宁德市2027年高考临考冲刺数学试卷（含答案解析）

这是一份宁德市2027年高考临考冲刺数学试卷（含答案解析），共3页。试卷主要包含了已知数列满足，则，若复数满足，则的虚部为等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）
A．B．C．D．1
2．设，命题“存在，使方程有实根”的否定是( )
A．任意，使方程无实根
B．任意，使方程有实根
C．存在，使方程无实根
D．存在，使方程有实根
3．设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．充分不必要条件
4．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．复数的共轭复数是
C．D．
6．已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
7．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则的取值范围是（ ）.

A．B．C．D．
8．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．5B．C．D．-5
9．已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．对于定义在上的函数，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是（ ）
A．在上是减函数B．在上是增函数
C．不是函数的最小值D．对于，都有
11．已知的值域为，当正数a，b满足时，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．9
12． “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足，则的最小值为________.
14．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则的值为______.
15．已知数列是等比数列，，则__________.
16．记复数z＝a+bi（i为虚数单位）的共轭复数为，已知z＝2+i，则_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.
(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
(2)若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值．
18．（12分）已知函数（），是的导数.
（1）当时，令，为的导数.证明：在区间存在唯一的极小值点；
（2）已知函数在上单调递减，求的取值范围.
19．（12分）已知椭圆的焦点为，，离心率为，点P为椭圆C上一动点，且的面积最大值为，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点，为椭圆C上的两个动点，当为多少时，点O到直线MN的距离为定值.
20．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，，，，恰为等比数列的前3项．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和为；若对均满足，求整数的最大值；
（3）是否存在数列满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
21．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，在锐角中，E是边PD上一点，且.
（1）求证：平面ACE；
（2）当PA的长为何值时，AC与平面PCD所成的角为？
22．（10分）设函数.
（1）解不等式；
（2）记的最大值为，若实数、、满足，求证：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
连结并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，推导出OH∥RQ，且OH＝RQ＝，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长．
【详解】
如图，
MN为该直线被球面截在球内的线段
连结并延长PO，交对棱C1D1于R，
则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，
∴OH∥RQ，且OH＝RQ＝，
∴MH＝＝＝，
∴MN＝．
故选：C．
本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2、A
【解析】
只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.
【详解】
由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是
“任意，使方程无实根”.
故选：A
本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题.
3、D
【解析】
充分性中，由向量数乘的几何意义得，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得，不一定有正数，使得，所以不成立，即可得答案.
【详解】
充分性：若存在正数，使得，则，，得证；
必要性：若，则，不一定有正数，使得，故不成立；
所以是充分不必要条件
故选：D
本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题.
4、B
【解析】
先列举出不超过的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，满足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
不超过的素数有：、、、、、，
在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种情况，
其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、、、，共种情况，
因此，所求事件的概率为.
故选：B.
本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.
5、D
【解析】
首先求得，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
由题意知复数，则，所以A选项不正确；复数的共轭复数是，所以B选项不正确；，所以C选项不正确；，所以D选项正确.
故选：D
本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.
6、C
【解析】
利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.
【详解】
.
当时，；
当时，由，
可得，
两式相减，可得，故，
因为也适合上式，所以.
依题意，，
故.
故选：C.
本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.
7、C
【解析】
框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n.
【详解】
第一次循环：；第二次循环：；
第三次循环：；第四次循环：；
此时满足输出结果，故.
故选：C.
本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题.
8、C
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
由（1+i）z＝|3+4i|，
得z，
∴z的虚部为．
故选C．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
9、D
【解析】
先将所求问题转化为对任意恒成立，即得图象恒在函数
图象的上方，再利用数形结合即可解决.
【详解】
由得，由题意函数得图象恒在函数图象的上方，
作出函数的图象如图所示
过原点作函数的切线，设切点为，则，解得，所以切
线斜率为，所以，解得.
故选：D.
本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题.
10、B
【解析】
根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可．
【详解】
由得关于对称，
若关于对称，则函数在上不可能是单调的，
故错误的可能是或者是，
若错误，
则在，上是减函数，在在上是增函数，则为函数的最小值，与矛盾，此时也错误，不满足条件．
故错误的是，
故选：．
本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键．
11、A
【解析】
利用的值域为,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出的最小值.
【详解】
解：∵的值域为,
∴,
∴,
∴
,
当且仅当时取等号,
∴的最小值为.
故选：A.
本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.
12、A
【解析】
首先利用二倍角正切公式由，求出，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】
解：∵，∴可解得或，
∴“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、5
【解析】
先作出可行域，再做直线，平移，找到使直线在y轴上截距最小的点，代入即得。
【详解】
作出不等式组表示的平面区域，如图，令，则，作出直线，平移直线，由图可得，当直线经过C点时，直线在y轴上的截距最小，由，可得，因此的最小值为.
故答案为：4
本题考查不含参数的线性规划问题，是基础题。
14、32
【解析】
由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.
【详解】
由题可知，抽取的比例为，被调查的总人数为人，
则分层抽样的样本容量是人.
故答案为：32
本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题.
15、
【解析】
根据等比数列通项公式，首先求得，然后求得.
【详解】
设的公比为，由，得，故.
故答案为：
本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.
16、3﹣4i
【解析】
计算得到z2＝（2+i）2＝3+4i，再计算得到答案.
【详解】
∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝3+4i，则．
故答案为：3﹣4i．
本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根据韦达定理可得结果
试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0
又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0
设t1，t2是上述方程的两实数根，
所以t1+t2=3
又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．
18、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）设，，注意到在上单增，再利用零点存在性定理即可解决；
（2）函数在上单调递减，则在恒成立，即在上恒成立，构造函数，求导讨论的最值即可.
【详解】
（1）由已知，，所以，
设，，
当时，单调递增，而，，且在上图象连续
不断.所以在上有唯一零点，
当时，；当时，；
∴在单调递减，在单调递增，故在区间上存在唯一的极小
值点，即在区间上存在唯一的极小值点；
（2）设，，，
∴在单调递增，，
即，从而，
因为函数在上单调递减，
∴在上恒成立，
令，
∵，
∴，
在上单调递减，，
当时，，则在上单调递减，，符合题意.
当时，在上单调递减，
所以一定存在，
当时，，在上单调递增，
与题意不符，舍去.
综上，的取值范围是
本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.
19、（1）；（2）当＝0时，点O到直线MN的距离为定值.
【解析】
（1）的面积最大时，是短轴端点，由此可得，再由离心率及可得，从而得椭圆方程；
（2）在直线斜率存在时，设其方程为，现椭圆方程联立消元（）后应用韦达定理得，注意，一是计算，二是计算原点到直线的距离，两者比较可得结论．
【详解】
（1）因为在椭圆上，当是短轴端点时，到轴距离最大，此时面积最大，所以，由，解得，
所以椭圆方程为．
（2）在时，设直线方程为，原点到此直线的距离为，即，
由，得，
，，
所以，，
，
所以当时，，，为常数．
若，则，，，，，
综上所述，当＝0时，点O到直线MN的距离为定值.
本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式．
20、（2），（2），的最大整数是2．（3）存在，
【解析】
（2）由可得（），然后把这两个等式相减，化简得，公差为2，因为，，为等比数列，所以，化简计算得，，从而得到数列的通项公式，再计算出 ，，，从而可求出数列的通项公式；
（2）令，化简计算得，从而可得数列是递增的，所以只要的最小值大于即可，而的最小值为，所以可得答案；
（3）由题意可知，，
即，这个可看成一个数列的前项和，再写出其前（）项和，两式相减得，，利用同样的方法可得.
【详解】
解：（2）由题，当时，，即
当时， ① ②
①-②得，整理得，又因为各项均为正数的数列．
故是从第二项的等差数列，公差为2．
又恰为等比数列的前3项，
故，解得．又，
故，因为也成立．
故是以为首项，2为公差的等差数列．故．
即2，4，8恰为等比数列的前3项，故是以为首项，公比为的等比数列，
故．综上，
（2）令，则


所以数列是递增的，
若对均满足，只要的最小值大于即可
因为的最小值为，
所以，所以的最大整数是2．
（3）由，得
，
③
④
③-④得， ⑤，
⑥
⑤-⑥得，，
所以存在这样的数列，
此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，最值，恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
21、（1）证明见解析；（2）当时，AC与平面PCD所成的角为.
【解析】
（1）连接交于，由相似三角形可得，结合得出，故而平面；
（2）过作，可证平面，根据计算，得出的大小，再计算的长．
【详解】
（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，
，，
又平面ACE，平面ACE，
平面ACE.
（2），，
平面PAD
作，F为垂足，连接CF
平面PAD，平面PAD.
，有，，平面
就是AC与平面PCD所成的角，，
，，
，
，
时，AC与平面PCD所成的角为.
本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题．
22、（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）采用零点分段法：、、，由此求解出不等式的解集；
（2）先根据绝对值不等式的几何意义求解出的值，然后利用基本不等式及其变形完成证明.
【详解】
（1）当时，不等式为，解得
当时，不等式为，解得
当时，不等式为，解得
∴原不等式的解集为
（2）
当且仅当即时取等号，
∴，∴
∵，∴，
∴（当且仅当时取“”）
同理可得，
∴
∴（当且仅当时取“”）
本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式证明不等式，难度一般.（1）常见的绝对值不等式解法：零点分段法、图象法、几何意义法；（2）利用基本不等式完成证明时，注意说明取等号的条件.
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