中考数学二轮培优训练第06讲 三角形中角平分线模型（2份，原卷版+解析版）

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一、角平分线垂两边
角平分线+外垂直
当已知条件中出现为的角平分线、于点时，辅助线的作法大都为过点作即可.即有、≌等，利用相关结论解决问题.
二、角平分线垂中间
角平分线+内垂直
当已知条件中出现为的角平分线,于点时，辅助线的作法大都为延长交于点即可.即有是等腰三角形、是三线等，利用相关结论解决问题.
三、角平分线构造轴对称
角平分线+截线段等
当已知条件中出现为的角平分线、不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在上截取，连结即可.即有≌，利用相关结论解决问题.
四、角平分线加平行线等腰现
角平分线+平行线
当已知条件中出现为的角平分线，点角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题.
【多题一解】
一．选择题（共2小题）
1．（2022秋•辉县市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外做正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（ ）
A．2：B．4：3C．：D．7：4
【分析】过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N．根据CP平分∠ACB，即可得出PM＝PN．再根据正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3，即可得到AC：BC＝2：，进而利用三角形面积公式得到S△ACP：S△BCP的值．
【解答】解：如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N，
由题可得，∠BCG＝45°，CP⊥CG，
∴∠BCP＝45°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝45°，即CP平分∠ACB，
又∵PM⊥BC，PN⊥AC，
∴PM＝PN，
∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S1＝4，S2＝7，
∴正方形BCFG的面积＝7﹣4＝3，
∴正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3，
∴AC：BC＝2：，
∴＝＝＝，
即S△ACP：S△BCP等于2：．
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理以及角平分线的性质的运用，解决问题的难点是利用角平分线的性质发现PM＝PN，将S△ACP：S△BCP的值转化为AC：BC的值．
2．（2023•惠阳区校级开学）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形，即可解答．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，
∴EB＝ED，FD＝FC，
∵AB＝6，AC＝8，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF
＝AE+ED+DF+AF
＝AE+EB+AF+FC
＝AB+AC
＝14，
∴△AEF的周长为：14，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
3．（2022秋•汤阴县期中）如图，AD平分∠CAB，若S△ACD：S△ABD＝4：5，则AB：AC＝ 5：4 ．
【分析】过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，首先利用角平分线的性质可以得到DE＝DF，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，
∵AD平分∠CAB，
∴DE＝DF，
∵S△ACD：S△ABD＝×DE×AC：×DF×AB
＝AC：AB
＝4：5，
∴AB：AC＝5：4．
故答案为：5：4．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，同时也利用了三角形的面积公式，比较简单．
4．（2022秋•安陆市期中）如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于H，过点H作EF∥BC交AB于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四个结论①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③点H到△ABC各点的距离相等；④若B，H，D三点共线时，△ABC一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为 ②③④ ．
【分析】①先根据角平分线的性质得出∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；
②根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H可得出∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH，再由EF∥BC可知∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，故可得出BE＝EH，HF＝CF，由此可得出结论；
③根据三角形内心的性质即可得出结论；
④根据已知条件可以得到△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】解，①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，
∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A），
∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A，故①错误；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，
∴∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH．
∵EF∥BC，
∴∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，
∴∠EBH＝∠EHB，∠FCH＝∠CHF，
∴BE＝EH，HF＝CF，
∴EF＝EH+HF＝BE+CF，
∴EF﹣BE＝CF，故②正确；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，
∴点H是△ABC的内心，
∴点H到△ABC各边的距离相等，故③正确；
④若B，H，D三点共线时，则BD⊥AC，且BD平分∠ABC，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴AB＝AC，
∴△ABC一定为等腰三角形，故④正确．
故答案为：②③④；
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解题的关键．
5．（2022秋•武昌区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点O，OD⊥OA交AC于D，OE⊥OB交BC于E，BC＝4，AC＝3，AB＝5，则△CDE的周长为 2 ．
【分析】延长DO交AB于点M，延长EO交AB于点N，根据ASA定理可得△BOE≌△BON，△AOD≌△AOM，再由SAS定理得出△EOD≌△NOM，由全等三角形的对应边相等可得出结论．
【解答】解：延长DO交AB于点M，延长EO交AB于点N
∵OB是∠ABC的平分线，
∴∠OBE＝∠OBN．
∵OE⊥OB，
∴∠BOE＝∠BON＝90°．
在△BOE与△BON中，
，
∴△BOE≌△BON（ASA）．
同理可得，△AOD≌△AOM，
∴OE＝ON，OD＝OM，BE＝BN，AD＝AM．
在△EOD与△NOM中，
，
∴△EOD≌△NOM（SAS），
∴DE＝MN．
∴CE+CD+DE
＝BC﹣BE+AC﹣AD+MN
＝BC﹣（BM+MN）+AC﹣（AN+MN）+MN
＝BC﹣BM﹣MN+AC﹣AN﹣MN+MN
＝BC﹣BM﹣MN+AC﹣AN
＝BC﹣（BM+MN+AN）+AC
＝BC+AC﹣AB
＝4+3﹣5
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
6．（2022秋•长兴县月考）如图，在△ABC中，∠A＝64°，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC＝ 122 °．
【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再利用角平分线的定义求出∠OBC与∠OCB的和，最后利用三角形的内角和定理求出∠O．
【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝64°，
∴∠ABC+∠ACB＝116°．
∵OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝ACB．
∴∠OBC+∠OCB＝ABC+ACB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝58°．
∵∠O+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠O＝180°﹣58°＝122°．
故答案为：122°．
【点评】本题考查了角平分线的定义及三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”及角平分线的定义是解决本题的关键．
7．（2022•渠县二模）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD平分∠ABC，2∠ACD＝∠ABC+∠BAC，已知∠CAD＝43°，则∠BDC＝ 47° ．
【分析】过D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，依据DC平分∠ACE，DB平分∠ABC，利用角平分线的性质，即可得到DF＝DG，进而得出AD平分∠CAF．再根据三角形外角的性质，即可得到∠BDC＝∠BAC，进而得出结论．
【解答】解：如图所示，过D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DF＝DE，
∵2∠ACD＝∠ABC+∠BAC，∠ACE＝∠ABC+∠BAC，
∴∠ACE＝2∠ACD，
∴CD平分∠ACE，
又∵DE⊥BC，DG⊥AC，
∴DE＝DG，
∴DF＝DG，
又∵DF⊥AB，DG⊥AC，
∴AD平分∠CAF，
∵∠CAD＝43°，
∴∠CAF＝86°，∠BAC＝94°，
∵∠DCE是△BCD的外角，∠ACE是△ABC的外角，
∴∠BDC＝∠DCE﹣∠DBC
＝∠ACE﹣∠ABC
＝（∠ACE﹣∠ABC）
＝∠BAC
＝94°
＝47°，
故答案为：47°．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
三．解答题（共8小题）
8．（2023•惠城区校级开学）如图，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB．
【分析】首先利用三角形的内角和求出∠CAB＝40°，然后利用角平分线的性质求出∠DAF＝20°，最后利用三角形的外角与内角的关系及垂直的定义即可求解．
【解答】解：∵∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C，
而∠ABC＝82°，∠C＝58°，
∴∠CAB＝40°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠DAF＝20°，
∵BD⊥AC于D，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AFB＝∠ADB+∠DAF＝90°+20°＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题考查了三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键．
9．（2022秋•新乡期末）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．
（1）当BE＝5，CF＝3，则EF＝ 8 ；
（2）当BE＞CF时，若CO是∠ACB的外角平分线，如图2，它仍然和∠ABC的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，试判断EF，BE，CF之间的关系，并说明理由．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，即可得出答案；
（2）与（1）同理可证．
【解答】解：（1）∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠BCO，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，
∴EF＝EO+FO＝8，
故答案为：8；
（2）EF＝BE﹣CF，理由如下：
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC，
∵EO∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠ABO＝∠EOB，
∴EB＝EO，
同理可得FO＝FC，
∴EF＝EO﹣FO＝EB﹣FC．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分线和平行线证明等腰三角形是解题的关键．
10．（2022秋•运城期末）一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．（点A′在△ABC的内部）
（1）如图1，若∠A＝45°，则∠1+∠2＝ 90 °．
（2）利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得出的结论求∠BA′C的度数．
【分析】（1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，继而可得答案；
（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．
【解答】解：（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，
∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∴∠ADE＝（180°﹣∠1），∠AED＝（180°﹣∠2），
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
∴45°+（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝180°，
整理得∠1+∠2＝90°；
故答案为：90；
（2）∠1+∠2＝2∠A，
理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，
∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，
即∠1+∠2＝2∠A；
（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，
∴∠A＝54°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝90°﹣∠A．
∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），
＝180°﹣（90°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×54°
＝117°．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键．
11．（2023•鼓楼区校级一模）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）求证：AP平分∠CAB；
（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．
【分析】（1）通过三角形全等得到对应角相等，得出AP平分∠CAB；
（2）利用平行线的性质确定∠CAB，再利用角平分线性质求出∠MAB的度数．
【解答】解：（1）连接PF，PE，
由作图过程可知AE＝AF，PE＝PF，
AP＝AP，
∴△AFP≌△AEP，
∴∠FAP＝∠EAP，
∴AP平分∠CAB．
（2）∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB＝180°，
又∵∠ACD＝114°，
∴∠CAB＝180°﹣114°＝66°，
由（1）知AP平分∠CAB，即∠MAB＝∠MAC，
∴∠MAB＝∠CAB＝33°．
【点评】本题考查了三角形全等的判定、角平分线的性质和平行线的性质，做题关键是掌握三角形全等的判定、角平分线的性质和平行线的性质．
12．（2021春•金川区校级期末）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
【分析】因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求．
【解答】解：∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∵∠C＝70°
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO＝30°
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
【点评】本题考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．
13．（2022秋•东昌府区校级期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．
（2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由．
（3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论；
（2）利用（1）的方法解答即可；
（3）利用角平分线的定义和平行线的性质可以判定△BEO和△CFO为等腰三角形，利用线段和差的关系可得结论．
【解答】解：（1）EF与BE、CF之间的关系为：EF＝BE+CF．理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
同理：CF＝FO．
∴EF＝OE+OF＝BE+CF．
（2）第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在，即EF＝BE+CF．理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
同理：CF＝FO．
∴EF＝OE+OF＝BE+CF．
∴第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在．
（3）图中还存在等腰三角形△BEO和△CFO，此时EF＝BE﹣CF，理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
∴△BEO是等腰三角形，
同理可证△CFO是等腰三角形，
∵BE＝EO，OF＝FC
∴BE＝EF+FO＝EF+CF，
∴EF＝BE﹣CF．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用角平分线与平行线的组合模型得出等腰三角形是解题的关键．
14．（2023•鼓楼区校级一模）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．
（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为 CD＝CB ；
（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，说明理由；
（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求的值．
【分析】（1）利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可；
（2）过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，利用角平分线的性质可得CE＝CF，再证明△CDF≌△CBE（AAS），从而证明结论；
（3）延长DO至点N，使ON＝DO，连接AN，首先利用SAS证明△AON≌△COD，得∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，再证明△AND≌△BCM（SAS），得CM＝DN＝2DO，即可得出答案．
【解答】解：（1）当α＝90°时，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CD＝CB，
故答案为：CD＝CB；
（2）仍然有CD＝CB，理由如下：
过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，
则∠CEB＝∠CFD＝90°，
∵∠ADC+∠CDF＝180°，∠ADC＝180°﹣a，
∴∠CDF＝α＝∠ABC，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CD＝CB；
（3）延长DO至点N，使ON＝DO，连接AN，
∵AO＝OC，∠AON＝∠COD，
∴△AON≌△COD（SAS），
∴∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，
∴CD∥AN，
∴∠DAN+∠ADC＝180°，
∴∠DAN＝180°﹣∠ADC＝α＝∠B，
又∵AD＝BM，
∴△AND≌△BCM（SAS），
∴CM＝DN＝2DO，
∴＝2．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．（2021•商河县校级模拟）如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC＝54°，∠C＝66°，求∠DAC、∠BOA的度数．
【分析】根据∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO，求出∠ABO、∠BAO即可解决问题．
【解答】解：∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝66°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣66°＝24°，
∵∠BAC＝54°，∠C＝66°，AE是角平分线，
∴∠BAO＝27°，∠ABC＝60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝30°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝123°．
【点评】本题考查三角形内角和定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．