2025-2026学年甘肃省兰州市第五十九中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年甘肃省兰州市第五十九中学高二（下）期中数学试卷试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）-2f（-x）=ex，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为（ ）
A. -1B. C. D. 1
2.设函数f（x）=，则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数f（x）=aex-lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（ ）
A. e2B. eC. e-1D. e-2
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°
5.如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E是底面圆周上异于A，B的一点，若AB=4，当三棱锥D-ABE体积最大时，则点C到平面BDE的距离（ ）
A. 2
B.
C.
D.
6.已知函数在[1，+∞）上单调递增，则m的取值范围为（ ）
A. （-5，0]B. （-∞，1]C. [0，1]D. （-5，1]
7.已知随机变量X的分布列如下表所示：
若，且2X+Y=1，则D（Y）=（ ）
A. B. C. D.
8.已知当x＞0时，exlnx-xlnx≥a恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. （-∞，1]B. （1，e2]C. （-∞，2]D. [e,+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数f（x）=aex-x+a2（a∈R），则（ ）
A. 当a≤0时，f（x）是R上的减函数B. 当a＞0时，x=lna是f（x）的极小值点
C. 当a=e时，f（x）取到最小值e2+2D. 当a＞0时，恒成立
10.盒中有3个球，其中1个红球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ，E（ξ），D（ξ）分别为随机变量ξ的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A. B. E（ξ）=1C. E（3ξ+1）=3D. D（3ξ+1）=6
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E是线段AB上靠近B点的三等分点，F是A1D1中点，则（ ）
A. 该正方体外接球的表面积为27πB. 直线EF与CD所成角的余弦值为
C. 平面B1EF截正方体所得截面为等腰梯形D. 点F到平面A1BC1的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.对于函数f（x）=ex-x2+a,g（x）=xlnx,若对任意的x1∈[0，1]，存在唯一的使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是 .
13.已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为X，则E（X）= .
14.如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面α与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V′，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲袋中装有2个红球、2个白球，乙袋中装有1个红球、3个白球.抛掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲袋中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙袋中随机摸出2个球.
（1）记摸出红球的个数为X，求X的分布列和期望E（X）；
（2）已知摸出的2个球是1红1白，求这2个球来自乙袋的概率.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x3-x，g（x）=x2+a，曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线也是曲线y=g（x）的切线．
（1）若x1=-1，求a；
（2）求a的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在四面体A-BCD中，，AC=BC=2，AD⊥DB，∠CAD=30°，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.

（1）证明：PQ∥平面BCD；
（2）求二面角A-PC-M的余弦值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x（a∈R）.
（1）当a=0时，求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围.
19.(本小题17分)
在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB=BC=BP=2，点E在平面ABC内，且满足平面PAE⊥平面PBE，BA垂直于BC.
（1）当时，求点E的轨迹长度；
（2）当二面角E-PA-B的余弦值为时，求三棱锥E-PCB的体积.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
，
所以X的分布列为：
所以；
（2）记A=“2个球来自甲袋”，
=“2个球来自乙袋”，
​​​​​​​B=“摸到1个红球1个白球”，
则P（B）=P（）P（B|）==，
，
故所求为．
16.【答案】解：（1）由题意可得f'（x）=3x2-1，
则切线的斜率k=f'（-1）=2，
且f（-1）=0，故切线方程为y=2（x+1），即2x-y+2=0，
由g'（x）=2x=2可得x=1，则切点坐标为（1，1+a），
由于切点在直线2x-y+2=0上，故2-（1+a）+2=0，解得a=3．
（2）由题意可得f'（x）=3x2-1，
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
且函数的零点为x1=1，x2=-1，x3=0，
绘制函数f（x）和函数g（x）的图象如图所示，

观察可得，
当a=-1时，函数f（x）和函数g（x）在点（1，1）处有公共点，函数存在公切线，
当a＜-1时，函数f（x）和函数g（x）不存在公切线，
当a＞-1时，函数f（x）和函数g（x）存在公切线，
则实数a的取值范围是[-1，+∞）．
17.【答案】（1）证明：∵，且∠CAD=30°，
由余弦定理可得CD2=AC2+AD2-2AC•AD•cs30°，
即，即CD=1，
∴AD2+CD2=AC2，即AD⊥CD，又AD⊥DB，
且BD∩CD=D，BD，CD⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD，
又，则CD2+BD2=BC2，即BD⊥CD，
以D为原点，分别以为x,y,z轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，
∵AQ=3QC，则，则，
∴，∵AD⊥平面BCD，取为平面BCD的一个法向量，
且，∵，∴，
则PQ∥平面BCD．
（2）由（1）可知，
设平面APC的法向量为，
则，即，解得，取z=2，则，
则平面APC的一个法向量为，
设平面PCM的法向量为，
则，即，解得，取a=1，则，
则平面PCM的一个法向量为，
设二面角A-PC-M为θ，显然θ为锐角，
则．
∴二面角A-PC-M的余弦值为．
18.【答案】y=-3x-2
答案见解析．
（0，1）．
19.【答案】解：（1）作BH⊥PE交PE于H，∵平面PAE⊥平面PBE，且平面PAE∩平面PBE=PE，
∴BH⊥平面PAE，又AE⊂平面PAE，
∴BH⊥AE，∵PB⊥平面ABC，且AE⊂平面ABC，
∴PB⊥AE，又BH⊥AE，PB⊥AE，PB、BH⊂平面PBE，PB∩BH=B，
∴AE⊥平面PBE，又BE⊂平面PBE，
∴AE⊥BE，
以直线BA，BC，BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系如图，

则B（0，0，0），P（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），
设E（x,y,0），∵AE⊥BE，∴，，，
∴（x-2）•x+y•y=0，∴（x-1）2+y2=1，
设AB中点为N，则N（1，0），如图：

又，∴，
∴E的轨迹为圆弧QE，其长度为；
（2）由（1）知，可设E（x,y,0），，，
设平面PAE的一个法向量为，
则，取，
又易知为平面PAB的一个法向量，设二面角E-PA-B为平面角为θ，
则，∵（x-1）2+y2=1，∴，
解得x=2，y=0（舍去）或x=1，y=±1，则E（1，1，0），或E（1，-1，0），
∴三棱锥E-PCB的体积为：
． X
-1
0
1
P
m
n
X
0
1
2
P