2025-2026学年广东省佛山市第一中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省佛山市第一中学高一（下）期中数学试卷试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设向量满足||=2，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为（ ）
A. （-4，-2）B. （3，4）C. （4，2）D. （-3，-4）
2.已知z=2+i,则=（ ）
A. 2+iB. 2-iC. 3+iD. 3-i
3.已知直线m,n与平面α，β，γ，下列命题中正确的是（ ）
A. 若α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥nB. 若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C. 若α∥β，m⊥α，β⊥γ，则m∥γD. 若α⊥β，α∩β=n,m⊥n,则m⊥α
4.如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知AB=9cm,CD=3cm,则该青铜器的表面积为（ ）（假设上、下底面圆是封闭的）
A. B.
C. D.
5.已知向量满足，则=（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
6.在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a,b,c.若，a=4，且该三角形有两解，则b的范围是（ ）
A. B. C. （0，4）D.
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，DD1的中点，AB=2，则过点E，F，C的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）
A. B. C. D.
8.三棱锥A-BCD的四个顶点都在半径为5的球面上，并且AB=8，CD=6，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为（ ）
A. 56B. 48C. 32D. 58
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中，错误的为（ ）
A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
B. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
C. 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
D. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥
10.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（ ）
A. 若a2+b2-c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形
B. 若a2+b2-c2＜0，则△ABC一定是钝角三角形
C. 若，则△ABC一定是等边三角形
D. 若acsB+bcsA=a,则△ABC一定是等腰三角形
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则（ ）
A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使PQ∥平面MBN
C. 过Q，M，N三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面面积的取值范围为
D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z满足：z2=4-3i,则|z|= .
13.已知，，则在方向上的投影向量的坐标为 .
14.已知是同一平面内的三个单位向量，且，则的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PC=2，E是PB上的点．
（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（2）若E是PB的中点，求二面角P-AC-E的余弦值．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,bcsC+ccsB=2acsA.
（1）求角A；
（2）若△ABC中BC边上中线AD的长度为3，求△ABC面积的最大值.
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥A-BCD中，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，AB⊥CD.
（1）证明：CD⊥平面ABC；
（2）若AB=AC，AO与平面BCD所成的角为60°，求三棱锥A-BCD的体积.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示.
（1）求A，ω，φ.
（2）已知函数g（x）=f（x）+|f（x）|.
①求g（x）的分段解析式；
②若g（x）在[2π，m]上的图象与直线恰有3个公共点，求m的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数fa（x）=cs2x+2asinxcsx-sin2x,
（1）若f1（）=，试求sin2θ的值；
（2）若函数fa（x）在区间（，]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）定义在[-，]上的函数g（x）图象关于直线x=对称，且当x≤时，g（x）图象与y=（x）的图象重合，记Mk={x|g（x）=k}且Mk≠∅，试求Mk中所有元素之和.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】ABC
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥PC，
​​​​​​​∵AB=2，AD=CD=1，AB⊥AD，AB∥CD，
∴，∴AC2+BC2=AB2，
∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，BC，PC⊂平面PBC，
∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．
（2）解：以C为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0），P（0，0，2），
则，，
设平面PAC的法向量为,则，
即,
取，
设为平面EAC的法向量，
则，
即，取x=2，y=-2，z=-2，
则．
设二面角P-AC-E为，由图可知​是锐角，
则,
即​二面角P-AC-E的余弦值为.
16.【答案】解：（1）∵bcsC+ccsB=2acsA，
由正弦定理，得sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsA，
∴sin（B+C）=2sinAcsA，
∵A+B+C=π，
∴B+C=π-A，
∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA=2sinAcsA，
∵A为△ABC的内角，
∴sinA≠0，
∴，
∴；
（2）∵AD是△ABC中BC边上中线，
则，
即，可得，
∴两边平方，可得，
∴36=b2+c2+bc≥3bc,可得bc≤12，当且仅当b=c时，等号成立，
故S△ABC=，
即△ABC面积的最大值为．
17.【答案】解：（1）证明：∵△OCD是边长为1的等边三角形，
O为BD的中点，∴OB=OC=OD=CD=1，∠BOC=120°，
∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠BCD=90°，
∴CD⊥BC，
又CD⊥AB，AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC，
∴CD⊥平面ABC；
（2）由（1）知CD⊥平面ABC，且CD⊂平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD，
取BC的中点E，连接AE，OE，

∵AB=AC，∴AE⊥BC，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴AE⊥面BCD，
∴∠AOE即为AO与平面BCD所成的角，∴∠AOE=60°，
∵O E为△BCD的中位线，∴，
在Rt△AOE中，，∴，
故三棱锥A-BCD的体积为：
．
18.【答案】A=4，，；
①；
②[6π，7π）．
19.【答案】-；
a∈[，+∞）；
答案见解析．