2025-2026学年广东省佛山市第一中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省佛山市第一中学高二（下）期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数，则f′（1）=（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=15，S10=60，则S15等于（ ）
A. 105B. 120C. 135D. 150
3.（2x-1）5的展开式的第二项的二项式系数为（ ）
A. 10B. 5C. -10D. -5
4.现有A，B，C，D，E五个数学师范生拟到某学校实习，学校指定甲、乙、丙三个老师担任指导.若要求每名师范生安排且只可以安排一名指导老师，每个老师至少安排指导一名师范生，则不同的安排方法数是（ ）
A. 243B. 150C. 90D. 30
5.设随机变量X∼B（2，p），Y∼B（4，p），若，则D（Y）=（ ）
A. B. C. D.
6.一个箱子中装有大小、形状均相同的8个小球，其中白球5个、黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用A，B表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用C，D表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论不正确的是（ ）
A. P（C|B）=B. P（D|A）=C. P（B）=D. P（BC）=
7.跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ）
A. 0.35B. 0.32C. 0.45D. 0.36
8.已知函数f（x）=x3+ax2+3x-1在R上存在极值，则实数a的取值范围为（ ）
A. （-3，3）B. [-3，3]
C. （-∞，-3）∪（3，+∞）D. （-∞，-3]∪[3，+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下面统计了某品牌新能源汽车2024年上半年的销售量y（单位：万辆）的情况，如表：
若月销售量y关于月份x的经验回归方程为7.04，则（ ）
A. 月销售量y与月份x呈正相关
B. m=8.6
C. 样本（5，10.2）的残差约为-0.36
D. 根据该模型，该品牌新能源汽车2024年8月销售量的预测值为11.52万辆
10.已知离散型随机变量X的分布列为P（X=xi）=pi（i=1，2，3，…，n）.定义随机变量Y=etX（t∈R，e为自然对数的底数，e=2.71828…）的分布列如下：
随机变量Y的数学期望称为随机变量X的生成函数，记为MX（t），MX′（0）是函数MX（t）在t=0处的导数，则（ ）
A. MX′（0）=E（X）
B. 若X服从两点分布，，则
C. 若X～B（n,p），则
D. 若实数a,b为常数，则
11.已知函数f（x）=ex-ax2（a为常数），则下列结论正确的有（ ）
A. a=1时，f（x）≥0恒成立
B. a=时，f（x）在零点x0，-1＜x0＜-
C. 时，x=1是f（x）的极值点
D. 若f（x）有3个零点，则a的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X～N（2，σ²），如图所示，若P（X＜a）=0.32，则P（a≤X≤4-a）= .
13.直线是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，切点坐标为 ，实数b= .
14.某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜色后放回，摇匀后进行下一次抽取，每名顾客一共有4次抽奖机会，若前3次都抽到红球，则不需要抽第4次，根据抽出的红球数计算奖次.记X为抽到红球的次数，则P（X=3）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足a1=5，（n∈N*），记.
（1）求数列{an}的通项；
（2）设，求数列{cn}的前n项和为Sn.
16.(本小题15分)
已知，其中a0，a1，a2，…，an∈R，且（1-2x）n展开式中仅有第5项的二项式系数最大.
（1）求n值及二项式系数最大项；
（2）求|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|an|（用数值作答）；
（3）求a0+a2+a4+a6+a8的值（用数值作答）.
17.(本小题15分)
一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛.在两个阶段的每场比赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获胜的概率都为p（0＜p＜1），在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为，每场比赛是否获胜相互独立.已知甲参赛总分为2分的概率为.
（1）求p；
（2）求甲参赛总分X的分布列和数学期望.
18.(本小题17分)
某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”与“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示.
（1）若测试的同学中，分数在[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]内女生的人数分别为2人，8人，16人，4人，完成下面列联表，依据α=0.01的独立性检验，能否认为性别与安全意识有关？
（2）按比例分配的分层抽样方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列及数学期望E（X）.
附：
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=xekx-ex+1.
（1）若k=1，求f（x）的极值；
（2）若∃x∈（0，+∞），使得f（x）＞1成立，求整数k的最小值；
（3）若，讨论函数f（x）的零点个数.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】AD
11.【答案】BD
12.【答案】0.36
13.【答案】（e,1）
0

14.【答案】
15.【答案】数列{an}满足a1=5，（n∈N*），
即，
得，
记，
可得bn+1=2bn，
所以数列{bn}是首项为b1=a1-3=5-3=2，公比为2的等比数列，
故，则
由，，
则，
所以，，
两式作差得，
=，
所以
16.【答案】n=8；1120x4；
6561；
3281．
17.【答案】解：（1）甲参赛总分为2分有两种情况：
第一种情况是在第一阶段两场比赛一胜一负（概率为），
然后在第二阶段三场比赛一胜两负（概率为），
第二种情况是在第一阶段两场比赛全胜（概率为p2），
然后在第二阶段三场比赛全负（概率为），
所以，
解得或p=1，
因为0＜p＜1，
所以；
（2）甲参赛总分X的可能取值为0，1，2，3，4，5，
X=0包括：在第一阶段两场全输，
则P（X=0）=，
X=1包括：在第一阶段一胜一负（概率为），
然后在第二阶段三场全输（概率为），
所以，
由（1）可知P（X=2）=，
X=3包括：在第一阶段两场全胜（概率为），
然后在第二阶段一胜两负（概率为），此时，
也包括在第一阶段一胜一负（概率为），
然后在第二阶段两胜一负（概率为），此时，
则，
X=4包括：在第一阶段两场全胜（概率为），
在第二阶段两胜一负（概率为），此时，
也包括在第一阶段一胜一负（概率为），
然后在第二阶段三场全胜（概率为），此时，
则，
X=5包括：在第一阶段两场全胜（概率为），
然后在第二阶段三场全胜（概率为），
所以，
所以X的分布列为：
所以．
18.【答案】由频率分布直方图可知得分在[20，40）的频率为0.005×20=0.1，
所以抽取的学生答卷总数为，则x=60×0.3=18，y=60×0.2=12，
可得2×2列联表为：
零假设H0：性别与安全意识无关，
于是，
依据α=0.01的独立性检验可知：零假设H0成立，
所以不能认为性别与安全意识有关
“不合格”和“合格”的人数比例为24：36=2：3，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，
可知X的可能取值为0，5，10，15，20，则有：
，
，
所以X的分布列为：
期望
19.【答案】极小值为0，无极大值．
1．
当k≤0或，函数f（x）有1个零点，当，函数f（x）有2个零点 月份x
1
2
3
4
5
6
月销售量y/万辆
7.3
m
8.4
9.4
10.2
10.1
Y
…
P
p1
p2
…
pn
等级
不合格
合格
得分
[20，40）
[40，60）
[60，80）
[80，100]
频数
6
x
24
y
等级性别
不合格
合格
总计
男生
女生
总计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
4
5
P
等级性别
不合格
合格
总计
男生
14
16
30
女生
10
20
30
总计
24
36
60
X
0
5
10
15
20
P