OEF=AFFO=2，
∴S△OEF=11+2×(2−1)=3−22，
故选：C．
3．（2024•绵阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【解答】解：过D作DF⊥AB于F，如图：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
∵△ABD的面积为5，
∴12AB•DF＝5，
∵AB＝5，
∴DF＝2，
∴DE＝2；
故选：B．
4．（2026•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．若DE＝3，则CD的长为（ ）
A．23B．33C．5D．6
【解答】解：作DF⊥AC于点F，如图所示，
则∠DFC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CDF＝30°，
∴CD＝2CF，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝3，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝3，
设CF＝x，则CD＝2x，
∵∠CFD＝90°，
∴DF2+CF2＝CD2，
即32+x2＝（2x）2，
解得x=3，
∴CD＝2x＝23，
故选：A．
5．（2025•永寿县校级二模）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，若DE＝2，则BD的长为（ ）
A．22B．3C．32D．4
【解答】解：∵AD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
在Rt△BDF中，∵∠B＝30°，
∴BD＝2DF＝4．
故选：D．
6．（2025•罗湖区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（ ）
A．5：2B．2：5C．1：2D．1：5
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA，
∴S1S2=12×DA×AB12×DE×BC=ABBC=25．
故选：B．
7．（2025•凉山州模拟）如图，∠AOB的平分线上有一点P，过点P作OA的平行线PC，∠CPO＝15°，OC＝2，则点P到射线OA的距离为（ ）
A．12B．1C．32D．2
【解答】解：过点P作PM⊥OB于点M，PN⊥OA于点N，
由条件可知PM＝PN，∠BOP＝∠AOP，
∵CP∥OA，
∴∠CPO＝∠BOP＝15°，
∴∠MCP＝15°+15°＝30°，CP＝CO＝2，
∴PM=12PC=1，
∴PN＝1，即点P到射线OA的距离为1，
故选：B．
8．（2025•西青区二模）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA，BC于M，N两点，分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线BP交AC于点D，则线段AD的长为（ ）
A．1B．32C．2D．52
【解答】解：如图，过点D作DH⊥BC于点H．
由条件可知AB2+AC2＝BC2，
∴DA⊥AB，
∵BP平分∠ABC，DH⊥BC，
∴AD＝DH，
∵S△ABC＝S△ABD+S△CDB，
∴12×3×4=12×3×DA+12×5×DH，
∴DA=DH=32．
故选：B．
9．（2025•滨州）如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O．若点O到BC的距离为3.5，AB＝4，则△ABO的面积为 ．
【解答】解：作OP⊥BA交BA的延长线于点P，OQ⊥BC交BC的延长线于点Q，OR⊥AC于点R，
∵△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O，
∴OP＝OR，OQ＝OR，
∴OP＝OQ，
∵点O到BC的距离为3.5，
∴OP＝OQ＝3.5，
∵AB＝4，
∴S△ABO=12AB•OP=12×4×3.5＝7，
故答案为：7．
10．（2025•光山县二模）如图，点P是△ABC内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离PD＝PE＝PF，若∠BPC＝142°，则∠BAC的度数为 ．
【解答】解：∵点P到三边AB，AC，BC的距离PD＝PE＝PF，
∴BP、CP是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，
∵∠BPC＝142°，
∴∠PBC+∠PCB＝38°，
∴∠ABC+∠ACB＝2∠PBC+2∠PCB＝2（∠PBC+∠PBC）＝76°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣76°＝104°．
故答案为：104°．
11．（2025•新蔡县三模）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．
【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，AB=BC∠ABD=∠CBDBD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
12．（2024•凉州区校级三模）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【解答】（1）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图：

∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
∴∠FAE＝∠CAD＝40°，
即CA为∠DAF的平分线，
又EF⊥AB，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∴点E在∠ADC的平分线上，
∴DE平分∠ADC；
（2）解：设EG＝x，
由（1）得：EF＝EH＝EG＝x，
∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8，
∴12AD•EG+12CD•EH＝15，
即：4x+8x＝30，
解得：x＝2.5，
∴EF＝x＝2.5，
∴S△ABE=12AB•EF=12×7×2.5=354．
模型大招
过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题，例：
已知：P是平分线上的一点，过点P作于点M，过点P作于点N，则.
若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：
已知：AD是的平分线，，过点D作于点E，则.
模型大招
过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题，例：
已知：P是平分线上的一点，过点P作于点M，过点P作于点N，则.
模型大招
在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），例：
已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF，则.
模型大招
【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D，则.
证明：平分，平分，，
在中， ①
在中， ②
，
由得，
即.
【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D，则.
证明：平分，平分，，
在中，，即 ①
在中， ②
由得
，即.
【外外模型】如图，两个外角的角平分线交于点D，则.
证明：平分，平分，，
在中，，即 ①
，
②
由①＝②，得，
在中，，
，，
即，
由④可得，代入③式可得，
整理可得.
三角形的旁心
三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为该三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．
已知：如图1，在△ABC中，△ABC的外角∠CBM与∠BCN的平分线BI，CI相交于点I，作射线AI．
求证：Al平分∠BAC．
证明：如图2，过点I分别作ID⊥BC于点D，IE⊥AM于点E，IF⊥AN于点F．
BI平分∠CBM，ID⊥BC，IE⊥AM，
∴ID＝IE．
同理可得ID＝IF．
…