西师大版（2024）你知道吗？两鼠穿垣第2课时教案

这是一份西师大版（2024）你知道吗？两鼠穿垣第2课时教案，共3页。教案主要包含了课时目标，教学重点，教学难点，教学准备，教学过程，板书设计，课堂练习，课后作业等内容，欢迎下载使用。
1.知识与技能：
能熟练运用正、负数表示“两鼠穿垣”中的相反意义的量；掌握“两鼠穿垣”中相遇时间、穿墙长度的计算方法，能正确进行相关的分数运算；能解决与“两鼠穿垣”类似的拓展问题。
2.数学思考：
通过梳理“两鼠穿垣”的数量关系，进一步培养学生的数学建模能力和逻辑推理能力；在计算过程中，发展学生的运算能力和抽象思维能力。
3.问题解决：
能独立解决“两鼠穿垣”的核心问题，掌握列表法、分步计算法等解题策略；能将所学知识迁移到类似的数学问题中，提升问题解决的灵活性。
4.情感态度：
在解决古算题的过程中，体验数学探究的乐趣，增强克服困难的信心；进一步感受数学文化的魅力，培养严谨的数学思维习惯。
【教学重点】
1.掌握“两鼠穿垣”中相遇时间、穿墙长度的计算方法。
2.能运用正、负数和分数运算解决相关的数学问题。
【教学难点】
理解“两鼠穿垣”中数量的变化规律，准确计算相遇时的时间和各自穿墙的长度，建立对应的数学模型。
【教学准备】
多媒体课件（包含“两鼠穿垣”解题过程、拓展练习题）、学习单、直尺。
【教学过程】
导入新课
1.复习回顾：上节课我们认识了相反意义的量，并用正、负数表示了“两鼠穿垣”中的相关量。谁能说说“两鼠穿垣”的题意，以及其中的相反意义的量有哪些？（预设答案：垣厚5尺，两鼠对穿，大鼠日自倍，小鼠日自半；相反意义的量有左与右、递增与递减等）2.提出问题：我们已经知道了两鼠每天穿墙的长度变化规律，那它们到底几天能相遇？相遇时各穿了多少尺呢？今天我们就来解决这个核心问题。（板书课题：两鼠穿垣——解决问题）
环节一：梳理数量关系，探究解题方法
1.课件出示“两鼠穿垣”核心问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺；大鼠日自倍，小鼠日自半。问几何日相逢？各穿几何？
2.引导学生梳理已知条件：
（1）墙厚：5尺；
（2）大鼠：第一天穿1尺，每天穿的长度是前一天的2倍（日自倍）；
（3）小鼠：第一天穿1尺，每天穿的长度是前一天的一半（日自半）；
（4）两鼠从两侧对穿，求相遇时间和各自穿墙的长度。
3.小组合作探究：请同学们以小组为单位，讨论如何解决这个问题。可以用列表法、分步计算法等，记录每天两鼠穿墙的长度、累计穿墙长度，以及剩余墙厚。（每组发放探究记录表）
4.小组汇报，教师引导梳理解题过程：
（1）列表梳理：
（2）分析：前2天累计穿墙9/2=4.5尺，剩余墙厚1/2尺，第3天两鼠继续穿墙，此时剩余的1/2尺会在第3天相遇。
5.计算相遇时间和各自穿墙长度：
（1）第3天剩余墙厚：1/2尺；
（2）第3天两鼠每天的穿墙速度和：4 + 1/4=17/4尺/天；
（3）第3天相遇所需时间：(1/2)÷(17/4)=2/17天；
（4）总相遇时间：2 + 2/17=36/17天（约2.12天）；
（5）大鼠总穿墙长度：第1天1尺 + 第2天2尺 + 第3天4×(2/17)=1+2+8/17=59/17尺；
（6）小鼠总穿墙长度：第1天1尺 + 第2天1/2尺 + 第3天1/4×(2/17)=1+1/2+1/34=26/17尺。
6.验证：59/17 + 26/17=85/17=5尺，与墙厚一致，解题正确。
[设计意图]
通过小组合作探究，引导学生梳理数量关系，掌握列表法和分步计算法解决“两鼠穿垣”的核心问题，培养学生的逻辑推理能力和运算能力，突破教学难点。
环节二：巩固练习，强化解题方法
1.课件出示练习题：若墙厚8尺，两鼠对穿，大鼠日自倍，小鼠日自半，第一天各穿1尺，问几天能相遇？相遇时各穿多少尺？
2.学生独立完成，教师巡视指导，重点关注学生对数量关系的梳理和分数运算的准确性。
3.指名汇报解题过程，预设答案：
（1）列表梳理：
（2）计算：前2天累计穿墙9/2=4.5尺，剩余7/2尺；第3天速度和17/4尺/天，相遇时间：(7/2)÷(17/4)=14/17天；总相遇时间：2 + 14/17=48/17天；大鼠总穿墙：1+2+4×(14/17)=3+56/17=107/17尺；小鼠总穿墙：1+1/2+1/4×(14/17)=3/2+7/34=58/17尺。
4.教师点评，强调解题关键：先梳理每天的穿墙长度和累计长度，确定相遇的天数，再计算剩余长度和相遇时间，最后求出各自的穿墙长度。
[设计意图]
通过变式练习，让学生巩固“两鼠穿垣”的解题方法，提升学生的运算能力和问题解决能力，同时强化对相反意义的量和数量变化规律的理解。
环节三：拓展延伸，迁移应用知识
1.拓展问题：有两列火车从相距360千米的两地相对开出，甲车每小时行驶60千米，乙车每小时行驶40千米，甲车速度每小时增加10千米，乙车速度每小时减少5千米，几小时后两车相遇？相遇时两车各行驶了多少千米？（提示：类比“两鼠穿垣”的解题方法，梳理两车的速度变化和行驶路程）
2.学生独立思考，尝试解决，教师引导学生建立类比关系：两车相对行驶→两鼠对穿；速度变化→穿墙长度变化；相遇时间→相遇时间；行驶路程→穿墙长度。
3.指名汇报解题过程，预设答案：
（1）梳理每天（每小时）的速度和路程：
（2）计算：前3小时累计行驶315千米，剩余45千米；第4小时速度和115千米/小时，相遇时间：45÷115=9/23小时；总相遇时间：3 + 9/23=78/23小时；甲车总行驶路程：60+70+80+90×(9/23)=210+810/23=5640/23千米；乙车总行驶路程：40+35+30+25×(9/23)=105+225/23=2640/23千米。
4.教师小结：这类相对运动、且速度（或长度）有规律变化的问题，都可以类比“两鼠穿垣”的解题方法，通过梳理数量变化、分步计算来解决。
[设计意图]
通过拓展延伸，引导学生将“两鼠穿垣”的解题方法迁移到类似的数学问题中，培养学生的知识迁移能力和应用意识，提升学生的数学思维水平。
环节四：课堂小结
提问：今天我们解决了“两鼠穿垣”的核心问题，你掌握了哪些解题方法？有哪些新的收获？
2.学生自由发言，教师总结：本节课我们通过列表法、分步计算法解决了“两鼠穿垣”的相遇问题，掌握了分数运算在实际问题中的应用，还学会了将古算题的解题方法迁移到类似的数学问题中。希望同学们今后能运用所学知识，解决更多的数学问题，感受数学的魅力。
【板书设计】
两鼠穿垣——解决问题
1.已知条件：垣厚5尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，首日各穿1尺。2.解题步骤：
（1）列表梳理：每天穿墙长度、累计长度、剩余长度；
（2）确定相遇天数：前2天累计4.5尺，剩余0.5尺，第3天相遇；
（3）计算相遇时间：2 + (1/2)÷(4+1/4)=36/17天；
（4）计算穿墙长度：大鼠59/17尺，小鼠26/17尺。3.方法迁移：相对运动、规律变化问题，可类比解决。
【课堂练习】
一、填空题
1.“两鼠穿垣”中，大鼠第一天穿1尺，第二天穿（ ）尺，第三天穿（ ）尺；小鼠第一天穿1尺，第二天穿（ ）尺，第三天穿（ ）尺。
（预设答案：2；4；1/2；1/4）2.若墙厚5尺，前2天两鼠累计穿墙（ ）尺，剩余（ ）尺，第3天两鼠的速度和是（ ）尺/天。
（预设答案：9/2；1/2；17/4）3.两鼠相遇的总时间是（ ）天，相遇时大鼠穿了（ ）尺，小鼠穿了（ ）尺。
（预设答案：36/17；59/17；26/17）
二、判断题
1.“两鼠穿垣”中，大鼠每天穿墙的长度是前一天的2倍，小鼠每天穿墙的长度是前一天的1/2。（ ）
（预设答案：√）2.两鼠相遇时，各自穿墙的长度之和等于墙的厚度。（ ）
（预设答案：√）3.计算相遇时间时，只需要计算每天的速度和，不需要考虑剩余墙厚。（ ）
（预设答案：×）
三、选择题
1.“两鼠穿垣”中，第2天两鼠一共穿墙的长度是（ ）A.2尺 B.5/2尺 C.9/2尺（预设答案：B）2.若墙厚6尺，按照“两鼠穿垣”的规律，前3天两鼠累计穿墙的长度是（ ）A.35/4尺 尺 C.9尺（预设答案：A）3.下列关于“两鼠穿垣”解题方法的说法，错误的是（ ）A.可以用列表法梳理数量关系 B.相遇时间一定是整数天 C.需要用分数运算计算剩余时间（预设答案：B）
四、解决问题
1.墙厚7尺，两鼠对穿，大鼠日自倍，小鼠日自半，第一天各穿1尺，求相遇时间和相遇时两鼠各穿的长度。
（预设答案：前2天累计9/2=4.5尺，剩余7-4.5=2.5尺=5/2尺；第3天速度和17/4尺/天，相遇时间：(5/2)÷(17/4)=10/17天；总相遇时间：2 + 10/17=44/17天；大鼠总穿墙：1+2+4×(10/17)=3+40/17=91/17尺；小鼠总穿墙：1+1/2+1/4×(10/17)=3/2+5/34=56/17尺）2.类比“两鼠穿垣”，解决下列问题：两列火车从相距400千米的两地相对开出，甲车每小时行驶50千米，乙车每小时行驶30千米，甲车速度每小时增加5千米，乙车速度每小时减少3千米，几小时后两车相遇？相遇时两车各行驶了多少千米？（预设答案：|时间（小时）|甲车速度（千米/小时）|乙车速度（千米/小时）|速度和（千米/小时）|累计路程（千米）|剩余路程（千米）| |第1小时|50|30|80|80|400-80=320| |第2小时|55|27|82|162|400-162=238| |第3小时|60|24|84|246|400-246=154| |第4小时|65|21|86|332|400-332=68| |第5小时|70|18|88|420|400-420=-20（已相遇）|前4小时累计332千米，剩余68千米；第5小时速度和88千米/小时，相遇时间：68÷88=17/22小时；总相遇时间：4 + 17/22=105/22小时；甲车总行驶：50+55+60+65+70×(17/22)=230+1190/22=6250/22=3125/11千米；乙车总行驶：30+27+24+21+18×(17/22)=102+306/22=2550/22=1275/11千米）
【课后作业】
一、变式练习题
1.“两鼠穿垣”中，若大鼠第一天穿2尺，小鼠第一天穿1尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，墙厚10尺，求相遇时间和相遇时两鼠各穿的长度。
（预设答案：|天数|大鼠|小鼠|每天共穿|累计|剩余| |----|----|----|----|----|----| |1|2|1|3|3|7| |2|4|1/2|9/2|3+9/2=15/2|10-15/2=5/2| |3|8|1/4|33/4|15/2+33/4=63/4|10-63/4=-23/4（已相遇）|前2天累计15/2=7.5尺，剩余5/2尺；第3天速度和33/4尺/天，相遇时间：(5/2)÷(33/4)=10/33天；总相遇时间：2 + 10/33=76/33天；大鼠总穿：2+4+8×(10/33)=6+80/33=278/33尺；小鼠总穿：1+1/2+1/4×(10/33)=3/2+5/66=104/33尺）2.用正、负数表示上题中两鼠每天穿墙的长度（规定大鼠穿墙长度为正），并计算每天两鼠穿墙的总长度。
（预设答案：第1天：+2尺，-1尺，总长度+1尺；第2天：+4尺，-1/2尺，总长度+7/2尺；第3天：+8尺，-1/4尺，总长度+31/4尺）
二、对比练习题
1.对比第1课时和第2课时的“两鼠穿垣”问题，说说解题方法有什么联系和区别。
（预设答案：联系：都需要梳理数量关系，都用到了相反意义的量和正、负数表示；区别：第1课时重点是认识相反意义的量，第2课时重点是解决相遇问题，需要用到分数运算和分步计算）2.对比“两鼠穿垣”和火车相遇问题，说说它们的共同点和不同点。
（预设答案：共同点：都是相对运动问题，都需要梳理数量变化，都可以用列表法解决；不同点：“两鼠穿垣”是长度变化，火车相遇是路程变化，变化规律不同）
三、生活情境题
1.某工程队要修一条长1200米的公路，甲队从东往西修，每天修100米，每天多修10米；乙队从西往东修，每天修80米，每天少修5米，两队同时开工，几天能修完这条公路？修完时两队各修了多少米？（预设答案：前6天累计1155米，剩余45米；第7天共修210米/天，所需时间：45÷210=3/14天；总时间：6 + 3/14=87/14天；甲队总修：100+110+120+130+140+150+160×(3/14)=750+480/14=750+240/7=5490/7米；乙队总修：80+75+70+65+60+55+50×(3/14)=405+150/14=405+75/7=2910/7米）2.小明和小红从相距800米的两地相对而行，小明每分钟走60米，每分钟多走5米；小红每分钟走50米，每分钟少走3米，两人几分钟后相遇？相遇时两人各走了多少米？（预设答案：前6分钟累计690米，剩余110米；第7分钟速度和122米/分，相遇时间：110÷122=55/61分钟；总相遇时间：6 + 55/61=421/61分钟；小明总走：60+65+70+75+80+85+90×(55/61)=435+4950/61=31485/61米；小红总走：50+47+44+41+38+35+32×(55/61)=255+1760/61=17315/61米）
四、思维拓展选做题
1.查阅《九章算术》中其他类似的古算题，尝试用今天所学的方法解决，并记录解题过程和收获。
（预设答案：如“今有垣厚七尺，两鼠对穿，大鼠日二尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？各穿几何？”解题方法同本节课，先列表梳理，再计算相遇时间和长度，培养自主探究能力）
2.思考：如果“两鼠穿垣”中，大鼠每天穿墙的长度是前一天的3倍，小鼠每天穿墙的长度是前一天的1/3，墙厚10尺，第一天各穿1尺，相遇时间会如何变化？请说明理由。
（预设答案：相遇时间会缩短，因为大鼠的增长速度更快，小鼠的减少速度更慢，两鼠每天的速度和会更大，因此相遇时间更短。前2天累计16/3≈5.33尺，剩余14/3≈4.67尺；第3天速度和82/9≈9.11尺/天，相遇时间：(14/3)÷(82/9)=42/82=21/41天；总相遇时间：2 + 21/41=103/41≈2.51天，比原来的36/17≈2.12天更长？（此处需纠正：原题目中大鼠日自倍是2倍，若改为3倍，小鼠日自半改为1/3，第一天各穿1尺，前2天累计1+1+3+1/3=5+1/3=16/3尺，剩余10-16/3=14/3尺；第3天大鼠9尺，小鼠1/9尺，速度和82/9尺/天，相遇时间14/3 ÷82/9=21/41天，总时间2+21/41=103/41≈2.51天，比原来的36/17≈2.12天更长，因为小鼠的减少速度变慢，虽然大鼠增长快，但小鼠的长度减少慢，导致前期累计长度增长变慢，相遇时间延长。理由合理即可）