2027年普洱市高考临考冲刺数学试卷（含答案解析）

这是一份2027年普洱市高考临考冲刺数学试卷（含答案解析），共3页。试卷主要包含了阿波罗尼斯等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）．
A．B．C．D．
3．已知，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（ ）
A．B．C．D．
7．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（ ）
A．B．4C．D．2
8．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点，间的距离为2，动点与，的距离之比为，当，，不共线时，的面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上的一点，且.若直线与双曲线E的渐近线交于点M，且M为的中点，则双曲线E的渐近线方程为( )
A．B．C．D．
10．已知等差数列中，若，则此数列中一定为0的是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，正四面体的体积为，底面积为，是高的中点，过的平面与棱、、分别交于、、，设三棱锥的体积为，截面三角形的面积为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
12．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则的值为 ____
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，则数列{}前2020项和为_____
15．双曲线的焦距为__________，渐近线方程为________．
16．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，角所对的边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求边长.
18．（12分）如图在四边形中，，，为中点，.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
19．（12分）购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示
.
（1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取人，记对购车补贴金额的心理预期值高于万元的人数为，求的分布列和数学期望；
（3）统计最近个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：
试预计该品牌汽车在年月份的销售量约为多少万辆？
附：对于一组样本数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
20．（12分）已知动圆经过点，且动圆被轴截得的弦长为，记圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的标准方程；
（2）设点的横坐标为，，为圆与曲线的公共点，若直线的斜率，且，求的值．
21．（12分）已知椭圆，左、右焦点为，点为上任意一点，若的最大值为3，最小值为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线过点与交于两点，在轴上是否存在定点，使成立，说明理由.
22．（10分）已知函数.
（1）若函数，试讨论的单调性；
（2）若，，求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.
【详解】
，函数是奇函数，排除，
时，，时，，排除，
当时，，
时，，排除，
符合条件，故选C.
本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.
2、A
【解析】
先化简求出，即可求得答案.
【详解】
因为，
所以
所以
故选：A
此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.
3、D
【解析】
由指数函数的图像与性质易得最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系，进而得解.
【详解】
根据指数函数的图像与性质可知，
由对数函数的图像与性质可知，，所以最小；
而由对数换底公式化简可得
由基本不等式可知，代入上式可得
所以，
综上可知，
故选：D.
本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.
4、A
【解析】
将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程.
【详解】
曲线，即，
当时，代入可得，所以切点坐标为，
求得导函数可得，
由导数几何意义可知，
由点斜式可得切线方程为，即，
故选：A.
本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.
5、D
【解析】
设，由，得，利用复数相等建立方程组即可.
【详解】
设，则，所以，
解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限.
故选：D.
本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
6、D
【解析】
利用，根据诱导公式进行化简，可得，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.
【详解】
由
所以
，
所以原式
所以原式
故
故选：D
本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.
7、D
【解析】
由得，又，两式相除即可解出．
【详解】
解：由得，
又，
∴，∴，或，
又正项等比数列得，
∴，
故选：D．
本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．
8、A
【解析】
根据平面内两定点，间的距离为2，动点与，的距离之比为，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结合求解.
【详解】
如图所示：
设，，，则，
化简得，
当点到（轴）距离最大时，的面积最大，
∴面积的最大值是.
故选：A.
本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
9、C
【解析】
由双曲线定义得，，OM是的中位线，可得，在中，利用余弦定理即可建立关系，从而得到渐近线的斜率.
【详解】
根据题意，点P一定在左支上.
由及，得，，
再结合M为的中点，得，
又因为OM是的中位线，又，且，
从而直线与双曲线的左支只有一个交点.
在中.——①
由，得. ——②
由①②，解得，即，则渐近线方程为.
故选：C.
本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.
10、A
【解析】
将已知条件转化为的形式，由此确定数列为的项.
【详解】
由于等差数列中，所以，化简得，所以为.
故选：A
本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.
11、A
【解析】
设，取与重合时的情况，计算出以及的值，利用排除法可得出正确选项.
【详解】
如图所示，利用排除法，取与重合时的情况.
不妨设，延长到，使得．
，，，，则，
由余弦定理得，
，，
又，，
当平面平面时，，，排除B、D选项；
因为，，此时，，
当平面平面时，，，排除C选项.
故选：A.
本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．
12、D
【解析】
根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.
【详解】
设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．
本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】
根据的正负值，代入对应的函数解析式求解即可.
【详解】
解：
.
故答案为：.
本题考查分段函数函数值的求解，是基础题.
14、
【解析】
由已知可得•4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn，n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得：2（）.利用裂项求和方法即可得出.
【详解】
∵⊥，∴•4Sn﹣n（n+3）＝0，
∴Sn，n＝1时，a1＝S1＝1.
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.
，满足上式，.
∴2（）.
∴数列{}前2020项和为
2（1）＝2（1）.
故答案为：.
本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
15、6
【解析】
由题得 所以焦距,故第一个空填6.
由题得渐近线方程为.故第二个空填.
16、
【解析】
首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.
【详解】
根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
所以该验证码的中间数字是7的概率为.
故答案为：
本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）； （2）.
【解析】
（1）把代入已知条件，得到关于的方程，得到的值，从而得到的值.
（2）由（1）中得到的的值和已知条件，求出，再根据正弦定理求出边长.
【详解】
（1）因为，，
所以，，
所以，即.
因为，所以，
因为，所以.
（2）
.
在中，由正弦定理得，
所以，解得.
本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.
18、（1）1；（2）
【解析】
（1），在和中分别运用余弦定理可表示出，运用算两次的思想即可求得，进而求出；
（2）在中，根据余弦定理和基本不等式，可求得，再由三角形的面积公式以及正弦函数的有界性，求出的面积的最大值．
【详解】
（1）由题设，则
在和中由余弦定理得：
，即
解得，∴
（2）在中由余弦定理得，
即，∴
所以面积的最大值为，此时.
本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
19、（1）1.7；（2），见解析；（2）2.
【解析】
（1）平均数的估计值为每个小矩形组中值乘以小矩形面积的和；
（2）易得，由二项分布列的期望公式计算；
（3）利用所给公式计算出回归直线即可解决.
【详解】
（1）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数的估计值为
，所以方差的估计
值为
；
（2）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的
频率为，则，所以的分布列为
，数学期望；
（3）将 2018年11月至2019年3月的月份数依次编号为 1，2，3，4，5，
记 ，，，，，，由 散 点 图可知，
5组样本数据呈线性相关关系，因为，，，
，则，，
所以回归直线方程为，当时，，预计该品
牌汽车在年月份的销售量约为2万辆.
本题考查平均数、方差的估计值、二项分布列及其期望、线性回归直线方程及其应用，是一个概率与统计的综合题，本题是一道中档题.
20、见解析
【解析】
（1）设，则点到轴的距离为，
因为圆被轴截得的弦长为，所以，
又，所以，
化简可得，所以曲线的标准方程为．
（2）设，，
因为直线的斜率，所以可设直线的方程为，
由及，消去可得，所以，，
所以．
设线段的中点为，点的纵坐标为，则，，
所以直线的斜率为，所以，所以，
所以．
易得圆心到直线的距离，
由圆经过点，可得，
所以，整理可得，
解得或，所以或，
又，所以．
21、（1）（2）存在；详见解析
【解析】
（1）由椭圆的性质得，解得后可得，从而得椭圆方程；
（2）设，当直线斜率存在时，设为，代入椭圆方程，整理后应用韦达定理得，代入＝0由恒成立问题可求得．验证斜率不存在时也适合即得．
【详解】
解：（1）由题易知解得，
所以椭圆方程为
（2）设
当直线斜率存在时，设为与椭圆方程联立得
，显然
所以
因为
化简
解得即
所以此时存在定点满足题意
当直线斜率不存在时，显然也满足
综上所述，存在定点，使成立
本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法．设而不求思想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法．
22、（1）答案不唯一，具体见解析（2）
【解析】
（1）由于函数，得出，分类讨论当和时，的正负，进而得出的单调性；
（2）求出，令，得，设，通过导函数，可得出在上的单调性和值域，再分类讨论和时，的单调性，再结合，恒成立，即可求出的取值范围.
【详解】
解：（1）因为，
所以，
①当时，，在上单调递减.
②当时，令，则；令，则，
所以在单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，可知，
，
令，得.
设，则.
当时，，在上单调递增，
所以在上的值域是，即.
当时，没有实根，且，
在上单调递减，，符合题意.
当时，，
所以有唯一实根，
当时，，在上单调递增，，不符合题意.
综上，，即的取值范围为.
本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计算能力，属于难题.
月份
销售量（万辆）