2025-2026学年山西省大同市第二中学校高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年山西省大同市第二中学校高一（下）期中数学试卷，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列几何体为旋转体的是（ ）
A. 三棱锥B. 四棱台C. 六棱柱D. 圆台
2.复数（4+i）-（1+5i）的虚部为（ ）
A. -4B. 4C. -4iD. 4i
3.已知A（-2，1），B（4，-5），点P满足，则点P的坐标是（ ）
A. （-3，3）B. （-8，7）C. （1，-2）D. （10，-11）
4.已知m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m,n⊂α，m∥β，则“n∥β”是“α∥β”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.如图，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，B′C′∥A′D′，A′B′=1，A′D′=2B′C′=2，则平面图形ABCD的周长为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.已知向量且向量在向量上的投影向量为，则=（ ）
A. -1B. C. D. 1
7.如图，在△ABC中，，N为线段AM上的一点，若，则λμ的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，公路一侧有一幢楼OP，公路与楼底O在同一平面上，小明在公路上行走，在点A处测得楼顶P的仰角为45°，行走100米到达B处，测得楼顶P的仰角为37°，再行走100米到达点C处，测得楼顶P的仰角为30°，则楼OP的高为（ ）
参考数据：.
A. 米B. 米C. 300米D. 米
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若复数z为纯虚数，则（ ）
A. 为实数B. 为实数C. z2为实数D. 为实数
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是（ ）
A. 若A＞B，则sinA＞sinB
B. 若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是锐角三角形
C. 若A=30°，b=5，a=2，则△ABC有两解
D. 若△ABC的面积为S，且，则
11.如图，在四面体ABCD中，E，F分别为棱BA，BC的中点，点H，G分别在棱DA，DC上，且AH=3HD，CG=3GD，则下列说法正确的是（ ）
A. E，F，A，G四点共面
B. AC∥平面EFH
C. FH与AG是异面直线
D. 直线EH，FG，BD相交于一点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正四棱台的上、下底面边长分别是3cm和9cm,侧棱长为5cm,则该棱台的表面积为 cm2.
13.已知3-2i是关于x的方程x2+mx+n=0（m,n∈R）的一个根，其中i为虚数单位，则2m+n= .
14.已知O为△ABC的外心，且满足，则sinC的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1（0，1），Z2（2，-1）.
（1）若z=z1-z2，求|z|；
（2）若复数z=z1+mz1z2在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
16.(本小题15分)
已知向量=（3，-1），||=2.
（1）求与垂直的单位向量的坐标；
（2）若∥，求的坐标；
（3）若（5+）⊥，求与的夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱DD1上的一点，且D1E=D，点F是棱BB1上的一点，且B1F=B.
（1）若正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的球面上，球O的表面积为12π，求球O的体积及正方体ABCD-A1B1C1D1的体积；
（2）若A1E∩平面ABCD=P，A1F∩平面ABCD=R，EF∩平面ABCD=Q，证明：P，R，Q三点共线.
18.(本小题17分)
如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面PBC∩平面APD=l.
（1）证明：l∥BC；
（2）求证：MN∥平面PAD；
（3）直线PB上是否存在点H，使得平面NKH∥平面ABCD？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求A；
（2）若△ABC是锐角三角形，且b=2，求△ABC的周长的取值范围；
（3）若b=3，c=2，等边△DEF的顶点D，E，F分别在边AB，BC，CA上（不含端点），求△DEF的面积的最小值.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】AD
11.【答案】BCD
12.【答案】186
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】；
．
16.【答案】设与垂直的单位向量的坐标为（m,n），
因为=（3，-1），所以，
解得或，
所以与垂直的单位向量的坐标为或
因为，设，
因为||=2，
所以，解得λ=±2，
所以或
因为，
所以，解得，
设与的夹角为θ，
因为向量=（3，-1），所以，
因为||=2，所以，
所以与的夹角的余弦值为
17.【答案】4，8 因为A1E∩平面ABCD=P，所以P∈平面ABCD，且P∈A1E，
又A1E⊂平面A1EF，所以P∈平面A1EF，
同理，R∈平面A1EF，R∈平面ABCD，所以平面A1EF∩平面ABCD=PR，
同理，Q∈平面ABCD，Q∈平面A1EF，所以Q∈PR，
即P，R，Q三点共线
18.【答案】因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
所以BC∥平面PAD，
又平面PAD∩平面PBC=l，BC⊂平面PBC，
所以l∥BC 取PD的中点F，连接AF，FN，
因为N是PC的中点，所以FN∥，
在平行四边形ABCD中，AM∥，
所以AM∥FN，AM=FN，
即四边形AFNM为平行四边形，
所以AF∥NM，
又AF⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
所以MN∥平面PAD．
存在，当H为PB中点时，平面NKH∥平面ABCD．证明过程如下：
取PB的中点为H，连接KH，NH，
因为N是PC的中点，所以HN∥BC，
又HN⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以HN∥平面ABCD，
同理可得，KH∥平面ABCD，
又KH，HN⊂平面KNH，KH∩HN=H，
所以平面KNH∥平面ABCD．

19.【答案】