数学你知道吗？ 九章算术教学设计

这是一份数学你知道吗？ 九章算术教学设计，共9页。教案主要包含了学情分析，教材分析，核心素养教学目标，教学重难点，教学过程，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
五年级学生已经完整学习多边形面积单元，熟练掌握长方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式，具备割补转化推导面积的活动经验，有一定几何直观与简单推理意识。学生平时较少接触古代数学典籍，对古文形式的数学表述存在阅读障碍，能够读懂白话文翻译，但对“广、从、圭田、以盈补虚”这类古代数学专有名词较为陌生。该学段学生好奇心强，愿意探究数学历史故事，能够通过小组交流、图文对照完成古今算法对比，但是不容易透过古文表象抓住背后转化的数学思想，需要教师依托教材文本搭建阶梯，降低古文理解难度，把古代算理和已经学过的多边形面积知识建立对应联系。
二、教材分析
本课是西南大学版2026秋季新教材小学数学五年级上册第六单元《多边形面积的计算》中的阅读拓展栏目《你知道吗？九章算术》。教材文本选取《九章算术》“方田章”相关内容，重点介绍古代对长方形、三角形、梯形田地的面积记载，出示“方田术”“圭田术”原文，引入刘徽“以盈补虚（出入相补）”的割补思想，配有教材专属示意图，把古代土地测量算法和本册多边形面积单元知识相互呼应。教材设置该栏目，不只是历史常识介绍，更是借助中华传统数学文化，再次巩固多边形面积算理，让学生理解割补转化思想从古至今一脉相承。本课安排2个课时，第一课时立足教材文本读懂典籍背景、长方形与三角形的古代算法；第二课时研读教材梯形相关古算内容，深度探究以盈补虚原理，完成古今算法对比梳理。
三、核心素养教学目标
依据《义务教育数学课程标准2022版》，结合新教材要求确立本课核心素养目标。
1.几何直观：读懂教材《九章算术》文本与配套示意图，看懂“以盈补虚”割补图示，能够把古代田地名称、古文术语对应到现代几何图形，借助图形理解古代面积算法。
2.推理意识：对比古代算法与现代多边形面积公式，推理出古今算法内在逻辑一致性，理解割补转化是推导面积的通用思想。
3.运算能力：能够使用教材给出的古算例题数据，分别用古代算法、现代公式完成计算，验证两种算法结果相同。
4.文化意识：了解《九章算术》的历史地位，感受我国古代数学家的智慧，体会数学来源于土地测量的生产生活实际，建立中华优秀传统数学文化认同感。
四、教学重难点
教学重点：读懂教材《你知道吗？九章算术》课文内容，理解“方田术”“圭田术”古文含义，掌握古代长方形、三角形、梯形面积算法，建立古代算法和现代多边形面积公式的对应关系，理解以盈补虚的割补转化思想。
教学难点：读懂古文数学术语，理解“以盈补虚”的原理，体会古代推导面积的思维方式，打通古今算法之间的逻辑联系。
五、教学过程
第1课时 认识《九章算术》，方田与圭田的算法
（一）情境导入，引出教材阅读内容
教师出示教材当中《你知道吗？九章算术》栏目配图，展示古籍书影图片。
师：同学们，第六单元我们已经学习平行四边形、三角形、梯形的面积，大家回忆，我们推导这些图形面积的时候，最常用的是什么数学方法？
生：割补、转化，把陌生图形变成我们熟悉的长方形。
师：说得很好，把复杂图形转化成长方形，不是现代才有的方法。两千多年以前，我国古代数学家，在一本数学著作里面，就大量使用这样的思路来计算土地面积，这本著作就写在我们教材“你知道吗”栏目，它叫做《九章算术》。今天我们就一起来研读教材这一部分内容。
教师请学生翻开教材对应页码，完整阅读《你知道吗？九章算术》全部课文文字。
师：请大家默读教材课文，找一找，教材告诉我们《九章算术》是一本什么样的书？读完之后举手分享。
生：《九章算术》是我国古代重要的数学典籍，全书一共分为九章，其中第一章叫做方田章，专门用来解决田地面积计算问题。
师：教材课文写得很清楚，古代没有现代的平方米单位，古人丈量田地，使用“步”作为长度单位，计算出来的面积叫做“积步”，这是古代田地面积计量单位。
【设计意图】依托教材文本开启课堂，唤醒学生已有的多边形面积转化经验，搭建古代数学与本单元新知的连接，让学生明确本节课就是研读教材阅读材料，确立课堂学习方向。
（二）研读教材文本，学习方田术（长方形田地）
教师把教材课文当中的古文片段投影展示：方田术曰：广从步数相乘得积步。
师：教材课文给出这句古文，什么叫方田？请大家看一看教材的注释，哪位同学说一说？
生：教材写了，方田就是长方形的田地。
师：很好，“广”“从”是古代的两个词语，请大家结合教材课文的白话解读，猜一猜，广和从，分别对应长方形的什么？小组内简单交流。
生：广就是长方形的宽，从就是长方形的长。
师：没错，教材课文注释告诉我们，广代表田地的宽，从读作zòng，代表田地的长。“广从步数相乘得积步”翻译成现代语言，就是长方形田地的面积，等于宽乘长，得到的结果就是积步。
教师出示教材当中的古算例题：今有田广十五步，从十六步，问为田几何？
师：我们一起来解读这道教材上的原题，广十五步，就是宽15步，从十六步就是长16步，请同学们分别用古代方田术和现代长方形面积公式算一算，这块田地面积是多少积步。
学生独立计算后汇报。
生：15×16=240，结果是240积步。现代长方形面积长×宽，算出来也是240。
师：大家发现，两千年前古人计算长方形面积的算法，和我们今天的长方形面积公式本质完全一样。古人因为要丈量田地，生产生活需要，总结出这个计算方法，写进《九章算术》。
教师板书对应关系：方田（长方形），广=宽，从=长，方田术：广×从=积步。
【设计意图】逐句解读教材课文原始古文与注释，把古文名词翻译成学生熟悉的几何概念，借助教材原始例题计算，让学生直观看到古代算法和现代公式完全一致，降低古文阅读的心理障碍。
（三）研读教材圭田术，探究三角形古代算法
师：教材课文除了长方形田地，还介绍了三角形田地，古代把三角形田地叫做“圭田”，请同学们继续看教材课文，找一找圭田对应的算法原文。
学生阅读教材文本，找出古文：圭田术曰：半广以乘正从。
师：教材课文也附带了解读，什么是圭田？什么是广，什么是正从？请同学结合教材文字说一说你的理解。
生：圭田就是三角形田地，广指三角形的底，正从指三角形底边上的高。
师：“半广以乘正从”，半广是什么意思？
生：底的一半，用底除以2，再乘高。
教师出示教材课文自带的古算题目：今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？
师：我们把题目翻译过来，一块三角形田地，底12步，底边上的高21步，请大家先用圭田术的算法算一算，再用我们现代三角形面积公式计算，对比两次计算结果。
学生独立演算后进行课堂交流。
生：古代算法：(12÷2)×21=126积步；现代公式：12×21÷2=126积步，两道算式结果一样。
师：请大家仔细观察两道算式，(底÷2)×高 和 底×高÷2，这两个算式在数学上是什么关系？
生：乘法交换律，两个算式是等价的。
师：原来，两千多年前古人计算三角形面积，已经找到了和我们现代等价的计算方法。教材课文还提到数学家刘徽，为《九章算术》做注解，用到了一个很重要的方法叫做“以盈补虚”，教材配有对应的示意图，请大家观察教材当中的示意图，看一看图里面是怎样把三角形进行变形的。
学生观察教材插图。
师：“盈”就是多余的部分，“虚”就是空缺的部分。以盈补虚，就是把图形多余的部分切割下来，填补到空缺位置，不改变图形总面积，把三角形转化成长方形。这就是我们现在说的割补法，也就是出入相补原理。我们把三角形沿着底边中点垂直剪开，把多出的三角形部分移到另一边，三角形就转化成长方形，长方形的宽就是原来三角形底的一半，高不变，长方形面积就是半广乘正从，对应圭田术算法。
师：大家想一想，我们课堂上推导三角形面积的时候，除了割补，我们还会用两个完全一样的三角形拼成平行四边形。古人用的是另外一条思路，割补变形，但是数学思想都是转化。
【设计意图】完整依托教材原文、例题、插图展开教学，把古文算法拆解为学生可以理解的数学算式，结合教材配图讲清“以盈补虚”初步含义，建立古代算法与现代三角形面积推导的关联，落实几何直观与推理意识。
（四）课堂梳理，搭建本课知识框架
教师出示表格，师生共同梳理，表格内容来自教材课文提取信息。
师：这一节课，我们研读教材《你知道吗？九章算术》，了解这本典籍，读懂方田术、圭田术，知道古人用“以盈补虚”割补图形，计算田地面积。下一节课，我们继续研读教材，学习梯形田地的古代算法，完整理解出入相补的数学思想。
第2课时 邪田箕田算法，深度理解以盈补虚
（一）复习回顾，衔接教材内容
师：上一节课，我们学习教材《你知道吗？九章算术》，谁来回顾，《九章算术》的“方田章”是用来解决什么问题的？方田、圭田分别对应什么图形？对应的古文算法是什么？
生：方田章用来计算各种田地面积，方田是长方形，圭田是三角形。方田术是广乘从，圭田术是半广以乘正从。
师：我们还认识了刘徽的“以盈补虚”，也就是割补转化，把未知图形转化成长方形。今天我们继续研读教材剩余内容，看一看古代数学家怎样计算梯形田地的面积。
（二）研读教材邪田、箕田文本，解读梯形古算法
师：教材课文当中，把直角梯形田地叫做邪田，普通等腰梯形田地叫做箕田。请大家阅读教材给出的古文记载：邪田术曰：并两邪而半之，以乘正从。
师：请大家对照教材的白话注释，小组讨论，“并两邪”是什么意思？“半之”是什么意思？“正从”又代表什么？
小组交流之后组织学生作答。
生：“并两邪”就是把梯形两条平行的边相加，也就是上底加下底；半之就是取和的一半；正从就是梯形的高。
师：所以邪田也就是直角梯形，古代算法就是，(上底+下底)÷2×高。请大家回忆我们现代梯形面积计算公式是什么？
生：梯形面积等于 (上底+下底)×高÷2。
师：对比两道算式，(上底+下底)÷2×高，与 (上底+下底)×高÷2，乘法运算当中，调换计算顺序，结果不变，古代算法和现代梯形面积公式本质完全一样。
教师出示教材当中邪田古算习题：今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？
师：翻译成现代数学题目，直角梯形，上底30步，下底42步，高64步，请同学们先用古代邪田术计算，再用现代梯形面积公式计算，核对结果。
学生独立完成计算，汇报结果。
生：(30+42)÷2×64=2304积步；现代公式 (30+42)×64÷2=2304积步，计算结果相同。
师：教材当中还介绍箕田，也就是等腰梯形田地，算法和邪田是一样的，同样把上下两底相加取一半，再乘高。
教师板书整理：邪田、箕田对应梯形；算法：(两底之和)÷2 ×高。
【设计意图】继续深挖教材文本，把古代梯形算例作为课堂主要探究素材，通过计算验证古今算法的等价关系，进一步巩固多边形面积的运算能力，感受古代算法的严谨。
（三）深度探究教材插图，完整理解以盈补虚（出入相补）原理
师：教材课文反复提到刘徽的“以盈补虚”，前面三角形我们简单了解，梯形同样可以用这个割补的思路。请大家仔细观察教材配套的示意图，我们一起来说一说这个过程。
师：以直角梯形邪田为例，图形一边高是垂直的，另一边是斜的。我们把梯形斜侧多出的三角形部分切割下来，填补到梯形空缺的一侧，整个梯形就被转化成一个长方形。转化之后长方形的长，正好是梯形上底与下底和的一半，长方形的宽就是梯形原来的高。图形切割移动，总面积大小不会发生改变。
师：老师这里有一个问题，请大家思考，为什么古人要费尽心思，把三角形、梯形全部转化成长方形来计算面积？结合我们整个单元的学习谈一谈你的想法。
生：长方形的面积计算最简单，古人已经掌握长方形的算法，把别的图形变成长方形，就可以直接计算。
师：回答非常到位。不管是两千年前的古代数学家，还是我们现在课堂学习，转化思想都是多边形面积最重要的数学思想。古人在生产劳动丈量土地的实践当中，总结出整套算法，记录在《九章算术》，刘徽再用割补的方法给这些算法做证明，这就是教材这篇阅读材料想要传递给我们的核心内容。
师：请大家再次完整通读教材《你知道吗？九章算术》整篇课文，从头到尾阅读，把课文里面的重点名词：方田、圭田、邪田、箕田、广、从、正从、以盈补虚，在课本上面圈画标记。
学生通读全文，标记教材文本重点词句。
【设计意图】回归教材插图，完整解读出入相补原理，引导学生跳出单纯记忆古文，上升到理解数学思想，把整篇阅读材料的逻辑闭环完成，落实文化意识与推理意识。
（四）古今算法系统对比，构建单元知识联结
教师出示汇总表格，师生共同完善，表格素材全部来源于教材课文。
师：观察表格，大家有什么发现？
生：古代的算法，和我们现在多边形面积公式，本质上完全相同，只是用词不一样。
师：《九章算术》“方田章”全部算法，都来源于土地测量的真实生活，古人面对田地，要算面积、算赋税，于是总结出一套算法。教材把这篇阅读设置在多边形面积单元，就是告诉我们，我们今天学习的面积知识，是从古代劳动实践一步步传承发展而来。
六、课堂小结
本节课我们依托教材《你知道吗？九章算术》开展两课时学习，我们认识了我国古代数学典籍《九章算术》，读懂“方田章”中记载的长方形、三角形、梯形田地的古文算法，认识广、从、正从、圭田、邪田等古代数学专有名词。通过教材当中的古算例题演算，我们验证古代算法和现代多边形面积公式在数学上是等价的。同时读懂刘徽“以盈补虚”也就是出入相补的割补原理，明白转化思想贯穿古今，不管是古代数学家还是现在的我们，都依靠转化，把陌生多边形转化成长方形求面积。我们感受到中国古代数学来源于生产实践，体会古代数学家的智慧，把中华传统数学文化和多边形面积单元知识结合在一起。
古代名称
对应现代图形
古文算法
现代公式
方田
长方形
广×从得积步
长×宽
圭田
三角形
半广以乘正从
底×高÷2
古代田地名称
对应现代图形
古文算法
现代数学公式
方田
长方形
广×从得积步
S=a×b
圭田
三角形
半广以乘正从
S=a×ℎ÷2
邪田、箕田
梯形
并两邪而半之，以乘正从
S=(a+b)×ℎ÷2