2027届玉溪市高三第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2027届玉溪市高三第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共69页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知集合，集合，则，已知为虚数单位，若复数，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．设，，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．0B．C．D．1
4．已知集合，集合，则
A．B．或
C．D．
5．已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ）
A．14种B．15种C．16种D．18种
7．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知为虚数单位，若复数，，则
A．B．
C．D．
11．直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足，则等于（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在直角三角形中，为直角，，点在线段上，且，若，则的正切值为_____.
14．已知点是双曲线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______
15．设函数，若对于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
16．三个小朋友之间送礼物，约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），则三人都收到礼物的概率为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（Ⅰ）已知是的一个极值点，求曲线在处的切线方程
（Ⅱ）讨论关于的方程根的个数.
18．（12分）设数阵，其中、、、．设，其中，且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”（、、、）．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到、 ，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为．
（1）若，写出经过变换后得到的数阵；
（2）若，，求的值；
（3）对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过．
19．（12分）网络看病就是国内或者国外的单个人、多个人或者单位通过国际互联网或者其他局域网对自我、他人或者某种生物的生理疾病或者机器故障进行查找询问、诊断治疗、检查修复的一种新兴的看病方式.因此，实地看病与网络看病便成为现在人们的两种看病方式，最近某信息机构调研了患者对网络看病，实地看病的满意程度，在每种看病方式的患者中各随机抽取15名，将他们分成两组，每组15人，分别对网络看病，实地看病两种方式进行满意度测评，根据患者的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图：
（1）根据茎叶图判断患者对于网络看病、实地看病那种方式的满意度更高？并说明理由；
（2）若将大于等于80分视为“满意”，根据茎叶图填写下面的列联表：
并根据列联表判断能否有的把握认为患者看病满意度与看病方式有关？
（3）从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人，求这2人平分都低于90分的概率.
附，其中.
20．（12分）（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A（1，0）的直线与椭圆C交于点M, N,设P为椭圆上一点，且O为坐标原点，当时，求t的取值范围．
21．（12分）已知函数.
（1）若是函数的极值点，求的单调区间；
（2）当时，证明：
22．（10分）已知点，若点满足.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）过点的直线与（Ⅰ）中曲线相交于两点，为坐标原点， 求△面积的最大值及此时直线的方程.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.
【详解】
设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，
由题意可知，直线与直线垂直，，，
因此，双曲线的离心率为.
故选：B.
本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.
2、D
【解析】
利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】
，，
，，
，，，
，
故选：D.
该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.
3、B
【解析】
根据题意可得平面，，则即异面直线与所成的角，连接CG，在中，，易得，所以，所以，故选B．
4、C
【解析】
由可得，解得或，所以或，
又，所以，故选C．
5、D
【解析】
设，，作为一个基底，表示向量，，，然后再用数量积公式求解.
【详解】
设，，
所以，，，
所以.
故选：D
本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6、D
【解析】
采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起
【详解】
首先将黑球和白球排列好，再插入红球.
情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种；
情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.
综上所述，共有14+4=18种.
故选：D
本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题
7、C
【解析】
令圆的半径为1，则，故选C．
8、D
【解析】
可求出集合，，然后进行并集的运算即可．
【详解】
解：，；
．
故选．
考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．
9、B
【解析】
根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知为的一个零点；对于当时，由代入解析式解方程可求得零点，结合即可求得的范围；对于当时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.
【详解】
根据题意，画出函数图像如下图所示：
函数的零点，即.
由图像可知，，
所以是的一个零点，
当时，，若，
则，即，所以，解得；
当时，，
则，且
若在时有一个零点，则，
综上可得，
故选：B.
本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.
10、B
【解析】
由可得，所以，故选B．
11、D
【解析】
根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.
【详解】
因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到
故答案为：D.
求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).
12、D
【解析】
选取为基底，其他向量都用基底表示后进行运算．
【详解】
由题意是的重心，
，
∴，，
∴，
故选：D．
本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、3
【解析】
在直角三角形中设，，，利用两角差的正切公式求解.
【详解】
设，，
则
，
故.
故答案为：3
此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.
14、
【解析】
先表示出渐近线，再代入点，求出，则离心率易求.
【详解】
解：的渐近线是
因为在渐近线上，所以
，
故答案为：
考查双曲线的离心率的求法，是基础题.
15、
【解析】
试题分析：由题意得函数在[2，上单调递增，当时在[2，上单调递增；当时在上单调递增；在上单调递减，因此实数a的取值范围是
考点：函数单调性
16、
【解析】
基本事件总数，三人都收到礼物包含的基本事件个数．由此能求出三人都收到礼物的概率．
【详解】
三个小朋友之间准备送礼物，
约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），
基本事件总数，
三人都收到礼物包含的基本事件个数．
则三人都收到礼物的概率．
故答案为：．
本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）求函数的导数，利用x=2是f (x)的一个极值点，得f' (2) =0建立方程求出a的值，结合导数的几何意义进行求解即可；
（Ⅱ）利用参数法分离法得到，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合转化为图象交点个数进行求解即可.
【详解】
（Ⅰ）因为，则，
因为是的一个极值点，所以，即，
所以，
因为，，
则直线方程为，即；
（Ⅱ）因为，所以，
所以，设，则，
所以在上是增函数，在上是减函数，
故，
所以，所以，
设，则，
所以在上是减函数，上是增函数，
所以，
所以当时，，函数在是减函数，
当时，，函数在是增函数，
因为时，，，，
所以当时，方程无实数根，
当时，方程有两个不相等实数根，
当或时，方程有1个实根.
本题考查函数中由极值点求参，导数的几何意义，还考查了利用导数研究方程根的个数问题，属于难题.
18、（1）；（2）；（3）见解析.
【解析】
（1）由，能求出经过变换后得到的数阵；
（2）由，，求出数阵经过变化后的矩阵，进而可求得的值；
（3）分和两种情况讨论，推导出变换后数阵的第一行和第二行的数字之和，由此能证明的所有可能取值的和不超过．
【详解】
（1），经过变换后得到的数阵；
（2）经变换后得，故；
（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共个，经过变换后第一行均变为、；
含有且不含的子集共个，经过变换后第一行均变为、；
同时含有和的子集共个，经过变换后第一行仍为、；
不含也不含的子集共个，经过变换后第一行仍为、．
所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为
.
若，则的所有非空子集中，含有的子集共个，经过变换后第一行均变为、；
不含有的子集共个，经过变换后第一行仍为、．
所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为．
同理，经过变换后所有的第二行的所有数的和为．
所以的所有可能取值的和为，
又因为、、、，所以的所有可能取值的和不超过．
本题考查数阵变换的求法，考查数阵中四个数的和不超过的证明，考查类比推理、数阵变换等基础知识，考查运算求解能力，综合性强，难度大．
19、（1）实地看病的满意度更高，理由见解析；（2）列联表见解析，有；（3）.
【解析】
（1）对实地看病满意度更高，可以从茎叶图四个方面选一个回答即可；（2）先完成列联表，再由独立性检验得有的把握认为患者看病满意度与看病方式有关；（3）利用古典概型的概率公式求得这2人平分都低于90分的概率.
【详解】
（1）对实地看病满意度更高，理由如下：
（i）由茎叶图可知：在网络看病中，有的患者满意度评分低于80分；在实地看病中，有的患者评分高于80分，因此患者对实地看病满意度更高.
（ii）由茎叶图可知：网络看病满意度评分的中位数为73分，实地看病评分的中位数为87分，因此患者对实地看病满意度更高.
（iii）由茎叶图可知：网络看病的满意度评分平均分低于80分；实地看病的满意度的评分平均分高于80分，因此患者对实地看病满意度更高.
（iV）由茎叶图可知：网络看病的满意度评分在茎6上的最多，关于茎7大致呈对称分布；实地看病的评分分布在茎8，上的最多，关于茎8大致呈对称分布，又两种看病方式打分的分布区间相同，故可以认为实地看病评分比网络看病打分更高，因此实地看病的满意度更高.
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一一种或其他合理理由均可得分.
（2）参加网络看病满意度调查的15名患者中共有5名对网络看病满意，10名对网络看病不满意；参加实地看病满意度调查的15名患者中共有10名对实地看病满意，5名对实地看病不满意.
故完成列联表如下：
于是，
所以有的把握认为患者看病满意度与看病方式有关.
（3）网络看病的评价的分数依次为82，85，85，88，92，由小到大分别记为，
从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人，所有可能情况有：；；；共10种，
其中，这2人评分都低于90分的情况有：
；；共6种，
故由古典概型公式得这2人评分都低于90分的概率.
本题主要考查茎叶图的应用和独立性检验，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20、（1）；（2）．
【解析】
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用离心率、、四边形的面积列出方程，解出a和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN的斜率是否存在，当直线MN的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到、，利用列出方程，解出，代入到椭圆上，得到的值，再利用，计算出的范围，代入到的表达式中，得到t的取值范围．
试题解析：（1），，即．
又，．
∴椭圆C的标准方程为．
（2）由题意知，当直线MN斜率存在时，
设直线方程为，，
联立方程消去y得，
因为直线与椭圆交于两点，
所以恒成立，
，
又，
因为点P在椭圆上，所以，
即，
又，
即，整理得：，
化简得：，解得或（舍），
，即．
当直线MN的斜率不存在时，，此时，
．
考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．
21、（1）递减区间为（-1，0），递增区间为（2）见解析
【解析】
（1）根据函数解析式，先求得导函数，由是函数的极值点可求得参数.求得函数定义域，并根据导函数的符号即可判断单调区间.
（2）当时，.代入函数解析式放缩为，代入证明的不等式可化为，构造函数，并求得，由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函数的最小值，由对数式变形化简可证明，即成立，原不等式得证.
【详解】
（1）函数
可求得，则
解得
所以，定义域为
，
在单调递增，而，
∴当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时是函数的极小值点，
的递减区间为，递增区间为
（2）证明：当时，
，
因此要证当时，，
只需证明，
即
令，
则，
在是单调递增，
而，
∴存在唯一的，使得，
当，单调递减，当，单调递增，
因此当时，函数取得最小值，
，
，
故，
从而，即，结论成立.
本题考查了由函数极值求参数，并根据导数判断函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立，构造函数法的综合应用，属于难题.
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最大值为，此时直线的方程为.
【解析】
（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；
（2）设出直线方程后，采用（表示原点到直线的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值.
【详解】
解：（Ⅰ）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且，.
因此椭圆的方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为与椭圆交于点，
，联立直线与椭圆的方程消去可得，
即，.
面积可表示为
令，则，上式可化为，
当且仅当，即时等号成立，
因此面积的最大值为，此时直线的方程为.
常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：
（1）已知点，若点满足且，则的轨迹是椭圆；
（2）已知点，若点满足且，则的轨迹是双曲线.
满意
不满意
总计
网络看病
实地看病
总计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
满意
不满意
总计
网络看病
5
10
15
实地看病
10
5
15
总计
15
15
30