2025-2026学年云南省玉溪市高三第三次测评数学试卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年云南省玉溪市高三第三次测评数学试卷（含答案解析），共30页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知集合，则集合，函数的部分图象大致是，已知，，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：
①直线与直线的斜率乘积为；
②轴；
③以为直径的圆与抛物线准线相切.
其中，所有正确判断的序号是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
2．已知平面向量，，满足：，，则的最小值为( )
A．5B．6C．7D．8
3．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
5．已知集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
6．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，，则( )
A．B．C．D．
9．若为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（ ）
A．EB．FC．GD．H
10． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知双曲线的一个焦点为，点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是______.
14．如图，在矩形中，，是的中点，将，分别沿折起，使得平面平面，平面平面，则所得几何体的外接球的体积为__________.
15．已知函数，令，，若，表示不超过实数的最大整数，记数列的前项和为，则_________
16．一个村子里一共有个人，其中一个人是谣言制造者，他编造了一条谣言并告诉了另一个人，这个人又把谣言告诉了第三个人，如此等等．在每一次谣言传播时，谣言的接受者都是在其余个村民中随机挑选的，当谣言传播次之后，还没有回到最初的造谣者的概率是_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知六面体如图所示，平面，，，，，，是棱上的点，且满足.
（1）求证：直线平面；
（2）求二面角的正弦值.
18．（12分）设函数.
（1）若，时，在上单调递减，求的取值范围；
（2）若，，，求证：当时，．
19．（12分）自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存在很大缺口.某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产的口罩量如下表所示：
对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：
（1）求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.1）；
（2）某同学认为更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为.经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由.
附：，；
20．（12分）已知函数.
（1）若在上是减函数，求实数的最大值；
（2）若，求证：.
21．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在区间上的最小值为，求m的值.
22．（10分）在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，M、N分别为、的中点.
​
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
由题意，可设直线的方程为，利用韦达定理判断第一个结论；将代入抛物线的方程可得，，从而，，进而判断第二个结论；设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，进而判断第三个结论.
【详解】
解：由题意，可设直线的方程为，
代入抛物线的方程，有．
设点，的坐标分别为，，
则，．
所．
则直线与直线的斜率乘积为．所以①正确．
将代入抛物线的方程可得，，从而，，
根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，
所以直线轴．所以②正确．
如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，
则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，
则．所以③不正确．
故选：B.
本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题．
2．B
【解析】
建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
建立平面直角坐标系如下图所示，设，，且，由于，所以.
.所以
，即.
.当且仅当时取得最小值，此时由得，当时，有最小值为，即，，解得.所以当且仅当时有最小值为.
故选：B
本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.
3．C
【解析】
根据偶函数的性质，比较即可.
【详解】
解：
显然，所以
是定义域为的偶函数，且在单调递增，
所以
故选：C
本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.
4．D
【解析】
根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式，进而求出，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.
【详解】
依题意有， ①
， ②
①②得，又因为，
所以，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故选:D.
本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.
5．D
【解析】
弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素.
【详解】
因，所以，故，又， ，则，
故集合.
故选：D.
本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.
6．D
【解析】
如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.
【详解】
如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.
故，，.
故，故，.
故选：.
本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
7．C
【解析】
判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.
【详解】
，函数是奇函数，排除，
时，，时，，排除，
当时，，
时，，排除，
符合条件，故选C.
本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.
8．B
【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和做对比，即可判断.
【详解】
由于，
，
故.
故选：B.
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.
9．C
【解析】
由于在复平面内点的坐标为，所以，然后将代入化简后可找到其对应的点.
【详解】
由，所以，对应点.
故选：C
此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.
10．C
【解析】
先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.
【详解】
解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，
则基本事件总数为，
则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，
∴6和28不在同一组的概率.
故选：C.
本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.
11．B
【解析】
由可得；由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解.
【详解】
,所以离心率,
又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有,
而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即,
所以,所以双曲线的离心率的取值范围是.
故选:B
本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.
12．B
【解析】
由双曲线的对称性可得即，又，从而可得的渐近线方程.
【详解】
设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的渐近线方程为.
故选B
本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
用树状图法列举出所有情况，得出甲不输的结果数，再计算即得.
【详解】
由题得，甲、乙两人玩一次该游戏，共有9种情况，其中甲不输有6种可能，故概率为.
故答案为：
本题考查随机事件的概率，是基础题.
14．
【解析】
根据题意，画出空间几何体，设的中点分别为，并连接，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体的外接球的球心为，即可求得其外接球的体积.
【详解】
由题可得，，均为等腰直角三角形，如图所示，
设的中点分别为，
连接，
则，.
因为平面平面，平面平面，
所以平面，平面，
易得，
则几何体的外接球的球心为，半径，
所以几何体的外接球的体积为.
故答案为：.
本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.
15．4
【解析】
根据导数的运算，结合数列的通项公式的求法，求得，，，进而得到，再利用放缩法和取整函数的定义，即可求解.
【详解】
由题意，函数，且，，
可得，
，
又由，可得为常数列，且，
数列表示首项为4，公差为2的等差数列，所以，
其中数列满足，
所以，
所以，
又由，
可得数列的前n项和为，
数列的前n项和为，
所以数列的前项和为，满足，
所以，即，
又由表示不超过实数的最大整数，所以.
故答案为：4.
本题主要考查了函数的导数的计算，以及等差数列的通项公式，累加法求解数列的通项公式，以及裂项法求数列的和的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
16．
【解析】
利用相互独立事件概率的乘法公式即可求解.
【详解】
第1次传播，谣言一定不会回到最初的人；
从第2次传播开始，每1次谣言传播，第一个制造谣言的人被选中的概率都是，
没有被选中的概率是．
次传播是相互独立的，故为
故答案为：
本题考查了相互独立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）连接，设，连接.通过证明，证得直线平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的正弦值.
【详解】
（1）连接，设，连接，
因为，所以，所以，
在中，因为，
所以，且平面，
故平面.
（2）因为，，，，，所以，
因为，平面，所以平面，
所以，，
取所在直线为轴，取所在直线为轴，取所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得，，，，
所以，因为，
所以，
所以点的坐标为，
所以，，设为平面的法向量，
则，令，解得，，
所以，即为平面的一个法向量.
，
同理可求得平面的一个法向量为
所以
所以二面角的正弦值为
本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
18．（1）（2）见解析
【解析】
(1) 在上单调递减等价于在恒成立，分离参数即可解决.(2)先对求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可.
【详解】
（1），时，，
，
∵在上单调递减．
∴，．
令，
，
时，；时，，
∴在上为减函数，在上为增函数．
∴，∴．
∴的取值范围为．
（2）若，，时，，
，
令，显然在上为增函数．
又，，∴有唯一零点．
且，时，，；
时，，，
∴在上为增函数，在上为减函数．
∴．
又，∴，，．
∴
．
，．
∴当时，．
此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构造函数求值域，属于较难题目.
19．（1），，；（2）二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好，理由见解析.
【解析】
（1）计算平均数，即可容易求得；结合参考数据，即可求得回归直线方程；
（2）利用两个模型分别预测第11天的产量，和实际值进行比较，即可判断.
【详解】
（1），
由最小二乘法公式求得

即所求回归方程为.
（2）由（1）可知，用线性回归方程模型求得该企业第11天的产量为
（万个）
用题中的二次函数模型求得的结果为
（万个）
与第11天的实际数据进行比较发现

所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好.
本题考查平均数的求解，回归直线方程的求解，以及考查拟合模型的选择，属综合基础题.
20．（1）（2）详见解析
【解析】
（1），
在上，因为是减函数，所以恒成立，
即恒成立，只需.
令，，则，因为，所以.
所以在上是增函数，所以，
所以，解得.
所以实数的最大值为.
（2），.
令，则，
根据题意知，所以在上是增函数.
又因为，
当从正方向趋近于0时，趋近于，趋近于1，所以，
所以存在，使，
即，，
所以对任意，，即，所以在上是减函数；
对任意，，即，所以在上是增函数，
所以当时，取得最小值，最小值为.
由于，，
则
，当且仅当 ，即时取等号，
所以当时，．
21．（1）见解析 （2）
【解析】
（1）先求导，再对m分类讨论，求出的单调性；（2）对m分三种情况讨论求函数在区间上的最小值即得解.
【详解】
（1）
若，当时，；
当时.，
所以在上单调递增，在上单调递减
若.在R上单调递增
若，当时，；
当时.，
所以在上单调递增，在上单调递减
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则.则不合题意
当时，在上单调递减，在上单调递增.
则，即
又因为单调递增，且，故
综上，
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
22．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）取 中点，连接，，证明平面，由线面垂直的性质可得；
（2）由，即可求得三棱锥的体积．
【详解】
解：（1）证明：取中点D，连接，.
因为，，所以且，
因为，平面，平面，所以平面.
又平面，所以；
（2）解：因为平面，平面，所以平面平面，
过N作于E，则平面，
因为平面平面，，平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
由于，所以
所以，
所以.
本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质，属于中档题．
第天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
产量y（单位：万个）
76.0
88.0
96.0
104.0
111.0
117.0
124.0
130.0
135.0
140.0
m
n
82.5
3998.9
570.5