云南省玉溪市元江哈尼族彝族傣族自治县2025年高三第一次模拟考试数学试卷含解析

这是一份云南省玉溪市元江哈尼族彝族傣族自治县2025年高三第一次模拟考试数学试卷含解析，共42页。试卷主要包含了复数等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数的零点为m，若存在实数n使且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以再加1；如果它是偶数，则将它除以；如此循环，最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为，则输出i的值为（ ）
A．B．C．D．
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．
C．D．
4．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（ ）
A．B．
C．D．
6．复数（ ）
A．B．C．0D．
7．在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则（ ）
A．2B．2C．4D．6
11．已知.给出下列判断：
①若，且，则；
②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；
③若在上恰有7个零点，则的取值范围为；
④若在上单调递增，则的取值范围为.
其中，判断正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设为等比数列的前项和，若，且，，成等差数列，则 .
14．数据的标准差为_____．
15．的展开式中，的系数为_______（用数字作答）.
16．点是曲线（）图象上的一个定点，过点的切线方程为，则实数k的值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB =2BC，点Q为AE的中点.
（1）求证：AC//平面DQF；
（2）若∠ABC=60°，AC⊥FB，求BC与平面DQF所成角的正弦值.
18．（12分）设函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数有两个极值点，求证：.
19．（12分） 已知函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在上的最小值；
（Ⅲ）若函数，当时，的最大值为，求证：.
20．（12分）已知函数f（x）ax﹣lnx（a∈R）.
（1）若a＝2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）＝f（x）1，若函数g（x）在上有两个零点，求实数a的取值范围.
21．（12分）已知点和椭圆.直线与椭圆交于不同的两点，.
（1）当时，求的面积；
（2）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值.
22．（10分）已知抛物线:，点为抛物线的焦点，焦点到直线的距离为，焦点到抛物线的准线的距离为，且.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若轴上存在点，过点的直线与抛物线相交于、两点，且为定值，求点的坐标.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.
【详解】
易知函数单调递增且有惟一的零点为，所以，∴，问题转化为：使方程在区间上有解，即
在区间上有解，而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为，∴.
故选D．
本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.
2．B
【解析】
根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.
【详解】
输入，不成立，是偶数成立，则，；
不成立，是偶数不成立，则，；
不成立，是偶数成立，则，；
不成立，是偶数成立，则，；
不成立，是偶数成立，则，；
不成立，是偶数成立，则，；
成立，跳出循环，输出i的值为.
故选：B.
本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.
3．A
【解析】
根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.
【详解】
由题意，该几何体如图所示：
该几何体的体积.
故选：A.
本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．
4．A
【解析】
可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.
【详解】
由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，
丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；
假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，
乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，
所以可以断定值班人是甲.
故选：A.
本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.
5．D
【解析】
设，在中，由余弦定理得，从而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.
【详解】
设，在中，由余弦定理得，
则，从而，
由正弦定理得，即，
从而，
在中，由余弦定理得：，
则.
故选：D
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
6．C
【解析】略
7．C
【解析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】
解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），
故选：C
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．A
【解析】
设，则MF的中点坐标为，代入双曲线的方程可得的关系，再转化成关于的齐次方程，求出的值，即可得答案.
【详解】
双曲线的右顶点为，右焦点为，
M所在直线为，不妨设，
∴MF的中点坐标为.代入方程可得，
∴，∴，∴（负值舍去）.
故选：A.
本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造的齐次方程.
9．C
【解析】
试题分析：由题意知，当时，由，当且仅当时，即等号是成立，所以函数的最小值为，当时，为单调递增函数，所以，又因为，使得，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故选C．
考点：函数的综合问题．
【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键．
10．C
【解析】
根据列方程，由此求得的值，进而求得.
【详解】
由于，所以，即
，
解得.
所以
所以
.
故选：C
本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.
11．B
【解析】
对函数化简可得，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.
【详解】
因为，所以周期.
对于①，因为，所以，即，故①错误；
对于②，函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，，所以②错误；
对于③，令，可得，则，
因为，所以在上第1个零点，且，所以第7个零点，若存在第8个零点，则，
所以，即，解得，故③正确；
对于④，因为，且，所以，解得，又，所以，故④正确.
故选：B.
本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.
12．A
【解析】
分析：题设中复数满足的等式可以化为，利用复数的四则运算可以求出.
详解：由题设有，故，故选A.
点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．.
【解析】
试题分析：∵，，成等差数列，∴，
又∵等比数列，∴.
考点：等差数列与等比数列的性质.
【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列
基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.
14．
【解析】
先计算平均数再求解方差与标准差即可.
【详解】
解：样本的平均数,
这组数据的方差是
标准差,
故答案为：
本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.
15．60
【解析】
根据二项式定理展开式通项，即可求得的系数.
【详解】
因为，
所以，
则所求项的系数为.
故答案为：60
本题考查了二项展开式通项公式的应用，指定项系数的求法，属于基础题.
16．1
【解析】
求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得．
【详解】
设，
由题意，∴，，，即，
∴，．
故答案为：1．
本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值．本题属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析（2）
【解析】
（1）连接交于点，连接，通过证明，证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.
【详解】
（1）证明：连接交于点，连接，因为四边形为正方形，所以点为的中点，又因为为的中点，所以；
平面平面，
平面.
（2）解：，设，则，在中，，由余弦定理得：，
．
又，平面．．
平面．
如图建立的空间直角坐标系．
在等腰梯形中，可得．
则．
那么
设平面的法向量为，
则有，即，取，得．
设与平面所成的角为，则．
所以与平面所成角的正弦值为．
本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）求导得到，讨论，，三种情况得到单调区间.
（Ⅱ）设，要证，即证，，设，根据函数单调性得到证明.
【详解】
（Ⅰ） ，
令，，
（1）当，即时，，，在上单调递增；
（2）当，即时，设的两根为（），
，
①若，，时，，
所以在和上单调递增，
时，，所以在上单调递减，
②若，，时，，所以在上单调递减， 时，，所以在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时， 在和上单调递增，
在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ）不妨设，要证，
即证，
即证，
由（Ⅰ）可知，，，可得，
，
所以有，
令，
，
所以在单调递增， 所以，
因为，所以，所以.
本题考查了函数单调性，证明不等式，意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.
19．（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题，
所以故，，代入点斜式可得曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）由题
（1）当时，在上单调递增. 则函数在上的最小值是
（2）当时，令，即，令，即
（i）当，即时，在上单调递增，
所以在上的最小值是
（ii）当，即时，由的单调性可得在上的最小值是
（iii）当，即时，在上单调递减，在上的最小值是
（Ⅲ）当时，
令，则是单调递减函数.
因为，，
所以在上存在，使得，即
讨论可得在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，取得最大值是
因为，所以由此可证
试题解析：（Ⅰ）因为函数，且，
所以，
所以
所以，
所以曲线在处的切线方程是，即
（Ⅱ）因为函数，所以
（1）当时，，所以在上单调递增.
所以函数在上的最小值是
（2）当时，令，即，所以
令，即，所以
（i）当，即时，在上单调递增，
所以在上的最小值是
（ii）当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值是
（iii）当，即时，在上单调递减，
所以在上的最小值是
综上所述，当时，在上的最小值是
当时，在上的最小值是
当时，在上的最小值是
（Ⅲ）因为函数，所以
所以当时，
令，所以是单调递减函数.
因为，，
所以在上存在，使得，即
所以当时，；当时，
即当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，取得最大值是
因为，所以
因为，所以
所以
20．（1）单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）（2）（3，2e]
【解析】
（1）当a＝2时，求出，求解，即可得出结论；
（2）函数在上有两个零点等价于a＝2x在上有两解，构造函数，，利用导数，可分析求得实数a的取值范围.
【详解】
（1）当a＝2时，定义域为，
则，令，
解得x1，或x1（舍去），
所以当时，单调递减；
当时，单调递增；
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
（2）设，
函数g（x）在上有两个零点等价于在上有两解
令，，则，
令，，
显然，在区间上单调递增，又，
所以当时，有，即，
当时，有，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
时，取得极小值，也是最小值，
即，
由方程在上有两解及，
可得实数a的取值范围是.
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化思想以及数形结合思想，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
21．（1）；（2）或
【解析】
（1）联立直线的方程和椭圆方程，求得交点的横坐标，由此求得三角形的面积.
（2）法一：根据的坐标求得的坐标，将的坐标都代入椭圆方程，化简后求得的坐标，进而求得的值.
法二：设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出根与系数关系，结合求得点的坐标，进而求得的值.
【详解】
（1）设，，
若，则直线的方程为，
由，得，
解得，，
设直线与轴交于点，则且
.
（2）法一：设点
因为，，所以
又点，都在椭圆上，
所以
解得或
所以或.
法二：设
显然直线有斜率，设直线的方程为
由，得
所以
又
解得或
所以或
所以或.
本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题.
22．（1）
（2）
【解析】
（1）先分别表示出，然后根据求解出的值，则的标准方程可求；
（2）设出直线的方程并联立抛物线方程得到韦达定理形式，然后根据距离公式表示出并代入韦达定理形式，由此判断出为定值时的坐标.
【详解】
（1）由题意可得，焦点，，则
，，
∴解得.
抛物线的标准方程为
（2）设，设点，，显然直线的斜率不为0.
设直线的方程为
联立方程，整理可得
，，
∴，
∴
要使为定值，必有，解得，
∴为定值时，点的坐标为
本题考查抛物线方程的求解以及抛物线中的定值问题，难度一般.（1）处理直线与抛物线相交对应的定值问题，联立直线方程借助韦达定理形式是常用方法；（2）直线与圆锥曲线的问题中，直线方程的设法有时能很大程度上起到简化运算的作用。