2024-2025学年广东省深圳外国语学校高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳外国语学校高二（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a=(1,2)，b=(m,3)，若a⊥(b−a)，则实数m=( )
A. −2B. 2C. −1D. 1
2.二项式(2 x−x)6的展开式中x3的系数为( )
A. 160B. 60C. −160D. −60
3.某智能机器人公司从某年起7年的利润情况如表所示，y关于x的回归直线方程是y =0.5x+2.3，则该智能机器人公司第4年利润的残差是( )
A. 0.1亿元B. 0.2亿元C. −0.1亿元D. −0.2亿元
4.已知角α终边上一点P(2,1)，则1+sin2αcs2α=( )
A. −3B. −13C. 13D. 3
5.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2=3，S4=15，则S8=( )
A. 255B. 127C. 66D. 39
6.“端午节”是我国四大传统节日之一，吃粽子、赛龙舟、挂艾草等均是端午节的习俗.今年端午节，兄妹两人一起去超市购买粽子，若他们分别从“鲜肉粽、腊肉粽、蛋黄粽、原味粽、赤豆粽、八宝粽”六种粽子里各自挑选三种并各购买一个，则购买的6个粽子中至多有一种相同的概率是( )
A. 12B. 920C. 25D. 720
7.已知F是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，直线4x−3y=0与C交于P，Q两点，若以PQ为直径的圆经过点F，则C的离心率为( )
A. 2B. 5C. 3D. 10
8.已知函数f(x)=(x+a−1)ex+b2x2+abx−ab在R上单调递增，则ab的最小值为( )
A. −1eB. 1eC. −1D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 数据2，1，6，3，4，5，4，1，3的下四分位数是2
B. 若数据x1，x2，⋯，xn的标准差为s，则数据2x1，2x2，⋯，2xn的标准差为2s
C. 随机变量X～N(1,σ2)，若P(X>0)=45，则P(0b>0)过点(1, 22)，右焦点F(1,0)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l：y=kx(k≠0)与椭圆E交于P，A两点，过点P(x0,y0)作PC⊥x轴，垂足为点C，直线AC交椭圆E于另一点B．
(i)证明：AP⊥BP．
(ii)求△ABP面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：a=(1,2)，b=(m,3)，
则a⋅(b−a)=a2−a⋅b=1+4−m−6=0，解得m=−1．
故选：C．
结合向量的坐标运算法则，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算法则，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：二项式(2 x−x)6的展开式的通项Tr+1=C6r(2 x)6−r(−x)r=(−1)r⋅C6r×26−r⋅x3r−62，
令3r−62=3，则r=4，
故x3的系数为60．
故选：B．
结合二项展开式的通项即可求解．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，x−=1+2+3+4+5+6+77=4，y−=2.9+3.3+3.6+m+4.8+5.2+5.97=25.7+m7，
又y关于x的回归直线方程是y =0.5x+2.3，即25.7+m7=2+2.3，则m=4.4，
当x=4时，y=4.3，
则该智能机器人公司第4年利润的残差为4.4−4.3=0.1亿元．
故选：A．
根据线性回归直线方程相关知识可解．
本题考查线性回归直线方程相关知识，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：由题意得|OP|=r= 22+12= 5，
所以sinα=yr=1 5，csα=xr=2 5，
可得sin2α=2sinαcsα=45，cs2α=cs2α−sin2α=35，
所以1+sin2αcs2α=1+4535=3．
故选：D．
利用三角函数的定义求出sinα、csα的值，结合二倍角公式求出sin2α、cs2α，进而可得1+sin2αcs2α的值．
本题主要考查三角函数的定义、二倍角的三角函数公式等知识，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由等差数列的性质知，{Snn}为等差数列，设{Snn}公差为d，
因为S22=32，S44=154，所以2d=154−32=94，
则S88=S44+4d=154+92=334，所以S8=66．
故选：C．
根据等差数列的性质进行求解．
本题主要考查求等差数列的前n项和，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：购买的6个粽子种类各不相同的概率为：
P1=C63C63×C63=120，
购买的6个粽子种类恰有一个相同的概率为：
P2=C61C52C32C63×C63=920，
∴他们分别从“鲜肉粽、腊肉粽、蛋黄粽、原味粽、赤豆粽、八宝粽”六种粽子里各自挑选三种并各购买一个，
购买的6个粽子中至多有一种相同的概率是P=P1+P2=12．
故选：A．
分购买的6个种类粽子各不相同和购买的6个粽子种类恰有一个相同，分别求其概率，再把它们相加即可．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：设P(x1,y1)，由双曲线与直线的对称性，Q(−x1,−y1)，
因为以PQ为直径的圆过F(c,0)，则FP⋅FQ=0，
即(x1−c)(−x1−c)+y1(−y1)=0⟹x12+y12=c2，
又P在双曲线x12a2−y12b2=1和直线y1=43x1上，将y1=43x1代入x12+y12=c2，得x12=9c225，
再代入双曲线方程：9c225a2−16c225b2=1，
由b2=c2−a2，设e=ca，化简得：9e4−50e2+25=0，
令u=e2，解得u=5(u=59舍去，因e>1)，故e= 5．
故选：B．
根据双曲线与直线的对称性即可求解．
本题考查了双曲线与直线的对称性，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意，函数f(x)=(x+a−1)ex+b2x2+abx−ab的定义域为R，
导函数为f′(x)=ex+(x+a−1)ex+bx+ab=(x+a)(ex+b)，
因为函数f(x)在R上单调递增，所以f′(x)=(x+a)(ex+b)≥0在R上恒成立，
若b≥0，则x0，当k∈(1,+∞)时f′(k)