重庆市江津第二中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析）

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1．考试时间：120分钟，满分：150分，试题卷总页数：6页．
2．所有题目必须在答题卷上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效．
3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑，需要书写的地方一律用签字笔．
4．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【详解】依题意，，
所以复数z在复平面内对应的点位于第三象限.
2. 已知，，若，则的值是（ ）
A. 3B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【详解】已知,,
则,
又,则，
得，得.
3. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数值的定义求，再结合诱导公式运算求解.
【详解】因为角的终边经过点，则，
所以.
故选：B.
4. 一圆台的上底面半径为2，下底面半径为7，体积为，则该圆台的母线长为（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆台的体积公式可求解高，即可根据勾股定理求解母线.
【详解】设圆台的高和母线分别为，则，
故，
因此.
5. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
【答案】A
【解析】
【分析】根据伸缩变换的变换法则即可判断．
【详解】由中，得到，
对应乘，则横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变．
所以为了得到函数的图象，
只需把函数图象上所有的点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变.
6. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】C
【解析】
【详解】对于A，若，，直线可以在平面内，不一定满足，因此A错误；
对于B，若，，直线可以在内，可以，不一定满足，因此B错误；
对于C，若，则平面的法向量与平面的法向量垂直；又，，则的方向向量就是的法向量，的方向向量就是的法向量，因此，故C正确；
对于D，若，，，直线和可以相交、异面，不一定平行，因此D错误.
7. 在正方体中，直线与平面所成角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等体积法可求解点到平面的距离，即可根据线面角的定义求解.
【详解】设到平面的距离为，正方体的棱长为1，
则，即,
故,
设直线与平面所成角为,则，
由于为锐角，所以.
8. 已知O为的重心，若，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】如图：若O为的重心，则为的中点，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以当时，取到最大值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据函数平移规律得到，再由三角函数为偶函数可得，再逐项判断可得答案.
【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的图象，
因为为偶函数，所以，
可得，
对于A，若，可得，故A正确；
对于B，若，可得，故B正确；
对于C，若，可得，故C错误；
对于D，若，可得，故D错误；
故选：AB.
10. 下列命题错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与共线
D. 若，则与的夹角为钝角
【答案】ACD
【解析】
【详解】选项A：因为与的方向不确定，所以无法从得出，故选项A错误；
选项B：由得与的方向相同，所以，故选项B正确；
选项C：当时，对任意与均成立，故选项C错误；
选项D：当与的方向相反时，满足，但此时与的夹角不是钝角，故选项D错误.
11. 四棱锥的底面为正方形，点P在底面的射影与A重合，，，动点M在线段上，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在唯一点M，使得
B. 的最小值是
C. 四棱锥外接球的体积为
D. 点M到直线的距离的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，通过证明可得为中点时符合题意；对于B，将和所在平面沿展开在一个平面内，利用余弦定理可求；对于C，直接求出外接球的半径，再计算其体积即可，对于D，设为在底面上的投影，过作，连接，设,将点到直线的距离表示为的函数，然后求该函数的最小值即可.
【详解】对于A，连接，且，
则，若，
因为，面，面，
所以面，又因为面，
所以，
因为点P在底面的射影与A重合，即面，
又面，所以，
在平面中，，，
所以，
因为底面为正方形，所以为中点，
所以为中点，故存在唯一点M，使得，A正确；
对于B，将和所在平面沿展开在一个平面内，如图所示，
则的最小值为，
因为面，面，
所以，又，，
所以面，又面，
所以，同理，，
又底面为正方形，，，
所以，所以，
所以，，
所以，
所以，即的最小值是，B正确；
对于C，由题意，可将四棱锥补形成长方体，
所以四棱锥外接球半径为，
所以外接球体积为，故C错误；
对于D，设点在底面的投影为且，过作，连接，
所以面，又面，
所以，
又因为，，面，面，
所以面，又面，
所以，
所以到直线的距离即为，
因为面，面，
所以，
所以,
设,
因为，，，
所以，故，
在正方形中，，所以，
所以，
所以当时，取到最小值为，
所以点M到直线的距离的最小值为.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由共轭复数概念写出，再求其模长．
【详解】由知，则．
故答案为：
13. 三棱锥中，已知平面，，，，则平面与平面所成角的正弦值为________．
【答案】
【解析】
【分析】取的中点，连接，证得，得到为平面与平面的所成角，再求得，在Rt中计算即可.
【详解】取的中点，连接
平面，平面，
,
，，
,,
,
,
为平面与平面的所成角.
在Rt中，
14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则的外接圆直径长是________，线段长度的最大值是________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】根据写出的向量表达式，平方后转化为与的边b，c有关的表达式，再利用正弦定理将边转化为角，从而求出最大值.
【详解】由正弦定理得， ，所以外接圆直径为；
由得， ，
，
由余弦定理，，代入得，，
即，所以 ，
再由正弦定理，，，
所以


，
其中，
因为，所以当时，取得最大值，
，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，满足，，．
（1）求与的夹角的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
因为，，，
所以，
即，解得，
因为，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，则
.
16. 已知函数，且函数相邻两个零点之间的距离为．
（1）求的解析式；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求函数在的值域．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式、辅助角公式及函数的最小正周期求出即可求解；
（2）根据正弦函数的单调性可得答案；
（3）根据的范围求出的范围，根据正弦函数的图象与性质可得答案．
【小问1详解】
，
由题意，函数的最小正周期T满足，，
又因为，，所以，
所以；
【小问2详解】
令，，
可得，，
所以的单调递减区间为，；
【小问3详解】
因为，所以，
所以，
函数的值域是．
17. 如图，四边形是菱形，平面，，，，，点F为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积．
【答案】（1）取中点M，连接，，由点F为的中点，得
且，
又，且，则，，四边形为平行四边形，
因此，又平面，平面，所以平面.
（2）连接，四边形为菱形，，得为等边三角形，
由M为中点，得，又平面，平面，则，
又，平面，因此平面，
又，则平面，又平面，所以平面平面.
（3）
【解析】
【分析】（1）取中点M，利用线面平行的判定推理得证.
（2）利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定推理得证.
（3）利用等体积法，结合锥体的体积公式求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
依题意，，且，由（2）知，是三棱锥的高，
所以.
18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
（1）求A；
（2）若，求锐角的面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由两角和的正弦公式及辅助角公式求解；
（2）依题意得，则进行求解．
【小问1详解】
因为，
且，
所以
=，
所以，因为，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以，即．
【小问2详解】
因为是锐角三角形，由（1）知且，可得，
因为，，所以，
由三角形面积公式得，
又由正弦定理，且，
所以
，
因为，所以，
故，则，，即，
所以，即面积的取值范围为
19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随特征向量，同时称函数为向量的伴随函数．
（1）设，
试求与函数的伴随特征向量平行的单位向量；
（2）记向量的伴随函数为，
若且，求的值；
（3）已知，
向量为函数的伴随特征向量，，请问在的图象上是否存在一点T，
使得？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）或
（2）
（3）存在，
【解析】
【小问1详解】
化简为：
，
故函数的伴随特征向量，
由于，所以本身就是一个单位向量，
则与平行的单位向量为或.
【小问2详解】
由题意知，向量的伴随函数为：
.
由题意，所以.
，
又，得，又因为，
所以，则.
，
，
.
【小问3详解】
，
其伴随特征向量，
，则.
设点，又，
所以，
若，
则
，
即.
，
，又，
故当且仅当时，成立，
故在的图象上存在一点，使得.