2025--2026学年内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学高一下学期5月期中检测数学试卷-含解析

这是一份2025--2026学年内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学高一下学期5月期中检测数学试卷-含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8个小题，每小题题5分，共40分.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. 2B. 4C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若圆锥的母线长为 ，高为 ，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
7. 在中，、、分别为内角、、的对边，若，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在三棱锥中，三条棱，，两两相互垂直，，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.
9. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 直线与面所成角为
C. 线段D. 直线面
11. 在中，角所对的边分别为，，，O为的外接圆的圆心，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的外接圆的半径为2
C. D. 面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 半径为的球的表面积为_____
13. 已知向量，，且，则______.
14. 已知正四棱锥的底面边长为6，高为，则正四棱锥外接球的体积为___________________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15. 已知向量．
（1）求：
（2）求与的夹角大小．
16. 在中，已知．
（1）求的值；
（2）若，且，求的面积．
17. 如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）求异面直线与所成的角的大小．
18. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量
（1）若 求A；
（2）若 求的面积.
19. 如图，四面体中，、分别是、的中点，、分别是、边上的点，且（）.
（1）证明：、、、四点共面；
（2）设四面体的各棱长均为6.
（ⅰ）当时，求四边形的周长；
（ⅱ）求四面体外接球与内切球的半径.
数学
考试时间：150分钟；
一、单选题：本题共8个小题，每小题题5分，共40分.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. 2B. 4C. D.
答案：C
解析：
思路：根据模长公式运算即可得解.
解答过程：因为,所以.​
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由，得，则.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：已知向量，，，
，解得．
4. 若圆锥的母线长为 ，高为 ，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先由圆锥的母线和高的长求出底面半径，再由体积公式计算即得.
解答过程：由题意，圆锥的母线，高，则底面半径 ，
故其体积 .
故选：B.
5. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：方法一、根据直观图还原到原图形即可求面积，方法二、根据直接求解.
解答过程：方法一、设矩形与相交于点，则原图形如下，

，则，
所以.
方法二、由，所以.
故选：C.
6. 已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
答案：B
解析：
解答过程：对于A，若，，则两直线可以平行，可以垂直，可以异面，因此A错误；
对于B，若，，则，因此B正确；
对于C，当时，若，可以满足，但不成立，即C错误；
对于D，若，，也可能满足，所以D错误.
7. 在中，、、分别为内角、、的对边，若，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由正弦定理及已知条件可得，令，则，，结合余弦定理可求得的值.
解答过程：因为，所以由正弦定理得，又因为，所以，
令，则，，
所以由余弦定理得，
故选：D.
8. 在三棱锥中，三条棱，，两两相互垂直，，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用等积法可求点面距.
解答过程：设点到平面的距离为，
因为，且，，两两相互垂直，
故，故的面积为，
因为平面，
故平面，故，
故，故.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.
9. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
答案：BCD
解析：
思路：利用空间中线面和面面的位置关系逐项判断即可.
解答过程：对于A，线与平面平行，直线并不与平面内的每一条直线平行，A错误：
对于B，若直线与平面垂直，则直线与平面内的每一条直线都垂直，B正确；
对于C，由线面平行性质定理可知，C选项正确；
对于D，结合正方形模型及线面垂直定义可知D选项正确.
故选：BCD.
10. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 直线与面所成角为
C. 线段D. 直线面
答案：ABD
解析：
思路：对于A，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；对于B，利用线面角的定义即可得解；对于C，正中求解即可；对于D，利用线面平行的判定理证得即可.
解答过程：对于A，因为在正三棱柱中，面，而面，所以，
因为底面是正三角形，为棱的中点，所以，
又面，所以面，
因为面，所以，故A正确；
对于B，因为在正三棱柱中，面，所以为直线与面所成角，
因为面，所以，又，
所以，则，故B正确；
对于C，在正中，，则，
所以，故C错误；
对于D，记的中点为，连接，如图，
因为是的中点，又易知四边形是平行四边形，所以，
因为，所以，所以四边形是平行四边形，则，
又面，面，所以直线面，故D正确.
故选：ABD.
11. 在中，角所对的边分别为，，，O为的外接圆的圆心，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的外接圆的半径为2
C. D. 面积的最大值为
答案：AD
解析：
思路：根据正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式和特殊角的三角函数值计算判断A,B,利用向量的数量积公式、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式计算判断C,D.
解答过程：在中，因为，所以由正弦定理得，
又，
所以，所以，
对于A，因为，则，所以，因为，所以，故A正确；
对于B,由正弦定理得外接圆半径，故B错误；
对于C,如图1，，故C错误；
对于D,由余弦定理得：，
当且仅当时取等号，因此，故D正确，
故选：AD.

三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 半径为的球的表面积为_____
答案：
解析：
解答过程：因为球的半径为，所以球的表面积为.
13. 已知向量，，且，则______.
答案：
解析：
解答过程：由.
所以.
14. 已知正四棱锥的底面边长为6，高为，则正四棱锥外接球的体积为___________________.
答案：
解析：
思路：由，得正四棱锥的外接球球心为，半径为，可求外接球的体积.
解答过程：正四棱锥中，设，连接，则平面，
设正四棱锥的外接球球心为，则在直线上，
因为正四棱锥的高为，所以，
底面正方形的边长为6，则有，所以即为，
正四棱锥的外接球半径为，外接球的体积为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15. 已知向量．
（1）求：
（2）求与的夹角大小．
答案：（1）
（2）解析：
（1），.
（2）设两向量夹角为，，，
，
因此，结合的范围得.
16. 在中，已知．
（1）求的值；
（2）若，且，求的面积．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）分析可得，利用三角形的面积公式求解即可.
（1）由余弦定理可得，
又因为，故.
（2）因为，则，故的面积为.
17. 如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）求异面直线与所成的角的大小．
答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：
思路：（1）连接，利用三角形中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）由和可知或其补角即为所求，再利用余弦定理求解即可．
（1）连接，由已知条件，点分别为棱的中点，
故有，
又平面，平面，
所以直线平面；
（2）由（1）可知，，
故或其补角为异面直线与所成的角．
因为，，，所以，
根据直三棱柱性质可知，，所以，
，
在中，由余弦定理得，
又，故，
即异面直线与所成的角的大小为．
18. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量
（1）若 求A；
（2）若 求的面积.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可.
（2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可.
（1）因为所以①.
又由正弦定理，即，代入①式，
可得，整理得，
又，所以，解得.
（2）因为，所以，
即，又，所以.
因为，由余弦定理可得，
即，解得或（舍去）.
故.
19. 如图，四面体中，、分别是、的中点，、分别是、边上的点，且（）.
（1）证明：、、、四点共面；
（2）设四面体的各棱长均为6.
（ⅰ）当时，求四边形的周长；
（ⅱ）求四面体外接球与内切球的半径.
答案：（1）证明过程见解析
（2）（ⅰ）周长为；（ⅱ）外接球半径为，内切球半径为
解析：
思路：（1）得到，得到四点共面；
（2）（ⅰ）由余弦定理等知识求出各边长，相加求周长；
（ⅱ）作出辅助线，根据外接球半径相等得到方程，求出外接球半径，并根据三角形相似得到内切球半径
（1）、分别是、的中点，故为的中位线，
故，
、分别是、边上的点，，故，
故，、、、四点共面；
（2）四面体的各棱长均为6，
故均为等边三角形，
，，故，，
且，
又，
在中，，由余弦定理得
，
同理可得，
所以四边形的周长为.
（ⅱ）连接，过点作⊥平面于点，则在上，且，
设四面体外接球的球心为，半径为，连接，则，
因为，由勾股定理得，，
故，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得；
如图所示，点为四面体内切球球心，内切球与切于点，
与切于点，设内切球半径为，
连接，则，
显然∽，故，
即，解得，
所以外接球半径为，内切球半径为