2025-2026学年甘肃省兰州市第二中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年甘肃省兰州市第二中学高一（下）期末数学试卷，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数据1，3，2，2，5，6，9，8的70%分位数是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
2.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）
A. 若m // α，n // α，则m // n
B. 若m // α，m⊥n，则n⊥α
C. 若α // β，m⊥α，n // β，则m⊥n
D. 若m // n，n⊂α，则m // α
3.已知α∈（0，π），且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA=AC=2BC=2，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A. 3π
B. 9π
C. 36π
D. 48π
5.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C'D'=2，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. AB=2
C. 四边形ABCD的面积为
D. 四边形ABCD的周长为
6.已知事件A与事件B相互独立，若P（A）=3P（B），，则=（ ）
A. B. C. D.
7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段BB1上靠近B1的三等分点，点F是线段D1C1上靠近D1的三等分点，则平面AEF截正方体ABCD-A1B1C1D1形成的截面图形为（ ）
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
8.如图，公路一侧有一幢楼OP，公路与楼底O在同一平面上，小明在公路上行走，在点A处测得楼顶P的仰角为45°，行走100米到达B处，测得楼顶P的仰角为37°，再行走100米到达点C处，测得楼顶P的仰角为30°，则楼OP的高为（ ）
参考数据：.
A. 米B. 米C. 300米D. 米
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 已知，若，则t=-3D. 与夹角的余弦值为
10.已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. 复数在复平面内对应的点位于第二象限
B. 若复数z=（1-i）（2-i），则
C. 复数的共轭复数
D. 若|z-1|=2，则|z-1-3i|的最小值为2
11.如图，三棱锥O-ABC中，OA=OC=OB=1，OA⊥平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线AB与平面OBC所成的角为45°
B. 二面角O-BC-A的正切值为
C. 点O到平面ABC的距离为
D. OC⊥AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.tan23°+tan37°+tan23°tan37°=______．
13.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=，则该棱台的体积为 .
14.=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，DC=3AB=2AD=3，E为线段DC上靠近点D的三等分点，F为线段BC的中点.
（1）用向量，表示；
（2）若，求.
16.(本小题15分)
2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接.某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，
（1）根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率.
17.(本小题15分)
已知，.
（1）求sin2α和的值；
（2）若，，求证：.
18.(本小题17分)
如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且，现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使ED⊥DC，M为ED的中点，如图2.
（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：平面BCE⊥平面BDE；
（3）求异面直线BC与AM所成的角的余弦值.
19.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,.
（1）求B；
（2）若a=1，.
（i）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（ii）设点M在边AC上，连接BM并延长至点D，且.求△ACD面积的最大值及此时点M的位置.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】BC
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】-4
15.【答案】=
16.【答案】平均年龄为32.25岁，众数为27.5岁
17.【答案】，
由（1）知，
因为，
因为，，所以0＜α+β＜π，
所以
18.【答案】取EC中点N，连接MN，BN．

在△EDC中，N，M分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且．
由已知AB∥CD，，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四边形ABNM为平行四边形．所以BN∥AM．
又因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，
所以AM∥平面BEC
在正方形ADEF中，ED⊥AD，又ED⊥DC，AD∩DC=D，
AD，DC⊂平面BCD，所以 ED⊥平面BCD，
因为BC⊂平面BCD，所以BC⊥ED，
在Rt△ABD中，AB=AD=1，所以，∠ABD=45°，
在△BCD中，∠BDC=45°，，CD=2．
所以，
所以BC2+BD2=2+2=4=CD2，所以BC⊥BD．
又因为BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE，
所以BC⊥平面BDE，又因为BC⊂平面BEC，
所以平面BDE⊥平面BEC

19.【答案】
（i）△ABC是直角三角形，在△ABC中，a=1，，由（1）知．
在△ABC中，由正弦定理，
得．
因为a＜b，所以A＜B，
所以，，
所以△ABC是直角三角形；（ii），点M在AC边上靠近C的三等分点